专题04 空间线面、面面垂直的核心考点13种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题04 空间线面、面面垂直的核心考点13种常考题型 题型一：直线与平面垂直的判定与证明 题型二：利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 题型三：利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 题型四：点面距离、线面距离及其应用 题型五：求直线与平面所成的角 题型六：直线与平面所成角的应用 题型七：立体几何中的线面垂直探索性问题 题型八：求二面角 题型九：二面角大小的应用 题型十：面面垂直的判定与证明 题型十一：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 题型十二：平行关系与垂直关系的综合应用 题型十三：立体几何中的面面垂直探索性问题 题型一：直线与平面垂直的判定与证明 1．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【解析】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 2.如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解析】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 3.（多选）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（  ） A.平面 B. C.平面 D.平面. 【答案】ABC 【分析】由线面垂直定义和判定定理进行辨析即可. 【解析】对于A，∵平面，平面，∴， 又∵ ，，平面，平面， ∴平面，故A正确； 对于B，C，由A，∵平面，平面，∴， 又∵，为的中点，∴， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴，故B，C正确； 对于D，假设平面，则∵平面，∴， 又∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴，∴中，， 又∵ ，∴中，，∴，， ∴假设不成立，故D错误. 故选：ABC 4.如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【解析】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 5.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，利用平行四边形性质、平行公理证得，再利用线面垂直的性质、判定推理证明平面即可. 【解析】如图，取的中点，连接、，如图，F为的中点，则，    矩形中，点E为的中点，有，即， 于是四边形是平行四边形，有， 因为平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面， 则有，由，得，而平面， 因此平面，又，所以平面. 6.如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）由线面平行的性质证明即可；（2）由线面垂直判定定理和性质证明即可 【解析】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 题型二：利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 7．如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（  ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【分析】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解析】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 8.已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（  ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【解析】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B. 9.（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（  ） A． B．平面 C． D． 【答案】BD 【分析】由线面垂直的判定定理及性质定理判断即可 【解析】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 10.如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【解析】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 11.如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理、余弦定理及线面垂直的性质证明即可 【解析】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 12.如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【解析】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 题型三：利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 13．在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案. 【解析】∵，，∴平面，故， 作交于点， 此时平面，在矩形中，， 所以四边形是正方形，所以，所以， 又为的中点， 所以为的中点，即，所以， 则实数的值为1， 故选：D. 14.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【解析】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C. 15.（多选）在长方体中，，．下列四个结论正确的是（  ） A. B. C.平面 D.平面． 【答案】BC 【解析】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故A错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故B正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故C正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故D错误； 故选：BC 16.在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 【答案】2 【分析】根据线面垂直的判定定理证明． 【解析】当时，平面，证明如下： 证明，时，是中点， 因为，，所以， 又平面，所以平面． 故答案为：． 17.已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的取值范围为__________ 【答案】 【分析】寻找点的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断的取值范围. 【解析】连接．因为平面平面，所以， ．在Rt中，， 所以． 所以在Rt中，． 因为在中，，所以是直角三角形， 且． 因为，所以点在以点为圆心，为半径的圆上． 作于点，因为点到直线的距离，且， 所以圆与线段交于两点，记为和，记圆与线段的交点为，如图所示． 在中，由余弦定理得，代入数据，解得； 同理，在中，．因为，所以点在线段上． 因为点在内部，所以点在弧上（不含点和）． 设，当点在点时，． 在Rt中，，即，解得． 当点在点时，．在Rt中，， 即，则． 在中，， 由余弦定理得， 代入数据，解得． 因为随着的增大，点靠近点，线段的长增大，点靠近点， 所以的取值范围为．结合选项可知，的值可能是． 故答案为：． 18.已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)若线段上的点在平面内，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接AC，利用余弦求得AN，可证，由已知可证平面APD，可得，进而证明平面CPD，可得，可证结论成立； （2）连接QN，求得PB，在三角形PBC中，利用余弦定理可求得，进而可得PQ，可求得的值. 【解析】（1）连接AC，由AD∥BC,，若PA=AD=DC=2, 可得，由平面ABCD，因为平面ABCD，AC， 所以，， 因为点N为PC的三等分点（靠近点P），所以, 在三角形PAN中，由余弦定理可得, 所以，所以三角形PAN是直角三角形，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，，所以，又，， 所以平面APD，平面APD，所以， 由点M为PD的中点，所以，又，所以平面CPD， 平面PCD，所以，，所以平面AMN， （2）连接QN，因为平面AMN，所以， 在直角三角形PAB中，由勾股定理可得, 所以PB=3， 在三角形PBC中，由余弦定理可得, 在三角形PQN中，，所以,所以. 题型四：点面距离、线面距离及其应用 19．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解析】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 20.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________ 【答案】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【解析】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故答案为：   21.四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析; (2) 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面， 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度， 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为. 22.如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 【答案】(1)； (2) 【解答】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. 23.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【解析】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 24.如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)192；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【解析】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 题型五：求直线与平面所成的角 25．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解. 【解析】依题意，可得如图： 设底面的中心为， 易得平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，则， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角. 因为， 所以. 所以. 故选：A. 26.正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【解析】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 27.如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将棱台补全为如下棱锥，若点到面的距离为，则利用正弦的定义得，即可求解。 【解析】将棱台补全为如下棱锥，    由，易知：， 由平面平面，则， 所以，故，所以， 若点到面的距离为，又， 则，可得， 综上，与平面所成角，则，即， 则， 故选：B. 28.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结相交于点E，取的中点F，连结.根据线面角的定义，与平面所成的角为，利用正弦的定义即可求解. 【解析】如图所示， 由题意得，连结相交于点E，取的中点F，连结. 根据作图可知，，，且， 取的中点G，连结， 则可得平行且相等，四边形为平行四边形，. 在等边中，因为G是AC中点，所以， 故由勾股定理，， 所以. 又因为在中，，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以故平面， 所以根据线面角的定义，与平面所成的角为， 又因为， 所以在中，， 故选：B. 29.三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是____________ 【答案】 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故答案为： 30.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解析】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 31.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【解答】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 32.如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.    (1)求证： (2)在直线上存在一点，，试求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用线面垂直得线线垂直；（2）求出四棱锥，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【解析】（1）取中点，连接， 是正三角形，， 为中点，， 与全等， ，又为中点， ， 平面，平面， 平面， 平面， .    （2）因为侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，， 所以， 又为等边三角形，所以，所以， 则， 所以，又， ， 所以， 在中， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 又，所以点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 题型六：直线与平面所成角的应用 33．在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方体的性质，与平面所成的角为再由体积公式即得. 【解析】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 34.已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，再由直线与平面所成角的正弦值易得. 【解析】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 设，则， 所以，所以， 连接连接，由长方体的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角即为直线与直线所成角， 在中，， 所以由余弦定理得， 即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A    35.如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    【答案】 【分析】由题意可得为与平面所成角，则，再由，可求出棱柱的高，从而可求出棱柱的表面积. 【解析】因为三棱柱为正三棱柱，所以为正三角形，平面， 因为为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 连接，， 所以为与平面所成角， 所以， 因为，为正三角形，所以，, 在直角中，，则，得， 所以 故答案为： 36.如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    【答案】 【分析】利用线面垂直的性质和判定证明即可；根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出即可得解； 【解析】因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 故答案为： 37.在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【解答】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 38.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据勾股定理即可求解. 【解析】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 39.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析;(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由四边形是菱形，得，再由平面，得，然后利用直线与平面垂直的判定可得平面； （2）（ⅰ）依题意可得，，利用勾股定理求出，，根据，所以即为直线与所成角（或补角），再利用余弦定理求出，即可得解； （ⅱ）依题意是直线与平面所成的角，从而得到，再由勾股定理求出，即可得到菱形的面积，最后根据锥体的体积公式计算可得； 【解析】（1）证明：四边形是菱形，， 又平面，平面， ，又，平面， 平面； （2）解：（ⅰ）平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以即为直线与所成角（或补角）， 又，所以在中由余弦定理， 即，解得，所以为锐角， 即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值； （ⅱ）平面， 是直线与平面所成的角， 于是， ，，又， 所以 菱形的面积为， 故四棱锥的体积． 题型七：立体几何中的线面垂直探索性问题 40．如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 【答案】存在，理由见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理得出知平面，再延长交延长线于点即可求解. 【解析】如图，分别取中点， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 因为平面， 所以平面，所以平面， 平面，所以， 又因为平面， 所以平面. 延长交延长线于点，由于平面， 所以，由于为的中点，故， 所以在直线上存在一点，， 使得. 41.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；. 【分析】在平面内找到一条直线与平行即可. 若平面，又由已知条件平面，平面与平面必然平行，因此容易想到为线段的中点，再证明即可. 【解析】（1）取中点，连接，， 在中，因为，分别是，中点， 所以，且， 在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面， 取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面， 所以，， 在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，， 由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 42.如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）假设存在经过的平面满足，推导出，与矛盾，进而可得出结论. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接，    在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，故， 因为平面，平面，因此平面. （2）解：假设存在经过的平面满足，因为平面，则， 因为平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，， 事实上，，，故为等腰直角三角形，且，矛盾. 因此，不存在经过的平面满足. 43.如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【解析】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 44.如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【分析】取的中点，连结并延长交于点，根据条件得到，取的中点，有，利用线面垂直的判定和面面垂直的判断，可得平面平面，再利用面面垂直的性质，得平面，再取的中点，利用，即可求解. 【解析】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 题型八：求二面角 45．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解析】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B. 46.在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【解析】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D. 47.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    【答案】45° 【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可. 【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 48.如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点，若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，则二面角的大小为_________． 【答案】 【分析】利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解. 【解析】 ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为， ∴，∴，∵平面，，⊂平面， ∴，，∵，，，平面， ∴平面，∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为，∴， ∴，，设， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，，∴是二面角的平面角， ∴二面角的大小为． 故答案为： 49.如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）在上取一点，使得，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面； （2）取的中点，的中点，由面面垂直得到⊥平面，⊥，⊥，设，由余弦定理和勾股定理逆定理得到⊥平面，即为二面角的平面角，解三角形即可求出. 【解析】（1）在上取一点，使得，连接， 因为，所以且， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接. 因为是正三角形，所以⊥ 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面. 因为平面，所以⊥. 设，则，， 又，由勾股定理得， ，故， 因为，所以，. 在三角形中，由余弦定理得 ， 故，故，则， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，， 由勾股定理得， 所以，即二面角的余弦值为. 50.已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. (1)求证：平面； (2)试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，或 【分析】（1）取中点，连接，，得到四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理即可证平面.； （2）是二面角的平面角，利用等积变换求出即可求解 【解析】（1）取中点，连接，， 如图所示：         ∵为棱的中点，∴且， 而中，，， 则，且，∴，即. 且，∴四边形为平行四边形，∴. ∵平面，平面∴平面. （2）在的折起过程中，存在一个位置，满足二面角的大小为或，使得三棱锥的体积为. 在中，，，； 所以在立体图中，，，，平面， ∴是二面角的平面角， 且平面，∵平面，∴平面平面 在面内作于，如图所示： 则平面，∴为三棱锥的高. ，，∴， 所以到的距离为， 当为锐角时，，∴ ， 所以符合要求的的位置存在且二面角的大小为或. 题型九：二面角大小的应用 51．如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得． 【解析】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接， 平面，则，同理， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 所以， 又是矩形，所以，， 从而，所以. 故选：A． 52.如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【解析】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 53.已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【解析】取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 54.将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【解析】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B. 55.如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【解析】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 56.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（  ）    A．22 B．44 C． D． 【答案】C 【分析】根据二面角的定义得到，然后结合余弦定理得到，根据线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用勾股定理求长度即可. 【解析】    如图，过点作，过点作交于点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，所以， 因为，，二面角为，所以， 在中，， 解得， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 57.如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造二面角的平面角，并计算边长，并将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理计算求值. 【解析】如图，取中点，中点，连接，，，.由，， 得为二面角的平面角，∴，且， 所以平面,，所以平面, 平面,所以, 因为，， 由余弦定理得， 所以. 因为，所以（或补角）为直线与所成的角. 在中，. 故选:C. 58.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【答案】 【分析】利用余弦定理表示所求，后再求最值即可. 【解析】作于点，连接， 设，则，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以面，所以， 则， 当最短时，，所以，即此时为的角平分线， 由角平分线定理可得，. 故答案为：. 59.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面，若，二面角的大小为，则与底面所成角的正弦值为___________．    【答案】 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【解析】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为.    故答案为： 60.如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 题型十：面面垂直的判定与证明 61．（多选）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（  ）． A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】ABD 【分析】 由已知可证明平面，由线面垂直可推出面面垂直，判断选项；在选项的基础上可判断选项，D不一定垂直；对于选项可考察动态变化情况，知其不一定垂直.. 【解析】 因为，且是的中点，所以，同理，， 由于，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，所以平面平面， 故正确； 由于平面平面，若平面平面，而平面平面， 则平面,但已知条件不能保证平面,所以平面与平面不一定垂直，故错误；同理平面与平面不一定垂直，故错误； 由于，所以当时平面，当长度趋于0时，二面角接近，故平面与平面不一定垂直，故错误； 故选：. 62.（多选）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（  ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理对选项逐一判断可得答案. 【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面， 所以C正确； 对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面， 平面，所以平面，因为为平面与平面的交线， 所以，又，所以，因为平面，平面， 所以，所以，又底面，所以，所以， 所以为平面与平面的二面角，若平面平面， 则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误. 故选：ABC. 63.（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论正确的是（  ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】（1）由线面垂直的判定定理、面面垂直判定定理可判断选项 【解析】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：ABD 64.（多选）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论正确的是（  ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABC 【分析】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【解析】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以 平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：ABC. 65.如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接，．由题意可证四边形为菱形，进而可得，又可得，进而可得平面，可证结论. 【解析】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 66.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【解析】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 67.如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【解析】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 68.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）若平面，则，由，得，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，由，，得为直角梯形的中位线，故，又，所以平面，由此能够证明平面平面． （3）由二面角的定义知为二面角的平面角，作于，连，由三垂线定理得，故为二面角的平面角，由此能求出二面角的大小． 【解析】（1） 若平面， 则， 由已知， 得， 这与矛盾，所以与平面不垂直． （2） 取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， ，又， 平面， 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （3） 由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为．    题型十一：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 69．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【解析】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 70.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解析】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 71.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． 求证：；    【答案】证明见解析 【分析】根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； 【解析】因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 72.如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    【答案】证明见解析. 【分析】根据已知有，结合面面垂直的性质有平面，进而有，取的中点M，连接，易得，最后由线面、面面垂直的判定证结论. 【解析】如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点， 所以，又平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 取的中点M，连接， 则四边形是边长为2的菱形， 所以， 又， 所以， 因为且都在面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.    73.如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）若，则为等边三角形，如图， 因为为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 题型十二：平行关系与垂直关系的综合应用 74．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行、垂直的判定定理可判断A、B；根据面面垂直的性质定理可判断C；根据面面平行的性质定理可判断D. 【解析】利用正方体确定线面之间的位置关系，如图所示， 对于A选项，设AD为m，BC为n，面为， 则满足，，，故A错误； 对于B选项，设AD为m，BC为n，AB为l，面为， 满足，，，，，故B错误； 对于C选项，面为，面为，AD为l, 满足，，，故C错误； 对于D选项，由面面平行性质定理： 两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行， 所以，，，可得. 故D正确. 故选：D. 75.（多选）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 【答案】BCD 【解析】对于A，设正方形边长为2，由正四棱锥性质可得平面，故， 因为面，故在底面的射影为， 又不与垂直，故不与垂直，故A不正确； 对于B，由题且，故四边形是平行四边形， 所以不在平面内，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为，平面，故平面， 平面即为平面，因为面，面， 所以，又因为，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故C正确； 对于D，由C可知与都在平面中且不平行，故与为相交直线，故D正确. 故选：BCD. 76.（多选）在棱长为2的正方体中，动点满足（其中），则（ ） A．三棱锥的体积随的改变而变化 B．平面 C．平面平面 D． 【答案】BC 【解析】因为动点满足（其中）， 所以点在线段上运动； 对于A，在正方体中，，，即四边形为平行四边形，如图， 则，而平面，平面，则有平面， 因此，点P到平面的距离为定值，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，A错误； 对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，平面， 则有平面平面，又平面，因此，平面，B正确； 对于C，如图连接，在正方体中，，而平面，平面， 则，又，平面，有平面，平面，于是得， 同理，因，平面，则平面， 平面，所以平面平面，C正确； 对于D，如图，连接，显然是正三角形，当点P与点B重合时，， 点P在运动过程中，不是总有成立， D错误. 故选：BC. 77.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【解析】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 78.如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【解析】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 79.如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【解析】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 题型十三：立体几何中的面面垂直探索性问题 80．如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围. 【解析】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接． 过点作，交于点． 设，，所以．    设，则． 因为平面平面ABC，平面平面， ，平面ABD，所以平面ABC， 又平面，所以． 又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，， 所以，． 因为，， 所以，得． 因为，所以，所以． 故选：C 81.如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【分析】（1）根据余弦定理求得，要证明线线垂直，则需证明线面垂直，即证明平面. （2）先证明平面， 然后确定直线与平面所成的角，进而确定其角的大小即可. （3）先确定为二面角的平面角，然后求其正切值，看是否存在. 【解析】（1）证明：在三棱台中，， 在等腰梯形中， ，则, 由余弦定理得， 则， 即， 而平面平面，平面平面 平面，则平面， 又平面，所以. （2）过作，垂足为， 因为，又平面， 所以平面， 平面，则 ， 又平面，则平面， 则为与平面所成的角， 则， 又平面平面，所以与平面所成的角为. （3）三棱台侧棱延长线交于点， 由（1）得为正三角形， 由平面平面，则平面平面， 取中点，连接，则，且， 而平面平面平面，则平面， 过作交于，则平面， 而平面，则， 过作于，连接，则为在平面内的射影， 又平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 若存在使得二面角的平面角正切值为 ，即 ， 设，则 因为，则， 即，解得， ， 所以 ，即 ，， 所以线段上存在满足题意的点，且. 82.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【解析】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 83.在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【解析】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 84.如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 85.在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】(1)点G为棱上靠近点的三等分点，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间线面、面面垂直的核心考点13种常考题型 题型一：直线与平面垂直的判定与证明 题型二：利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 题型三：利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 题型四：点面距离、线面距离及其应用 题型五：求直线与平面所成的角 题型六：直线与平面所成角的应用 题型七：立体几何中的线面垂直探索性问题 题型八：求二面角 题型九：二面角大小的应用 题型十：面面垂直的判定与证明 题型十一：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 题型十二：平行关系与垂直关系的综合应用 题型十三：立体几何中的面面垂直探索性问题 题型一：直线与平面垂直的判定与证明 1．已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（  ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 2.如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（  ） A． B． C． D． 3.（多选）如图，在三棱锥中，平面， ，，为的中点，则下列结论正确的有（  ） A.平面 B. C.平面 D.平面. 4.如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 5.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面，E、F分别是、的中点，.求证：平面.    6.如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 题型二：利用线面垂直的性质证明线线平行、垂直 7．如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（  ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 8.已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（  ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 9.（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（  ） A． B．平面 C． D． 10.如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 11.如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 12.如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型三：利用线面垂直判断线段比例或点所在的位置 13．在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（  ） A． B． C． D．1 14.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 15.（多选）在长方体中，，．下列四个结论正确的是（  ） A. B. C.平面 D.平面． 16.在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 17.已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的取值范围为__________ 18.