3.5 一次函数与二元一次方程的关系（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

3.5 一次函数与二元一次方程的关系 （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型二 利用图象法解一元一次方程 题型三 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型六 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型七 图象法解二元一次方程组 能力提升题 题型一 求直线围成的图形面积 题型二 一次函数与不等式组中的阴影区域问题 题型一 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 2．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 3．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 4．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 题型二 利用图象法解一元一次方程 5．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 6．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 7．如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 8．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 题型三 已知直线与坐标轴交点求方程的解 9．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 10．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 11．已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可； （2）当时，，当时，，解得，即可求出答案； （3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为． 列表如下： x … 0 1 2 … y … … 描点并连线， （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、． （3）解：把代入得到， 即m的值为． 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 12．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 13．如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 14．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 15．如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 16．如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象的平移规律即可得出结果． 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 题型五 两直线的交点与二元一次方程组的解 17．已知函数的图象如图所示，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：由图可知，函数的交点坐标为， ∴方程组的解是． 18．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 19．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 20．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 21．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②错误； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，3个结论正确． 22．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于第三象限．则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】联立方程组，求出交点坐标，再根据第三象限点的特征进行计算即可． 【详解】解：联立方程组， 解得：， 交点在第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 题型六 根据两条直线的交点求不等式的解集 23．如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 24．如图，根据图象，可得关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象，可得关于的不等式的解集是． 25．已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象在一次函数图象的下方对应的的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 26．如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点横坐标得出不等式的解集为，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：∵直线与相交于点，点的横坐标为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为： ∴A选项符合题意． 27．如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于， ∴不等式组，即的解集是． 28．已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为，在直线的右侧，即可求解． 【详解】解：由图象可得，当时，． 29．已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，令时，，解得；令时，，可得一次函数经过点，，利用描点法画图即可； （2）当时，，求解即可； （3）由，得到，当时，即，求解即可． 【详解】（1）解：令时，，解得； 令时，， ∴一次函数经过点，， 一次函数的图象如图所示， （2）解：当时，，解得， ∴当时，的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴当时，即，解得， ∴当时，的取值范围是． 30．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 题型七 图象法解二元一次方程组 31．解方程组： (1) (2)用画图像的方法解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法和图像法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）分别画出函数和的图像，得到两个函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：方程组整理得， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：画出函数和的图像如下： 由图像知，函数和的图像交于点， ∴方程组的解为． ． 题型一 求直线围成的图形面积 32．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 33．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①或；②点E的坐标为或 【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵轴，且点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，解得或； ②∵，，， ∴， 当点在线段上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为 当点在射线上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或． 35．已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）令、，求出对应的、的值，即可求出点，的坐标； （2）根据（1）中点，的坐标画图即可； （3）先求出、的长度，结合已知求出的长度，然后分点在点上方和点在点下方讨论即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， 所以，； （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， 当点在点上方时，， ∴的面积为； 当点在点下方时， ∵， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴的面积为； ∴的面积为或. 题型二 一次函数与不等式组中的阴影区域问题 36.阅读，我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数的图像，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线与直线的交点的坐标就是方程组的解，所以这个方程组的解为．    在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它的左侧的部分，如图2；，也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分，如图3． 回答下列问题： (1)在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组的解； (2)用阴影表示所围成的区域． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）两条直线的交点坐标就是两个一元二次方程的解，画出图象求交点解可； （2）画出取不等式的等号时的图象，即可得出阴影部分的图形． 【详解】（1）解：在直角坐标系中，作出直线和直线，如下图所示，    ∵点的坐标， ∴方程组的解为； （2）所围成的区域如下图阴影部分所示．    【点睛】本题主要考查了利用图象解决问题，解题关键是理解图解法的应用，利用函数图象解决方程或不等式问题． 37.图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得，即．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点满足． 【详解】解：如图：    点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：，即， ∴直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5， ∵阴影部分中任意一点的横坐标与纵坐标的和都小于5， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程、不等式之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 38.如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形即可判断阴影部分是由，，三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案． 【详解】解：∵表示直线右侧的部分， 表示直线左下方的部分， 表示直线右上方的部分， 故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答． 39.阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程的图象称为直线． 直线x－y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x－y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x－y＝0的上方区域内。特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题： （1）已知点A（2，1）、B（，）、C（，）、D（4，），其中在直线上的点有 （只填字母）；请再写出直线上一个点的坐标 ； （2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，则所有的点P组成的图形的面积是 ； （3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积． 【答案】（1）A、C；（0，-2）；（2）12；（3）见解析，面积为． 【分析】（1）将四点的坐标分别代入，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不在直线上；将x=0代入，求出y的值即可得到直线上一个点的坐标； （2）首先画出图形，再根据矩形面积公式计算即可； （3）首先画出图形，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）， ， 当时，，即点A（2，1）在直线上； 当时，，即点B（，）不在直线上； 当时，，即点C（，）在直线上； 当时，，即点D（4，）不在直线上； 在直线上的点有A、C； 将x=0代入，得y=-2， 直线上一个点的坐标可以是（0，-2） 故答案为：A、C，（0，-2）； （2）图形如图所示， 面积为：4×3=12； （3）图形如图所示： 和相交于A， ， 阴影部分面积， ． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，正确画出图形． 40．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 41．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象为直线l，它与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)如果把l向上平移2个单位后得到直线，求a，b的值； (2)当直线l过点和点时，且，求a的取值范围； (3)若平面内有动点，不论n取何值，点P均不在直线l上，设的面积为S．求S的值（用含字母b的式子表示）． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，以及一次函数平移的规律，平行线的性质， （1）根据一次函数平移的规律列方程组求解； （2）将两点的坐标代入解析式得出方程组，根据方程组可得出a，b的等量关系式，然后根据b的取值范围，可求出a的取值范围，另外注意一次函数中二次项系数的限制条件； （3）方法一：设点，则，化简得，结合题意得且，解得直线l的解析式为，直线l及直线与x轴所交锐角为，结合平行线间的距离处处相等，设直线与x轴交点C，过点C作于点D，①当，即时，则；②当，即时， 即可；方法二：设点，则，即，结合题意得关于x和y方程组 无解，即关于x的方程无解，那么，下文同理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：过点和点 ， 两式相减得； ， 当时，； 当时，． ，随的增大而增大，且， ． ， ． 且； （3）解：方法一：设点， 则， 即， ∴点P是直线上一动点， ∵不论n取何值，点P均不在直线l上， 故上述两条直线平行， 即且， 解得， ∴直线l的解析式为，直线l及直线与x轴所交锐角为， ∵平行线间的距离处处相等， 设直线与x轴交点C，过点C作于点D，如图， ①当，即时， ； ②当，即时， ， ； 综上，S； 方法二：设点， 则， 即， ∴点P是直线上一动点， ∵不论n取何值，点P均不在直线l上， ∴关于x，y的方程组 无解， 即关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 那么，直线l及直线与x轴所交锐角为， ∵平行线间的距离处处相等， 设直线与x轴交点C， 过点C作于点D，如图， ①当，即时， ； ②当，即时， ， ． 综上，S． 1 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 3.5一次函数与二元一次方程的 (7大题型基础达标练+2大题型能力提升练 基础达标练 题型一由一元一次方程的解判断直线与×轴的交点 题型二利用图象法解一元一次方程 题型三已知直线与坐标轴校点求方程的解 题型四由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五两直线的交点与二元一次方程组的解 题型六根据两条直线的交点求不等式的解集 题型七图象法解二元一次方程组 能力提升题 题型一求直线围成的图形面积 题型二一次函数与不等式组中的阴影区域问题 基础达标题 题型一由一元一次方程的解判断直线与ⅹ轴的交点 1.若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0)的解，则一次函数y= 交点坐标是( A.(3,0 B.(0,3 C.(0,2 2.已知方程kx+b=0的解是x=2,则函数y=+b的图象可能是 上好每一堂课 关系 拓展培优练) mx-n的图象与x轴的 D.（2,0 () 学科网·上好课 www.zxx k.co m 上好每一堂课 3.若关于x的方程2x-b=0的解为x=1,则直线y=2x-b一定经过点（) A.(1,0 B.(0,1 C.2,0 D.0,2 4.若关于x的方程3x+b=0的解是x=1,则直线y=3x+b一定经过点() A.(3,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 题型二利用图象法解一元一次方程 5.已知点-7,3)在直线y=x+b上，则关于x的方程x+b=3的解为() A.x=-7 B.x=7 C.x=-3 D.x=3 6.如图所示，一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点P,则方程k红+b=1的解是() A.x=1 B.x=2.5 C.x=3.5 D,无法确定 7.如图，一次函数y=ax+ba≠0)的图象经过点(2,4)，(4,1)，则关于x的方程ax+b=1的 解是() (2,4) (4,1) 0 A.4 B.3 C.2 D.1 8.在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+b（m,b为常数，且m≠0)与正比例函数 y=nx（n为常数，且n≠0)的图象如图所示，则关于x的方程mx=nx-b的解为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-mx+b y-nx A.x=3 B.x=-3 C.x=1 D.x=-1 题型三已知直线与坐标轴校点求方程的解 9.已知一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B. (1)求点A、B的坐标： (2)当x取何值时，函数值y满足0<y≤4？ (3)结合图象，求方程-2x+6=0的解，并直接写出不等式-2x+6<0的解集. 10.己知一次函数y=ax+b的图象如图所示. y本 4 3 1 654-3-2-10 .123x -2 (1)关于x的方程ax+b=0的解是 (2)关于x的方程ax+b=2的解是 3)关于x的方程ax+b+1=0的解是 11.