8.3.2 课时1 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力拓展、素养提升三层设计，实现圆柱、圆锥、圆台表面积与体积从单一计算到综合应用的进阶，培养空间观念、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一几何体表面积体积计算|含选择、填空、解答，如正方形旋转得圆柱侧面积，夯实公式应用| |能力拓展|综合计算与实际应用|结合三星堆玉琮等情境，考查体积变化率与圆台侧面积，发展推理能力| |素养提升|复杂几何体转化与综合应用|正四棱台打磨为圆台，需空间转化与建模，体现数学眼光观察现实世界|

8.3.2 课时1 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【基础巩固】 1．面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】面积为4的正方形边长为2， 绕该正方形任意一边所在直线旋转一周，所得的几何体都是底面半径为2，母线长为2的圆柱，所以所得几何体的侧面积为. 故选：B. 2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】记圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得. 故选：B 3．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设它们底面圆半径为，母线长为， 记圆柱的表面积为，则， 记圆锥的表面积为，则， 所以圆柱与圆锥表面积之比. 故选：C 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等、侧面积相等，且圆锥的母线与底面所成的角为，圆柱的体积为，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的母线与底面所成的角为，可得， 又因为圆柱的体积为，可得，解得， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，可得，解得， 所以，所以圆锥的体积为. 故选：C. 5．（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【解析】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 6．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 【答案】 【解析】由题意，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体是以为底面半径，为高的两个共底面圆锥，所以旋转体的体积为. 故答案为： 7．已知底面半径为1的圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】设圆锥底面半径，母线长为，高为， 圆锥的表面积，解得，则圆锥的高， 则圆锥的体积. 故答案为：. 8．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【答案】见解析 【解析】(1)设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意：.即圆柱的底面半径为3. (2)因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 所以， 又三棱柱的高为6，所以. 【能力拓展】 9．若一个实心直立圆锥的底半径增加10%，而高减少15%，则该圆锥的体积的百分数增减情况为（ ） A．增加2.85% B．减少2.85% C．增加5% D．减少5% 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则， 变化后的圆锥的体积为， 则，即该圆锥的体积的增加了. 故选：A. 10．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】计算正方体体积：，计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：，最后可得组合体体积：. 故选：A 11．已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】设圆锥的高为，母线长为，底面半径为，则， 用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台的体积是圆锥体积的， 截去圆锥的体积为圆锥体积的， 设截去圆锥的高为，母线长为，底面半径为， 则，解得，， 圆台的侧面积为，即，， 又， ，整理得，解得或（舍去）， ，． 故答案为：． 【素养提升】 12．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm． (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 【答案】见解析 【解析】(1)正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为． (2)若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2 课时1 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 【基础巩固】 1．面积为4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（ ） A．2 B． C． D．3 3．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆柱和圆锥的底面半径相等、侧面积相等，且圆锥的母线与底面所成的角为，圆柱的体积为，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 6．如图，等腰直角的斜边长为，将绕斜边所在直线旋转一周形成的旋转体的体积为_____. 7．已知底面半径为1的圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 8．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是，且底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 【能力拓展】 9．若一个实心直立圆锥的底半径增加10%，而高减少15%，则该圆锥的体积的百分数增减情况为（ ） A．增加2.85% B．减少2.85% C．增加5% D．减少5% 10．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ） A． B． C． D． 11．已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为______． 【素养提升】 12．如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm． (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $