第04讲：数列【十四题型】训练-2026届高考数学三轮冲刺

第04讲：数列 【题型归纳】 · 题型一：Sn和an关系求通项公式 · 题型二：累加法求通项公式 · 题型三：累乘法求通项公式 · 题型四：构造法求通项公式 · 题型五：等差数列问题 · 题型六：等比数列问题 · 题型七：数列的实际应用问题 · 题型八：数列恒（能）成立问题 · 题型九：倒叙相加法求和 · 题型十：错位相减法求和 · 题型十一：裂项相加法求和 · 题型十二：分组（并项）求和法 · 题型十三:数列与不等式交汇问题 · 题型十四：数列与统计交汇问题 【题型探究】 题型一：Sn和an关系求通项公式 【典例1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 【变式1】．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 题型二：累加法求通项公式 【典例2】．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【变式1】．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 题型三：累乘法求通项公式 【典例3】．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【变式1】．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列满足.记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 题型四：构造法求通项公式 【典例4】．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【变式1】．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【变式2】．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和_______. 题型五：等差数列问题 【典例5】．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【变式1】．（2026·吉林·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【变式2】．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 题型六：等比数列问题 【典例6】．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【变式1】．（2026·河南开封·二模）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 【变式2】．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 题型七：数列的实际应用问题 【典例7】．（24-25高三上·浙江·月考）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 题型八：数列恒（能）成立问题 【典例8】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，，，对任意不等于的正整数，都有，则实数的取值范围是______ 【变式1】．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【变式2】．（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 题型九：倒叙相加法求和 【典例9】．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【变式1】．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【变式2】．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____. 题型十：错位相减法求和 【典例10】．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【变式1】．（2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【变式2】．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 题型十一：裂项相加法求和 【典例11】．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 【变式1】．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【变式2】．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 题型十二：分组（并项）求和法 【典例12】．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【变式1】．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 题型十三:数列与不等式交汇问题 【典例13】．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【变式2】．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 题型十四：数列与统计交汇问题 【典例14】．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【变式1】．（2026·湖南长沙·模拟预测）某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【变式2】．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列中，，则数列中正数项共有（    ） A．7项 B．8项 C．9项 D．10项 2．（2026·河南·模拟预测）设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（   ） A．84 B．63 C．42 D．21 3．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（    ） A．1 B． C．6 D． 5．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和为，且，则对，（    ） A． B． C．存在常数，使得 D．存在常数，使得 6．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 7．（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 9．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 11．（2026·江西·二模）已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（   ） A．记数列，则数列的前项的和小于 B．记数列，则数列的前2026项的和为2026 C． D．数列的前项的和为 三、填空题 12．（2026·山东济南·模拟预测）已知是各项均为正整数的递增数列，前n项和为，若，当n取最大值时，的最大值为________． 13．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 14．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 15．（2026·福建龙岩·三模）已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 四、解答题 16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列的前项和为，且与2的等差中项是． (1)求证：数列是等比数列； (2)记，试判断与的大小关系，并给出证明． 