已知二元一次方程2x-y=4. (1)画出二元一次方程表示的直线： (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A,B的坐标； 3)若(1)中的图像上有一点C(-2,m),求m的值. -X 6 -4 -2 0 题型四由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 3 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图，直线y=x+b经过点(-3,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集是() -30 A.x>-3 B.x<-3 C.x≥-3 D.x≤2 13.如图，若一次函数y=-2x+b的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标为 (0,3),则关于x的不等式-2x+b<0的解集为() A A.x72 3 B.x<2 C.x>3 D.x<3 14.如图，一次函数y=kc+b的图象经过点P(-2,1),则关于x的不等式kx+b≥1的解集为 () -20 A.x2-2 B.x≤-2 C.x21 D.x≤1 15.如图，一次函数y=+b(k≠0)的图象经过点(-2,0)，则下列说法正确的是() A.b<0 B.关于x的方程kx+b=0的解为x=2 C.y随x的增大而减小 D.不等式y<0的解集是x<-2 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(-1,0)，则关于x的不等式k(x+1)+b<0的解 集是() y-kx+b 013 A.x>-2 B.x<-2 C.x<0 D.x>0 题型五两直线的交点与二元一次方程组的解 3t*2 2 17.己知函数y=- 2 x+2,2=x+2的图象如图所示，则方程组 y= 的解是() 3 y=x+2 yi=- +2 y2=x+2 -20 3 x=0 x=-2 x=3 B. x=2 C. 0. y=2 y=0 y=2 y=2 18.在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b与y=k2x+b的图象如图所示，则关于x,y 的方程组 y-kx=B的解是（） y-k3x=b, y=h2x+62 y=k x+by x=2 x=1 x=-2 [x=2 A. B. c. y=1 0 y=2 y=1 y=-1 19.如图，直线：y=3x-1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b),则关于x,y的方程组 5 丽学科网·上好课 www.zxxk co m 上好每一堂课 [3x-y=1 的解是() mx-y=-n b x=1 [x=2 x=-1 [x=1 A. B. C. D. y=2 y=1 y=2 y=4 20.如图，直线1：y=x+ 与直线：y=mx+n相交于点P1,b),则关于，y的方程组 3 y=x+ 3的解与直线的表达式分别为() y=mx+n 10 x=1 x=1 A. y=2y=-x+2 B. 3 4;y=-x+ 3 x=1 x=1 3t+2 4 0 48 C. 4;y= 4;y= -x+ y= 3 3 3 3 21.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b,与y=k2x+b2的图象如图所示，小颖根 据图象得到如下结论：①在一次函数y=kx+b的图象中，y的值随着x值的增大而减小； ②6<b,:国方程kx+6,=0的解为x=1;④方程组kx+6=y x=2 的解是 kx+b2=y y=1·其中正确 结论的个数是() 6 丽学科网·上好课 www.zxxk co m 上好每一堂课 y=k,x+b2 1------ y=kx+b A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.在同一平面直角坐标系中，直线y=-2x-1与y=3x+m相交于第三象限.则实数m的 取值范围为() B.m c.-1<m<2 D.m<-1或m>2 3 A.m>-1 2 题型六根据两条直线的交点求不等式的解集 23.如图，函数y=- x与y=+b的图象交于点P叫m,l,不等式红+b>之的解集是() VA y=kx+b A.x<2 B.x>-2 C.x22 D.x≤-2 24.如图，根据图象，可得关于x的不等式kx>k2x+4的解集是() y= K,X y=k x+4 4 x A.x<2 B.x>2 C.x<3 D.x>3 25.已知在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+2与y=mx+n图象的交点坐标为-2，-4). 若ax+2<mx+n,则x的取值范围为() 7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1y=ax+2 y=mx+n -2 A.x>-2 B.x<-2 C.x>-4 D.x<-4 26.如图，直线，=x+b与2=x-1相交于点P,点P的横坐标为-1，则关于x的不等式 x+b>kx-1的解集在数轴上表示正确的是() y2=hx-1 y=x+b A 。十 B. -2-10 27.如图，观察图象，可以得出不等式组 3x+1>0 0.5x-1< 。的解集是() y=-0.5x+1 /y=3x+1 -1 012 -1 A.x<-3 B.、 3<r<0 C.x>2 3x<2 28.已知一次函数，=kx+b与y2=mx+n的图象如图所示，当x=6时，y与2的大小关系 是() 丽学科网·上好课 www zxxk com y y1=kx+b O y2-mx+n A.y>y2 B.y1=y2 C.4<y2 29.已知一次函数y=- 2x+2. 沐 5 3 -5-4-3-2-1,01 2345x -2 ×3引 4 ---L--5 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象( (2)当y>1时，x的取值范围是-： (3)当-2≤x≤4时，y的取值范围是_ 30.如图，根据图中信息解答下列问题： y =mx+n -20 4 y2-ax+b (1)关于x的方程ax+b=0的解是- (2)关于x的不等式mx+n<1的解集是-； (3)当x为何值时，y≤2？ (4)直接写出关于x的不等式组 ax+b>0 的解集 x+n>0 题型七图象法解二元一次方程组 9 上好每一堂课 D.无法确定 不用列表)； 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31.解方程组： y+1_x+2 (1)月43 2x-3y=1 (2)用画图像的方法解方程组： y=5-x y=2x-1 B 能力提升题 题型一求直线围成的图形面积 32.在平面直角坐标系中，将直线4：y=2x+1向上平移3个单位长度后得到直线马，直线、 直线！：y=-x+4与x轴围成的三角形的面积为() A.12 B.16 C.20 D.24 33.如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=-3x的图象交于点Aa,3), 经过点B(1,1,与x轴、y轴分别交于点C,D, VA D y=-3x y=kx+b (1)求点D的坐标： (2)求△A0C的面积. 34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= 二x+6的图象分别与x轴和y轴交于点A,B 4 ,经过点B的直线与x轴正半轴交于点C,且OB=OC,点D是线段AC上一个动点. 10 命学科网·上好课 www.zxxk co m 上好每一堂课 A (1)直接写出A,B,C三点的坐标及直线BC的表达式： (2)过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E,交直线BC于点F,设点D的横坐标为m. ①当EF=AD时，求m的值： 2 ②在点D的运动过程中，当△EBC的面积为14时，请直接写出点E的坐标. 1 35.已知：直线)y=2x+2与轴交于点4，与)轴交于点B. (1)求点A,B的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过A点作直线AP交y轴于点P,且使OP=20B,直接写出△ABP的面积. 题型二一次函数与不等式组中的阴影区域问题 36阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直 线；我们还知道，以二元一次方程2x一y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一 次函数y=2x+1的图像，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线 x=1 y=2x+1的交点P的坐标(1,3)就是方程组2x-y+1=0的解，所以这个方程组的解 (X=1 为y=3· y本 /y=2x+1 y=2x+1 P1,3) 3 2 0 123古 x=1 x=1 图1 图2 图3 图4 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2： y≤2x+1,也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3. 11 学科网·上好课 回答下列问题： (1)在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求 X≥-2 y≤-2x+2 (2)用阴影表示 所围成的区域. y≥0 37.图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集( 10 -94&7654321234678910x A.x-y≤-5B.x+y2-5 C 38.如图，表示阴影区域的不等式组为( 2x+y-=5 3x+4y=9 2x+y≥5 3x+4y29 A. B. y≥0 2x+y25 3x+4y29 C. 0 x≥0 39.阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方 点(1,1)表示，二元一次方程有无数个解，以 12 w.zxxk.com 上好每一堂课 ∫x=-2 方程组y=-2x+2的解： x+y≤5 D.x-y≤5 2x+y≤5 3x+4y≤9 (y20 12x+y≤5 3x+4y≥9 x≥0 （x=1 程x一y=0的一个解y=1可以用一个 方程x一y=O的解为坐标的点的全体叫作 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程x一y=0的图象.一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是 一条直线，我们可以把方程x一y=O的图象称为直线x一y=0 直线x一y=0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M(xo ,yo)的坐标满足不等式x一0，那么点M(xo,yo)就在直线x-y=0的上方区域内。特 别地，x=k(k为常数)表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，ym(m为常数)表示 纵坐标为m的点的全体组成的一条直线.请根据以上材料，探索完成以下问题： 个y -43-2-1 01234 (1)已知点A(2,1)、B(号，)、C(号，)、D(4,号)，其中在直线 3x-2y=4上的点有_（只填字母)；请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标_： 0≤x≤4 (2)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组0≤y≤3，则所有的点P组成的图形的面 积是 10≤x≤1 0≤y≤2 (3)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组 请在平面直角坐标系中画出所有 x-y≥0 的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积， 拓展培优题 40.小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数y=x+2展开探究，过程如下. (1)根据函数表达式列表如下，则表中m= -5 -4 13 命学科网·上好课 www.zxxk co m 上好每一堂课 .2 3 m (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 6 5 4 3 2 6-54-3-2-1,0123456 2 4 5 =6 3)方程x+2-了x+2的解为 41.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=(2a-3)x+5-b的图象为直线1，它与x轴，y 轴分别交于A,B两点， (1)如果把1向上平移2个单位后得到直线y=5x+1,求a,b的值； (2)当直线1过点(m,6-b)和点(m+3,4a-7)时，且-3<b<8,求a的取值范围； (3)若平面内有动点P(2n-1,4-2n),不论n取何值，点P均不在直线1上，设△PAB的面积 为S.求S的值（用含字母b的式子表示）， 14