已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． (1)求证：平面； (2)若线段上的点在平面内，求的值． 题型四：点面距离、线面距离及其应用 19．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（  ） A． B． C． D． 20.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为____________  21.四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 22.如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； 23.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 24.如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 题型五：求直线与平面所成的角 25．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D． 26.正方体，直线与平面所成的角的大小是（  ） A． B． C． D． 27.如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ）    A． B． C． D． 28.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 29.三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是____________ 30.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 31.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 32.如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.    (1)求证： (2)在直线上存在一点，，试求与平面所成角的正弦值. 题型六：直线与平面所成角的应用 33．在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（  ） A． B． C． D． 34.已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 35.如图，已知三棱柱为正三棱柱，为棱的中点，若与平面所成角为，则_________．    36.如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点，已知，则=_________；    37.在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 38.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线的长度. 39.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当时，求直线与所成角的余弦值； （ⅱ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积． 题型七：立体几何中的线面垂直探索性问题 40．如图，已知立方体底面棱的中点，在直线上是否存在一点，使得？说明理由. 41.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 42.如图，直三棱柱中，点为棱的中点， ．    (1)求证：平面； (2)判断是否存在经过的平面满足，并说明理由． 43.如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 44.如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 题型八：求二面角 45．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（  ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 46.在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（  ） A． B． C． D．2 47.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．    48.如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点，若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，则二面角的大小为_________． 49.如图，在四棱锥中，平面平面，，是线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)若是正三角形，，求二面角的余弦值. 50.已知中，， ，，分别取边的点，使得，将沿折起到的位置，设点为棱的中点，点为的中点，棱上的点满足. (1)求证：平面； (2)试探究在的折起过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由. 题型九：二面角大小的应用 51．如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（  ） A． B． C． D．2 52.如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（  ）      A． B． C．4 D．8 53.已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（  ） A． B． C． D． 54.将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（  ） A．1 B． C． D． 55.如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 56.如图，已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长度（  ）    A．22 B．44 C． D． 57.如图是由边长为2的正与正方形拼接成的平面图形，现将沿折起，当二面角为时，直线与所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 58.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 59.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面，若，二面角的大小为，则与底面所成角的正弦值为___________．    60.如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 题型十：面面垂直的判定与证明 61．（多选）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（  ）． A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 62.（多选）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（  ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 63.（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论正确的是（  ）    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 64.（多选）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论正确的是（  ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 65.如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 66.如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 67.如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 68.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 题型十一：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直 69．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    70.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 71.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面． 求证：；    72.如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形 是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.证明：平面平面.    73.如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 题型十二：平行关系与垂直关系的综合应用 74．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 75.（多选）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 76.（多选）在棱长为2的正方体中，动点满足（其中），则（ ） A．三棱锥的体积随的改变而变化 B．平面 C．平面平面 D． 77.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 78.如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 79.如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 题型十三：立体几何中的面面垂直探索性问题 80．如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 81.如图，在三棱台中，平面平面，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的大小； (3)线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 82.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 83.在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 84.如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 85.在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．    (1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； (3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $