2025-2026学年湘教版八年级数学下册高频考点分类训练之一次函数（12考点）

高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1．小强同学在超市买某种水果，下图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ）    A．重量和金额 B．单价和金额 C．重量和单价 D．重量、单价和金额 2.大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是 　，因变量是　 　． 3.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了　 　 个变量之间的关系，其中，自变量是　 　；因变量是　 　． 考点二：函数的相关概念 1.下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2.下列四个等式中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．任意实数 4．函数的自变量的取值范围是 ． 5．如图，某老师设计了一个程序要求学生计算函数值.若输入的x的值为2.5，写出所输出的函数值y为 . 考点三：函数的图象 1．水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A．B． C．D． 2．小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿，接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（ ） A．B． C． D． 3.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（　　） A．张强从家到体育场的速度是 km/ℎ B．体育场离文具店4千米 C．张强在文具店逗留了15分 D．张强从文具店回家的平均速度是 千米/分 4.如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（　　） A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2 5．如图所示的函数图象反映的过程是：小红从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小红离她家的距离，则小红从学校回家的平均速度为 千米/小时．    考点四：正比例函数与一次函数的定义 1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 2．下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 3.若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数 4.下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1．正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 2.正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 4．P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 考点六：一次函数的图象与性质 1.已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.下列一次函数中，y随x增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣2x+3 D．y＝3﹣x 3.关于一次函数y＝﹣x+1的描述，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与y轴的交点坐标是（0，1） 4.一次函数y＝mx+n（m、n为常数且mn≠0）与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3 2.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 3.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 考点八：一次函数与方程（组） 1.已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 2.在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 3．一次函数（，，是常数）的图像如图所示．则关于x的方程的解是 ． 4.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　 　． 5.如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为　　． 考点九：一次函数与不等式（组） 1.如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（    ） A． B． C． D． 3.如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于的x不等式kx+4+2x≥0的解集为　 　． 4.一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 考点十：一次函数与面积问题 1.直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 2.如图，已知直线与直线．    (1)求两直线与轴的交点的坐标； (2)求的面积． 3．已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图像上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且． (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 考点十一：一次函数应用题 1.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 2.某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售． （1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域； （2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由． 3．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： (1)该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； (2)求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； (3)若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 4.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求的最大值． 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.直线与x轴、y轴分别交于两点，且． (1)求的长和k的值： (2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？ (3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 2.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 3.如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：． (1)求：的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】 高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1．小强同学在超市买某种水果，下图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ）    A．重量和金额 B．单价和金额 C．重量和单价 D．重量、单价和金额 【答案】A 2.大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是 　，因变量是　 　． 【答案】冰层的厚度，冰层所承受的压力． 3.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了　 　 个变量之间的关系，其中，自变量是　 　；因变量是　 　． 【答案】两、香蕉数量、售价． 考点二：函数的相关概念 1.下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.下列四个等式中，是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．任意实数 【答案】B 4．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 5．如图，某老师设计了一个程序要求学生计算函数值.若输入的x的值为2.5，写出所输出的函数值y为 . 【答案】0.4 考点三：函数的图象 1．水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 2．小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿，接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成，设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x之间的关系的大致图象是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 3.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法正确的是（　　） A．张强从家到体育场的速度是 km/ℎ B．体育场离文具店4千米 C．张强在文具店逗留了15分 D．张强从文具店回家的平均速度是 千米/分 【答案】D． 4.如图1，矩形ABCD中，动点E从点C出发，速度为2cm/s，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点E运动的时间为xs，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积为（　　） A．48cm2 B．24cm2 C．21cm2 D．12cm2 【答案】A． 5．如图所示的函数图象反映的过程是：小红从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小红离她家的距离，则小红从学校回家的平均速度为 千米/小时．    【答案】6． 考点四：正比例函数与一次函数的定义 1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【答案】D 2．下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 【答案】A 3.若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数 【答案】A 4.下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C． 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【答案】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）n是一次函数， 即：m＝﹣1． 答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）n是一次函数； （2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数， 即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1．正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B． 2.正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C． 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 4．P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【答案】B 考点六：一次函数的图象与性质 1.已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 2.下列一次函数中，y随x增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣2x+3 D．y＝3﹣x 【答案】B 3.关于一次函数y＝﹣x+1的描述，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象经过第一、二、三象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与y轴的交点坐标是（0，1） 【答案】D． 4.一次函数y＝mx+n（m、n为常数且mn≠0）与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 5．一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 【答案】 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝﹣3x D．y＝﹣x/3 【答案】B． 2.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 【答案】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过点（﹣3，6）， ∴﹣3k＝6， 解得k＝﹣2， 所以，此函数的关系式是y＝﹣2x； （2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12； （3）把y代入解析式可得：x． 3.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 【答案】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则 ， 解得 ． 故该一次函数解析式为：y＝2x+1； （2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得 y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． 即：y的值为﹣5． 考点八：一次函数与方程（组） 1.已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【答案】C． 2.在平面直角坐标系中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 3．一次函数（，，是常数）的图像如图所示．则关于x的方程的解是 ． 【答案】x=3 4.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是 　 　． 【答案】x＝1． 5.如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为　　． 【答案】． 考点九：一次函数与不等式（组） 1.如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点．直接写出的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于的x不等式kx+4+2x≥0的解集为　 　． 【答案】x≥﹣1.5． 4.一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 考点十：一次函数与面积问题 1.直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】B 2.如图，已知直线与直线．    (1)求两直线与轴的交点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）当时，，， ∴； （2）联立，解得， 即， ∵， ∴， ∴的面积． 3．已知，如图，在平面直角坐标系中，正比例函数图像上有一点，点在轴上，作直线，与轴交于点，且． (1)求正比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设正比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则正比例函数的表达式为：； （2）解：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，设直线的表达式为， 由点，， ∴， ∴， 直线的表达式为：， 当时，，则点 ， 则的面积， 过点作轴交于点，设点，则点， 则， 则的面积， 解得：或， 则， 则点的坐标为：或． 考点十一：一次函数应用题 1.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 【答案】A 2.某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售． （1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写出定义域； （2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由． 【答案】解：（1）到甲商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系为：y甲＝280x，（x≥0）， 到乙商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系： 当0≤x≤3时，y乙＝300x， 当x＞3时，y乙＝300×3+300×0.8×（x﹣3）＝240x+180； （2）当0＜x≤3时，显然y甲＜y乙，故此时到甲商店购买合算； ①当y甲＝y乙时，即：280x＝240x+180，解得：x＝4.5， ∴当x＝4.5时，到甲、乙两商店购买一样； ②当y甲＜y乙时，即：280x＜240x+180，解得：x＜4.5， ∴当x＜4.5时，到甲商店购买合算； ③当y甲＞y乙时，即：280x＞240x+180，解得：x＞4.5， ∴当x＞4.5时，到乙商店购买合算； 综上，当0＜x＜4.5时，到甲商店购买合算；当x＝4.5时，到两商店购买一样合算；当4.5＜x≤10时，到乙商店购买合算． 3．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： (1)该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； (2)求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； (3)若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 【答案】(1)，； (2)； (3)吨． 【详解】（1）解：∵(元吨)， ∴不超过吨时，每吨收费元， ∵(元吨)， ∴超过吨时，每吨收费元， 故答案为：，； （2）解：当时，设， 把，代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （3）解：∵ ， ∴用水量超过吨， 把代入得， ， 解得， 答：该户居民用水吨． 4.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求的最大值． 【答案】（1）的值为10，的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）的最大值为1.8． 【详解】（1）依题意，得：， 解得：. 答：的值为10，的值为14. （2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克， 依题意，得：， 解得：. ∵为正整数， ∴， ∴有3种购买方案， 方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克； 方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克； 方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克. （3）设超市获得的利润为元， 则. ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为. 依题意，得：， 解得：. 答：的最大值为1.8． 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.直线与x轴、y轴分别交于两点，且． (1)求的长和k的值： (2)若点A是第一象限内直线上的一个动点，当它运动到什么位置时，的面积是？ (3)在（2）成立的情况下，y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程） 【答案】(1)，； (2)当点A运动到时，的面积是； (3)，，，． 【详解】（1）解：， 当时，，∴点C的坐标为，∴， 又，∴，即点B的坐标为， 将代入，得：，解得，；综上所述：，． （2）作于D， 由题意得，， ，解得，，即点A的纵坐标为4，，解得，， ∴当点A运动到时，的面积是； （3）在（2）成立的情况下，y轴上存在一点P，使是等腰三角形， 分四种情况考虑： 当时，； 当时，； 当时，作，， 为线段垂直平分线与轴的交点，，，， 设，则， 在中，，即 在中，，即， ，，， 当时，； 综上，P的坐标为，，，． 2.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：将代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 将点A的坐标代入，得， ∴， 将点A的坐标代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为： （2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则， 由折叠得， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， 又E在y轴负半轴， ∴； （3）分两种情况： ①当时，如图， 由折叠得， ， 过A作AG⊥x轴于G，， ，，∴； ②当时，如图， 由折叠得，， ∴， 由A、B两点坐标可得：， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或． 3.如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：． (1)求：的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由题意可得：解得， ∴， ∴ （2）如图所示，过点E作轴于G． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴设， 代入点和点的坐标得：， 解得， ∴的解析式为， ∴当时，， ∴与轴的交点坐标为． （3）存在，点Р的坐标为： ∵，点的坐标为， ∴ 又，，为顶点的四边形是平行四边形 设，当为平行四边形的对角线时， 解得：，则， 当为对角线时，， 解得：，则， 当为对角线时，， 解得：，则， 综上所述，点Р的坐标为：． 学科网（北京）股份有限公司 $