学易金卷：七年级数学下学期5月学情自测卷（新教材青岛版，范围：七年级下册第7～11章）

**基本信息** 以《九章算术》幻方、新能源汽车等文化与科技情境为载体，覆盖整式运算、平行线、统计等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|抽样调查、整式运算、因式分解|结合幻方文化（第5题）、AI工具调查统计（第10题）| |填空题|8/24|零指数幂、因式分解、平行线性质|融入共享单车几何应用（第14题）、资金投放统计（第15题）| |解答题|8/75|方程组求解、几何证明、实际应用|设计新能源汽车利润问题（第21题）、数形结合验证乘法公式（第23题）|

2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛新版七年级下册第7~11章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列调查适合抽样调查的是（　　） A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B．对搭乘飞机的旅客进行安检 C．了解某小组10名学生的跳远成绩 D．检查“神舟二十二号”零件质量 2．下列结果计算正确的是（　　） A．3a2•4ab＝12a3b B．a（a﹣b）＝2a﹣ab C．﹣（﹣2x）3＝﹣8x3 D．a15÷a3＝a5 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 4．将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 5．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则a与b的和是（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 6．春天生机盎然，杨柳飞絮也进入了传播期．据生物学家测定，某种杨柳飞絮颗粒的直径约为0.000048米．将数据0.000048用科学记数法表示为（　　） A．4.8×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．48×10﹣6 D．0.48×10﹣4 7．如表是甲、乙两位同学因式分解﹣x2+x的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝﹣x（x﹣1）； 乙同学：原式＝x（1﹣x）． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 8．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“…”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为（　　） A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行 C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　） A．60° B．50° C．45° D．35° 10．某中学对七年级学生使用人工智能学习工具的情况进行调查（单选题），选项包括：A（经常使用AI辅助解题）、B（偶尔使用AI查询资料）、C（仅用于娱乐或创意）、D（从未使用过）．调查结果如图所示．已知选C的有6人，根据统计图，下列判断中，与实际情况不符的是（　　） A．a＝48 B．选D的有8人 C．此次参与调查的学生总人数为50人 D．选C的扇形圆心角的度数为43° 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共15分。 11．计算20260+2﹣3＝　 　 ． 12．因式分解：ax2﹣a的结果是　 　 ． 13．甲纸条长为acm，乙纸条长为bcm．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为72cm的纸条，则a+b＝　 　 ． 14．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知AB∥CD，∠MAB＝115°，AM∥BC，则∠BCD＝　 　 °． 15．如图，某公司去年第一季度资金投放总额与1～4月份利润统计图，若知1～4月份利润的总和为156万元，根据图中的信息，公司去年4月份的资金投放总额为　 　 万元． 三、解答题：本题共8小题，共75分。请写出文字说明、证明过程或验算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程组． （1）； （2）． 17．（8分）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 18．（8分）如图，已知AC⊥BC，DF⊥BC，∠BDF＝∠GEC． （1）GE与AB平行吗？请说明理由． （2）若ED平分∠AEG，且∠A＝50°，求∠EDF的度数． 19．（9分）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣3（a+2）（a﹣2），其中a＝1．小明的解法如下： 原式＝a2﹣2a+1﹣3（a2﹣4）（第一步） ＝a2﹣2a+1﹣3a2﹣12（第二步） ＝﹣2a2﹣2a﹣11，（第三步） 当a＝1时， 原式＝﹣2×12﹣2×1﹣11＝﹣15．（第四步） （1）小明的解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是（　 　 ）； A．平方差公式运用错误 B．去括号时符号错误 C．合并同类项错误 （2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 20．（9分）为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．0≤x≤20 B．20＜x≤40 C．40＜x≤60 D．60＜x≤80 E．80＜x≤100 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是　 　 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 21．（10分）2026年第一季度数据显示，中国新能源汽车销量占汽车总销量的四成，每10辆新车中就有4辆是新能源车型．这表明环保理念已经深入人心，越来越多的人选择绿色出行． （1）某新能源汽车公司4S店3月两款新车共交付100台，其中每台大型SUV利润为5万元，每台小型轿车利润为3万元，两款汽车共创利润为420万元．请问该店3月交付的大型SUV和小轿车各多少台？ （2）小毛同学家想购买一台某品牌的新能源汽车，有两种购买方式： 方式一：整车购买汽车价格为30万元，一次性缴纳购车款，并需要再支付车款5%的汽车购置税； 方式二：租电购买（必须购买电池），汽车和电池分开卖，汽车价格为20万元，并需要再支付车款5%的汽车购置税，5年后需要购买电池，电池价格为14万元，但随着电池技术的发展，5年后这款电池打a折，请你帮小毛同学算一算，用租电方式购买，当电池打几折的时候两种方式付款金额一样？ 22．（11分）如图1，AB∥CD，点E和点G在直线AB上，点F和点H在直线CD上且满足∠EGH＝∠EFD，作∠BEF的角平分线交GH于点P，交CD于点R，作∠AGH的角平分线交EF于点K，交CD于点Q． （1）求证：EF∥GH． （2）①猜想∠EKG与∠HPR的数量关系，并说明理由； ②如图2，过F点作FM⊥GH交GH的延长线于点M，作∠DFM的角平分线与∠BEF的角平分线交于点N，求∠N的度数． 23．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式　 　 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，求x2+y2的值． 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值为　 　 ． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛新版七年级下册第7~11章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列调查适合抽样调查的是（　　） A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B．对搭乘飞机的旅客进行安检 C．了解某小组10名学生的跳远成绩 D．检查“神舟二十二号”零件质量 【答案】A 【解答】解：A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量，最适合抽样调查，故A符合题意； B．对搭乘飞机的旅客进行安检，适合全面调查，故B不符合题意； C．了解某小组10名学生的跳远成绩，适合全面调查，故C不符合题意； D．检查“神舟二十二号”零件质量，适合全面调查，故D不符合题意； 故选：A． 2．下列结果计算正确的是（　　） A．3a2•4ab＝12a3b B．a（a﹣b）＝2a﹣ab C．﹣（﹣2x）3＝﹣8x3 D．a15÷a3＝a5 【答案】A 【解答】解：3a2•4ab＝12a3b，故选项A正确，符合题意； a（a﹣b）＝a2﹣ab，故选项B错误，不符合题意； ﹣（﹣2x）3＝8x3，故选项C错误，不符合题意； a15÷a3＝a12，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 【答案】D 【解答】解：A．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； B．右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误，不符合题意； D．符合因式分解的定义，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4．将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【解答】解：如图所示，∵BC∥DE， ∴∠BAD＝∠1＝50°，∠2＝∠CAE（两直线平行，同位角相等）， ∵∠DAE＝60°， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAD﹣∠DAE＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠2＝70°， 故选：A． 5．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则a与b的和是（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：第二行第二个方格中的数为a+12+40﹣44﹣b＝a﹣b+8， 根据题意得：， 解得：， ∴a+b＝20+4＝24． 故选：C． 6．春天生机盎然，杨柳飞絮也进入了传播期．据生物学家测定，某种杨柳飞絮颗粒的直径约为0.000048米．将数据0.000048用科学记数法表示为（　　） A．4.8×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．48×10﹣6 D．0.48×10﹣4 【答案】B 【解答】解：0.000048＝4.8×10﹣5． 故选：B． 7．如表是甲、乙两位同学因式分解﹣x2+x的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝﹣x（x﹣1）； 乙同学：原式＝x（1﹣x）． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【解答】解：∵﹣x（x﹣1）＝﹣x2+x， ∴甲同学正确； ∵x（1﹣x）＝x﹣x2＝﹣x2+x， ∴乙同学正确． 故选：C． 8．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“…”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为（　　） A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行 C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车 【答案】C 【解答】解：因为小明同学设有x辆车，人数为y，若2人坐一辆车，则9人需要步行，所以y＝2x+9；又因为第二个方程右边是（x﹣2），说明车有两辆是空的，坐满人的车是（x﹣2）辆，3（x﹣2）说明每辆车坐三人，所以y＝3（x﹣2）． 故选：C． 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　） A．60° B．50° C．45° D．35° 【答案】B 【解答】解：∵∠ABE＝150°，∠CDF＝160°， ∴∠ABP＝30°，∠CDP＝20°． ∵AB∥MN， ∴∠EPN＝∠ABP＝30°． ∵CD∥MN， ∴∠FPN＝∠CDP＝20°， ∴∠EPF＝∠EPN+∠FPN＝30°+20°＝50°． 故选：B． 10．某中学对七年级学生使用人工智能学习工具的情况进行调查（单选题），选项包括：A（经常使用AI辅助解题）、B（偶尔使用AI查询资料）、C（仅用于娱乐或创意）、D（从未使用过）．调查结果如图所示．已知选C的有6人，根据统计图，下列判断中，与实际情况不符的是（　　） A．a＝48 B．选D的有8人 C．此次参与调查的学生总人数为50人 D．选C的扇形圆心角的度数为43° 【答案】D 【解答】解：根据各选项所占百分比之和为1，求出a的值可得： a%＝1﹣16%﹣12%﹣24%＝48%，故a＝48； 此次参与调查的学生总人数为6÷12%＝50； 选D的人有50×16%＝8（人）； 选C的扇形圆心角的度数为360°×12%＝43.2°； 综上，只有选项D与实际情况不符． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．计算20260+2﹣3＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：20260+2﹣3＝1+＝， 故答案为：． 12．因式分解：ax2﹣a的结果是　 　 ． 【答案】a（x+1）（x﹣1） 【解答】解：原式＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）， 故答案为：a（x+1）（x﹣1） 13．甲纸条长为acm，乙纸条长为bcm．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为72cm的纸条，则a+b＝　 　 ． 【答案】88． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴a+b＝64+24＝88． 故答案为：88． 14．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知AB∥CD，∠MAB＝115°，AM∥BC，则∠BCD＝　 　 °． 【答案】65． 【解答】解：∵AM∥BC，∠MAB＝115°， ∴∠ABC＝180°﹣∠MAB＝180°﹣115°＝65°， ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝65°． 故答案为：65． 15．如图，某公司去年第一季度资金投放总额与1～4月份利润统计图，若知1～4月份利润的总和为156万元，根据图中的信息，公司去年4月份的资金投放总额为　 　 万元． 【答案】152． 【解答】解：若知1～4月份利润的总和为156万元， 由图可得1月份的投资总额为150万元，利润率为20%，则1月份利润为150×20%＝30（万元）， 同理可得，2月份利润为120×30%＝36（万元）， 3月份利润为200×26%＝52（万元）， ∴4月份利润为：156﹣30﹣36﹣52＝38（万元）， ∴4月份的资金投放总额为38÷25%＝152（万元）． 故答案为：152． 三、解答题：本题共8小题，共75分。请写出文字说明、证明过程或验算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程组． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得3（1﹣2y）﹣4y＝23， 解得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①，得x＝1﹣2×（﹣2）＝5， ∴方程组的解是； （2）， 整理①得，3x+2y＝7③， ③×2，得6x+4y＝14④， ②×3，得6x+9y＝9⑤， ⑤﹣④，得5y＝﹣5， 解得y＝﹣1， 把y＝﹣1代入②，得2x+3×（﹣1）＝3， 解得x＝3， ∴方程组的解是． 17．（8分）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 【答案】（1）3（a﹣b）2 （2）（m﹣2）（x+y）（x﹣y） 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 18．（8分）如图，已知AC⊥BC，DF⊥BC，∠BDF＝∠GEC． （1）GE与AB平行吗？请说明理由． （2）若ED平分∠AEG，且∠A＝50°，求∠EDF的度数． 【答案】（1）GE∥AB，理由见解析 （2）65°． 【解答】解：（1）GE∥AB，理由如下： ∵AC⊥BC，DF⊥BC， ∴∠BFD＝∠BCA＝90°， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A（两直线平行，同位角相等）， ∵∠BDF＝∠GEC， ∴∠A＝∠GEC， ∴GE∥AB（同位角相等，两直线平行）； （2）∵GE∥AB， ∴∠A+∠AEG＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠AEG＝130°， ∵ED平分∠AEG， ∴， 由（1）得DF∥AC， ∴∠EDF＝∠AED＝65°． 19．（9分）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣3（a+2）（a﹣2），其中a＝1．小明的解法如下： 原式＝a2﹣2a+1﹣3（a2﹣4）（第一步） ＝a2﹣2a+1﹣3a2﹣12（第二步） ＝﹣2a2﹣2a﹣11，（第三步） 当a＝1时， 原式＝﹣2×12﹣2×1﹣11＝﹣15．（第四步） （1）小明的解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是（　 　 ）； A．平方差公式运用错误 B．去括号时符号错误 C．合并同类项错误 （2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）二；B；（2）答案见解析 【解答】解：（1）小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，﹣12没有变号，即错误原因为选项B； 故答案为：二；B； （2）（a﹣1）2﹣3（a+2）（a﹣2） ＝a2﹣2a+1﹣3（a2﹣4） ＝a2﹣2a+1﹣3a2+12 ＝﹣2a2﹣2a+13， 当a＝1时， 原式＝﹣2×12﹣2×1+13＝9． 20．（9分）为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．0≤x≤20 B．20＜x≤40 C．40＜x≤60 D．60＜x≤80 E．80＜x≤100 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是　 　 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 【答案】（1）60，36°；（2）答案见解析（3）增强大课间和课间活动，做到人人动起来． 【解答】解：（1）12÷20%＝60， 即本次调查的样本容量是60； ， ∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是36°； 故答案为：60，36°； （2）被抽取学生中，C组人数为60﹣12﹣21﹣6﹣3＝18（人）， 故可补画频数分布直方图，如下图所示： （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求，所以： 建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来． 21．（10分）2026年第一季度数据显示，中国新能源汽车销量占汽车总销量的四成，每10辆新车中就有4辆是新能源车型．这表明环保理念已经深入人心，越来越多的人选择绿色出行． （1）某新能源汽车公司4S店3月两款新车共交付100台，其中每台大型SUV利润为5万元，每台小型轿车利润为3万元，两款汽车共创利润为420万元．请问该店3月交付的大型SUV和小轿车各多少台？ （2）小毛同学家想购买一台某品牌的新能源汽车，有两种购买方式： 方式一：整车购买汽车价格为30万元，一次性缴纳购车款，并需要再支付车款5%的汽车购置税； 方式二：租电购买（必须购买电池），汽车和电池分开卖，汽车价格为20万元，并需要再支付车款5%的汽车购置税，5年后需要购买电池，电池价格为14万元，但随着电池技术的发展，5年后这款电池打a折，请你帮小毛同学算一算，用租电方式购买，当电池打几折的时候两种方式付款金额一样？ 【答案】（1）该店3月交付了60辆大型SUV，40辆小型轿车；（2）七五折． 【解答】解：（1）设该店3月交付了x辆大型SUV，y辆小型轿车， 根据题意得：， 解得：． 答：该店3月交付了60辆大型SUV，40辆小型轿车； （2）根据题意得：30+30×5%＝20+20×5%+14×， 解得：a＝7.5． 答：用租电方式购买，当电池打七五折的时候两种方式付款金额一样． 22．（11分）如图1，AB∥CD，点E和点G在直线AB上，点F和点H在直线CD上且满足∠EGH＝∠EFD，作∠BEF的角平分线交GH于点P，交CD于点R，作∠AGH的角平分线交EF于点K，交CD于点Q． （1）求证：EF∥GH． （2）①猜想∠EKG与∠HPR的数量关系，并说明理由； ②如图2，过F点作FM⊥GH交GH的延长线于点M，作∠DFM的角平分线与∠BEF的角平分线交于点N，求∠N的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）①∠EKG+∠HPR＝90°，理由见解析；②45°． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EGH＝∠EFD， ∴∠EGH＝∠AEF（等量代换）， ∴EF∥GH（同位角相等，两直线平行）； （2）解：①∠EKG+∠HPR＝90°， 证明：设ER交GQ交于点O，过点O作OS∥EF， ∴∠EKG＝∠SOG， ∵EF∥GH， ∴OS∥GH， ∴∠EOS＝∠EPG（两直线平行，同位角相等）， ∵∠HPR＝∠EPG， ∴∠EKG+∠HPR＝∠SOG+∠EOS＝∠EOG， ∵EF∥GH， ∴∠BEF+∠AGH＝180°， ∵ER平分∠BEF，GK平分∠AGH， ∴， ∴， ∴∠EOG＝90°， ∴∠EKG+∠HPR＝90°； ②如图，过点N作NK∥CD， ∵AB∥CD， ∴NK∥AB∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7， 设∠4＝x，∠7＝y， ∵EN平分∠BEF，FN平分∠DFM， ∴∠KNE＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y， 又∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x， 又∵FM⊥GH，EF∥GH， ∴∠EFM＝90°， ∴180°﹣2x+2y＝90°， ∴x﹣y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°． 23．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式　 　 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，求x2+y2的值． 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值为　 　 ． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为　 　 ． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）32；（3）80；（4）6． 【解答】解：（1）图①的面积可表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）∵xy＝2，x+y＝6， ∴（x+y）2＝36， 即x2+y2+2xy＝36， ∴x2+y2+4＝36， ∴x2+y2＝32； （3）∵（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣x+x﹣30＝﹣10， （20﹣x）（x﹣30）＝10， ∴[（20﹣x）+（x﹣30）]2 ＝（20﹣x）2+（x﹣30）2+2（20﹣x）（x﹣30） ∴（﹣10）2＝（20﹣x）2+（x﹣30）2+2×10， ∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝100﹣20＝80， 故答案为：80； （4）设正方形ABCD、DEFG的边长分别为a、b， ∵S阴影＝9，S△CDG＝3， ∴ 化简，得a2+b2﹣ab＝18，ab＝6， ∴a2+b2＝24， ∴（a+b）2﹣2ab＝24， ∴（a+b）2＝24+2ab＝24+12＝36， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b＝6， ∴CE＝a+b＝6， 故答案为：6． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛新版七年级下册第7~11章 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列调查适合抽样调查的是（　　） A．了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B．对搭乘飞机的旅客进行安检 C．了解某小组10名学生的跳远成绩 D．检查“神舟二十二号”零件质量 2．下列结果计算正确的是（　　） A．3a2•4ab＝12a3b B．a（a﹣b）＝2a﹣ab C．﹣（﹣2x）3＝﹣8x3 D．a15÷a3＝a5 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+1）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 4．将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 5．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则a与b的和是（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 6．春天生机盎然，杨柳飞絮也进入了传播期．据生物学家测定，某种杨柳飞絮颗粒的直径约为0.000048米．将数据0.000048用科学记数法表示为（　　） A．4.8×10﹣4 B．4.8×10﹣5 C．48×10﹣6 D．0.48×10﹣4 7．如表是甲、乙两位同学因式分解﹣x2+x的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式＝﹣x（x﹣1）； 乙同学：原式＝x（1﹣x）． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 8．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“…”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“…”表示的缺失条件应补为（　　） A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行 C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数是（　　） A．60° B．50° C．45° D．35° 10．某中学对七年级学生使用人工智能学习工具的情况进行调查（单选题），选项包括：A（经常使用AI辅助解题）、B（偶尔使用AI查询资料）、C（仅用于娱乐或创意）、D（从未使用过）．调查结果如图所示．已知选C的有6人，根据统计图，下列判断中，与实际情况不符的是（　　） A．a＝48 B．选D的有8人 C．此次参与调查的学生总人数为50人 D．选C的扇形圆心角的度数为43° 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．计算20260+2﹣3＝　 　 ． 12．因式分解：ax2﹣a的结果是　 　 ． 13．甲纸条长为acm，乙纸条长为bcm．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，恰好形成总长为72cm的纸条，则a+b＝　 　 ． 14．共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知AB∥CD，∠MAB＝115°，AM∥BC，则∠BCD＝　 　 °． 15．如图，某公司去年第一季度资金投放总额与1～4月份利润统计图，若知1～4月份利润的总和为156万元，根据图中的信息，公司去年4月份的资金投放总额为　 　 万元． 三、解答题：本题共8小题，共75分。请写出文字说明、证明过程或验算步骤。 16．（8分）用适当的方法解下列方程组． （1）； （2）． 17．（8分）分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 18．（8分）如图，已知AC⊥BC，DF⊥BC，∠BDF＝∠GEC． （1）GE与AB平行吗？请说明理由． （2）若ED平分∠AEG，且∠A＝50°，求∠EDF的度数． 19．（9分）先化简，再求值：（a﹣1）2﹣3（a+2）（a﹣2），其中a＝1．小明的解法如下： 原式＝a2﹣2a+1﹣3（a2﹣4）（第一步） ＝a2﹣2a+1﹣3a2﹣12（第二步） ＝﹣2a2﹣2a﹣11，（第三步） 当a＝1时， 原式＝﹣2×12﹣2×1﹣11＝﹣15．（第四步） （1）小明的解题过程从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是（　 　 ）； A．平方差公式运用错误 B．去括号时符号错误 C．合并同类项错误 （2）请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程． 20．（9分）为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．0≤x≤20 B．20＜x≤40 C．40＜x≤60 D．60＜x≤80 E．80＜x≤100 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是　 　 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 21．（10分）2026年第一季度数据显示，中国新能源汽车销量占汽车总销量的四成，每10辆新车中就有4辆是新能源车型．这表明环保理念已经深入人心，越来越多的人选择绿色出行． （1）某新能源汽车公司4S店3月两款新车共交付100台，其中每台大型SUV利润为5万元，每台小型轿车利润为3万元，两款汽车共创利润为420万元．请问该店3月交付的大型SUV和小轿车各多少台？ （2）小毛同学家想购买一台某品牌的新能源汽车，有两种购买方式： 方式一：整车购买汽车价格为30万元，一次性缴纳购车款，并需要再支付车款5%的汽车购置税； 方式二：租电购买（必须购买电池），汽车和电池分开卖，汽车价格为20万元，并需要再支付车款5%的汽车购置税，5年后需要购买电池，电池价格为14万元，但随着电池技术的发展，5年后这款电池打a折，请你帮小毛同学算一算，用租电方式购买，当电池打几折的时候两种方式付款金额一样？ 22．（11分）如图1，AB∥CD，点E和点G在直线AB上，点F和点H在直线CD上且满足∠EGH＝∠EFD，作∠BEF的角平分线交GH于点P，交CD于点R，作∠AGH的角平分线交EF于点K，交CD于点Q． （1）求证：EF∥GH． （2）①猜想∠EKG与∠HPR的数量关系，并说明理由； ②如图2，过F点作FM⊥GH交GH的延长线于点M，作∠DFM的角平分线与∠BEF的角平分线交于点N，求∠N的度数． 23．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式　 　 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，求x2+y2的值． 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，则（20﹣x）2+（x﹣30）2的值为　 　 ． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为　 　 ． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A C B C C B D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共30分。 11． 12．a（x+1）（x﹣1） 13． 88 14．152 15．65 三、解答题：本题共8小题，共75分。请写出文字说明、证明过程或验算步骤。 16.（8分）【解析】解：（1）， 把①代入②，得3（1﹣2y）﹣4y＝23， 解得y＝﹣2，（2分） 把y＝﹣2代入①，得x＝1﹣2×（﹣2）＝5，（3分） 所以方程组的解是；（4分） （2）， 整理①得，3x+2y＝7③， ③×2，得6x+4y＝14④， ②×3，得6x+9y＝9⑤， ⑤﹣④，得5y＝﹣5， 解得y＝﹣1，（6分） 把y＝﹣1代入②，得2x+3×（﹣1）＝3， 解得x＝3，（7分） 所以方程组的解是．（8分） 17.（8分）【解析】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2）（2分） ＝3（a﹣b）2；（4分） （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2）（6分） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．（8分） 18．（8分）【解析】解：（1）GE∥AB，理由如下： ∵AC⊥BC，DF⊥BC， ∴∠BFD＝∠BCA＝90°， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A（两直线平行，同位角相等）， ∵∠BDF＝∠GEC， ∴∠A＝∠GEC， ∴GE∥AB（同位角相等，两直线平行）；（4分） （2）∵GE∥AB， ∴∠A+∠AEG＝180°， ∵∠A＝50°， ∴∠AEG＝130°， ∵ED平分∠AEG， ∴， 由（1）得DF∥AC， ∴∠EDF＝∠AED＝65°．（8分） 19．（9分）【解析】解：（1）小明的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，﹣12没有变号，即错误原因为选项B； 故答案为：二；B；（4分） （2）（a﹣1）2﹣3（a+2）（a﹣2） ＝a2﹣2a+1﹣3（a2﹣4） ＝a2﹣2a+1﹣3a2+12 ＝﹣2a2﹣2a+13，（8分） 当a＝1时， 原式＝﹣2×12﹣2×1+13＝9．（9分） 20．（9分）【解析】解：（1）12÷20%＝60， 即本次调查的样本容量是60；（2分） ， ∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是36°；（4分） （2）被抽取学生中，C组人数为60﹣12﹣21﹣6﹣3＝18（人），（6分） 故可补画频数分布直方图，如下图所示： （7分） （3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求，所以： 建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．（9分） 21．（10分）【解析】解：（1）设该店3月交付了x辆大型SUV，y辆小型轿车， 根据题意得：，（3分） 解得：．（5分） 答：该店3月交付了60辆大型SUV，40辆小型轿车；（6分） （2）根据题意得：30+30×5%＝20+20×5%+14×， 解得：a＝7.5．（9分） 答：用租电方式购买，当电池打七五折的时候两种方式付款金额一样．（10分） 22．（11分）【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EGH＝∠EFD， ∴∠EGH＝∠AEF（等量代换）， ∴EF∥GH（同位角相等，两直线平行）；（3分） （2）解：①∠EKG+∠HPR＝90°，（4分） 证明：设ER交GQ交于点O，过点O作OS∥EF， ∴∠EKG＝∠SOG， ∵EF∥GH， ∴OS∥GH， ∴∠EOS＝∠EPG（两直线平行，同位角相等）， ∵∠HPR＝∠EPG， ∴∠EKG+∠HPR＝∠SOG+∠EOS＝∠EOG， ∵EF∥GH， ∴∠BEF+∠AGH＝180°， ∵ER平分∠BEF，GK平分∠AGH， ∴， ∴， ∴∠EOG＝90°， ∴∠EKG+∠HPR＝90°；（7分） ②如图，过点N作NK∥CD， ∵AB∥CD， ∴NK∥AB∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7， 设∠4＝x，∠7＝y， ∵EN平分∠BEF，FN平分∠DFM， ∴∠KNE＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y， 又∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x， 又∵FM⊥GH，EF∥GH， ∴∠EFM＝90°， ∴180°﹣2x+2y＝90°， ∴x﹣y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°．（11分） 23．（12分）【解析】解：（1）图①的面积可表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab，（2分） （2）∵xy＝2，x+y＝6， ∴（x+y）2＝36， 即x2+y2+2xy＝36， ∴x2+y2+4＝36， ∴x2+y2＝32；（5分） （3）∵（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣x+x﹣30＝﹣10， （20﹣x）（x﹣30）＝10， ∴[（20﹣x）+（x﹣30）]2 ＝（20﹣x）2+（x﹣30）2+2（20﹣x）（x﹣30） ∴（﹣10）2＝（20﹣x）2+（x﹣30）2+2×10， ∴（20﹣x）2+（x﹣30）2＝100﹣20＝80，（8分） （4）设正方形ABCD、DEFG的边长分别为a、b， ∵S阴影＝9，S△CDG＝3， ∴， 化简，得a2+b2﹣ab＝18，ab＝6， ∴a2+b2＝24， ∴（a+b）2﹣2ab＝24， ∴（a+b）2＝24+2ab＝24+12＝36， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b＝6， ∴CE＝a+b＝6，（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. _________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（9分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（11分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 12 13. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18. (8分) C G B D 19.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(9分) 被抽取学生每天体育锻炼的时间 “频数分布直方图 被抽取学生每天体育锻炼的时间 频数（人） 扇形统计图 2 ⊙ 15 12 12 C 9 20% 3 E D 可A20B40C60D805100时间（分） 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) E G G 公 G y BA- A B K K K HAR R D C H/ D H/ —DQF QF R M M N 图1 图2 备用图 23.(12分) D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！