17．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 18．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 19．（2026·吉林·三模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求数列的前项和. 20．（2026·山东东营·二模）某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个．每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中．若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券．每位顾客只有一次抽奖机会． (1)求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率； (2)若一个不透明的盒子中共有个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量．证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； (3)为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖．已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球．求第位顾客获得七折优惠券的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：数列 【题型归纳】 · 题型一：Sn和an关系求通项公式 · 题型二：累加法求通项公式 · 题型三：累乘法求通项公式 · 题型四：构造法求通项公式 · 题型五：等差数列问题 · 题型六：等比数列问题 · 题型七：数列的实际应用问题 · 题型八：数列恒（能）成立问题 · 题型九：倒叙相加法求和 · 题型十：错位相减法求和 · 题型十一：裂项相加法求和 · 题型十二：分组（并项）求和法 · 题型十三:数列与不等式交汇问题 · 题型十四：数列与统计交汇问题 【题型探究】 题型一：Sn和an关系求通项公式 【典例1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 【答案】C 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 【变式1】．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 【变式2】．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 【答案】A 【详解】，当时，；当时， 两式相减得 两边同除以：，所以数列是首项为，公差为的等差数列 所以 所以是单调递增数列； 故选:A. 题型二：累加法求通项公式 【典例2】．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 【变式1】．（2026·湖北武汉·二模）若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 所以在上单调递增，且， 因此，时，， 由，由递推式，得对所有的成立， ， 令，， 恒成立， 所以在单调递减，，因此时，， 即，数列单调递减， 因此，故A错误； B.， 令，， ， 当时，，时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以时，，即，所以，故B错误； C.由两边取倒数，得，即，故C错误； D.由可知，，即， 根据累加法，，故D正确. 【变式2】．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·月考）在数列中，，，则（   ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 【答案】D 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 题型三：累乘法求通项公式 【典例3】．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 【变式1】．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列满足：，， 当时，， 当时，由可得， 两个等式作差得，所以，可得， 当时，，满足， 故当时，， 所以 ， 因此，. 故选：B. 【变式2】．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列满足.记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 而，故， 由累加法可得当时，，则， 又因为当时，也成立，所以，即，A选项错误；所以，B选项错误，故， 由累乘法可得，当时， 所以， ，所以，C对D错. 故选：C 题型四：构造法求通项公式 【典例4】．（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 【变式1】．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【答案】6 【详解】由，得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故，令，则，所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 【变式2】．（2022·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和_______. 【答案】 【详解】由，有，，两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则，所以，所以.故答案为：. 题型五：等差数列问题 【典例5】．（2026·陕西榆林·三模）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 【变式1】．（2026·吉林·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得： ① 由，得： ② 联立解得，， . 【变式2】．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 【答案】 【详解】因为数列的通项公式是， 所以，即数列是等差数列， 所以数列的前项和为， 因为，依然为等差数列， 所以的前项和为， 所以数列的前项和. 题型六：等比数列问题 【典例6】．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列满足，且对任意的，满足，则___________． 【答案】 【详解】一方面，， 另一方面，，故， 则，所以不等式必取等号，故． 通过累加法，可以得到， 故． 【变式1】．（2026·河南开封·二模）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 【答案】1150 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则，， 集合中小于的元素有32个，它们的和为， 集合中不大于的元素有6个，它们的和为， 所以. 【变式2】．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 题型七：数列的实际应用问题 【典例7】．（24-25高三上·浙江·月考）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故选：B. 【变式1】．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出，及，再构造数列并判断单调性得解. 【详解】依题意，，， 则，令， 则，， 因此当时，；当时，，即最大， 所以当最大时，. 故选：B 【变式2】．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 题型八：数列恒（能）成立问题 【典例8】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，，，对任意不等于的正整数，都有，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】结合递推公式及等差数列的定义得到数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，再由二次函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】由，得， 得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以，于是， 因为对任意不等于的正整数，都有， 又二次函数图象的对称轴为， 由题意得，解得，所以实数的取值范围是. 【变式1】．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 【变式2】．（2026·辽宁大连·一模）已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 【答案】 【分析】写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值. 【详解】由题可知，则， ， ==. 设，. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则在时取得最大值. 题型九：倒叙相加法求和 【典例9】．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【详解】因为，所以 ，即：， 令， 则， 所以， 所以. 【变式1】．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 【变式2】．（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故，又时也符合上式，故， ，． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 题型十：错位相减法求和 【典例10】．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）已知，令，则，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则. （2），因为，所以， 则. 设 相减得到； 则， 因为，所以，因此，得证. 【变式1】．（2026·山西·二模）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【详解】（1）设是等比数列的公比，由，，成等差数列，得，即，则，解得，由，得，解得，所以数列的通项. （2）由（1）得，则，于是， 两式相减得，， 因此，又， 则数列是递增数列，， 所以. 【变式2】．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立，只需的最大值. ，当时，，即；当时，，即，故最大值为. 因此的取值范围为. 题型十一：裂项相加法求和 【典例11】．（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)98； (2). 【详解】（1）由题意，，， 所以，， ， 所以. （2）由题意，， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得，则， 即的取值范围为. 【变式1】．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式， （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故，故 .综上，. 【变式2】．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知递推式得出数列是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【详解】（1），则， ，又， 故是首项为，公比是的等比数列， ，即， 成立， 数列的通项公式为． （2）， ， ， ， ， ， ，故． 题型十二：分组（并项）求和法 【典例12】．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 【变式1】．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）证明见解析. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 题型十三:数列与不等式交汇问题 【典例13】．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以．由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 【变式1】．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【详解】（1）设数列的前项和为，则， 又，. （2）（i）， 又， ， ∵对任意，有，且， ∴数列是以为首项，4为公比的等比数列． （ii）由，，则，由于， 又．从而，证毕． 【变式2】．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 【详解】（1）由题有． 因为对于任意，都有， 即，且，所以，故函数在上单调递增， 下面证明：． 因为，所以，由的单调递增性质可知， 即．因为且，整理得：． 同理，因为，所以，由的单调递增性质可知， 即，整理得． 将两式相加得， 因为，两边同时除以， 得，得证． （2）（i）由题意，则． 要证明数列单调递减，即证明单调递增， 因为在上单调递增，且，所以． 由（1）知，在上单调递增，且，所以． 因为，且定义域为，且单调递增， 故当时，从而， 所以，即．故数列单调递减． （ii）记． 由（1）可知有， 同理， 依此类推，可得：， 将代入右侧可得，即． 由题意，令，则满足，所以． 因为在上单调递增，所以， 即，得证． 题型十四：数列与统计交汇问题 【典例14】．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 【变式1】．（2026·湖南长沙·模拟预测）某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列. （2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出. 【详解】（1）根据题意，的可能取值为. 即二次抽卡均抽到普通卡片，， 即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，， 即二次抽卡均抽到稀有卡片，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件， 则， . . （ⅱ）由（ⅰ）及，得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【变式2】．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)分布列见详解， (2) (3) 【详解】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. （2）记事件：甲同学获奖，显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则，所以， 令，所以， 两式相减：， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即，同理：， ，， ，累加有，所以，即，即，即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：，由，即，解得，故的最小值为. 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）等差数列中，，则数列中正数项共有（    ） A．7项 B．8项 C．9项 D．10项 【答案】B 【分析】先根据等差数列基本计算得，再解即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列中，， 所以，解得， 所以， 故，解得， 因为，所以时，，即数列中正数项共有8项. 2．（2026·河南·模拟预测）设等差数列的首项和公差均为m，等比数列的首项和公比也均为m，其中，若数列的前6项和与数列的前3项和都等于S，则（   ） A．84 B．63 C．42 D．21 【答案】A 【分析】先根据题意，利用求和公式分别表示出等差数列的前6项和与等比数列的前3项和，再由二者相等建立关于的方程，进一步求解出. 【详解】依题意可知，，显然， 又， 则． 又，故， 所以，解得，所以． 3．（2026·河北保定·二模）已知各项不全为零的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得数列为等差数列， 则，又，所以， 由于数列各项不全为零，则等差数列为递增数列或递减数列，即其他项均不为0. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列的前n项的和为，且满足，，若，则（    ） A．1 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】通过裂项相消法建立的关系，利用递推式发现数列以6为周期，计算周期和并结合建立方程求解. 【详解】因为 ，所以； 令，则，因为，即， 所以，，，，，，，， 所以数列是以6为周期的数列， 且当时，， 因为， 所以， 解得，所以. 5．（2026·重庆·三模）已知数列的前项和为，且，则对，（    ） A． B． C．存在常数，使得 D．存在常数，使得 【答案】D 【分析】利用特殊值法得到，判断AB；根据与的关系得到， 进而得到，即可判断CD. 【详解】由题意，，当时，，则，由于与大小不确定，故AB错误. 由，得，即，也即， 则当时， ， 所以，无上限，故C错误. 当时，，故D正确． 6．（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【答案】C 【详解】对于A，由为常数列，则， 整理得，解得或，即或，故A错误； 对于B，由A知，当或时，为常数列，故B错误； 对于C，由， 当时，，则，同理可得， 满足对于任意正整数，成立， 而，即， 则为递增数列，故C正确； 对于D，由，当时，， 而，则，即，，则， 所以不存在正整数，使得，故D错误. 7．（2026·河南新乡·三模）已知数列满足，其中.若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题设中的递推关系即为，据此可求及，根据对任意的恒成立，可求实数的取值范围. 【详解】由可得， 而，故即， 即， 因为对任意的恒成立，故对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 而，故对任意的恒成立， 由化简可得对任意的恒成立， 而，而当时，故. 二、多选题 8．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. 9．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误；，故B正确；，故C正确；当取得最大值时，或，故D错误． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，为其前n项积，公比，且，，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．使的正整数n的最小值为5 C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，得，解得，则，即数列为递减数列，故A正确；对于B，由，得，则，即，因此，使的正整数n的最小值为5，故B正确；对于C，由于，则时，，时，，时，， 则的最大值为或，故C错误；对于D，，故D正确. 11．（2026·江西·二模）已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是（   ） A．记数列，则数列的前项的和小于 B．记数列，则数列的前2026项的和为2026 C． D．数列的前项的和为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用常见的裂项相消公式化简通项公式求解； 对于B：根据余弦函数在为奇数偶数的取值，求项数为偶数时的前项和公式，代入计算可得； 对于C：先求出，再利用求出和，看与是否相等即可； 对于D：根据的通项公式求出的通项公式，再求前项和 【详解】对于A：依题意， ， 所以的前项和为， 故A正确； 对于B：，当为偶数时， ，当为奇数时， ， 要求前项的和，需求为偶数时的通项公式， 所以当为偶数时，前项和为， 其中括号内从第一项起每相邻两项为一组，每组的和均为，共有组， 故前项和为 ，所以当时，前项和为，故B正确； 对于C：， 所以，， ， ，显然，故C错误； 对于D：，故前项和为，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（2026·山东济南·模拟预测）已知是各项均为正整数的递增数列，前n项和为，若，当n取最大值时，的最大值为________． 【答案】73 【分析】为使n取最大值时且当n取最大值时，取最大值，可构造数列的前项为，来寻找的最大值. 【详解】为使n取最大值时且当n取最大值时，取最大值，可令数列的前项为， 则，， 由，又为正整数，故解得， 时，，此时，不合题意， 时，，，满足题意. 所以的最大值是. 13．（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 【答案】 【分析】由题设中的递推关系可得，据此可求，求出可得. 【详解】因为，故，故， 整理得，当时，有， 故， 而，故，而， 故，故，故， 而，也满足上式，故. 14．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 15．（2026·福建龙岩·三模）已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 【答案】5 【分析】根据题意，利用通项与前项和关系求出，，则，令，则，根据求出答案. 【详解】解：当时，，即， 当时，， 所以，对成立，故． 此时． 又因为时，， 当时，，对成立， 故 此时， 令， 得，而，所以， 则，所以当时，，当时，， 即奇数项中，最小，而， 故数列的最小项为，则当取得最小值时，． 四、解答题 16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列的前项和为，且与2的等差中项是． (1)求证：数列是等比数列； (2)记，试判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，；当时，，证明见解析 【分析】（1）降标作差，利用即可得出，再构造数列，利用等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出化简，分、两种情况讨论，利用放缩得出，利用等比数列求和即可得出，. 【详解】（1）由题意得，，所以， 当时，，解得． 当时，， 得，即， 所以， 所以，所以， 又，于是数列是以2为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）得，，故． 所以. 当时，，则； 当时，，故， 所以， 即，所以， 所以. 因此，当时，；当时，． 17．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 18．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 19．（2026·吉林·三模）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记事件表示从第个盒子里取出蓝球，则 ， 所以. （2）由（1）知， 所以. 因为，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列.所以，即. （3）由（2）得. 设的前项和分别是，， ， 以上两式相减，得, 所以.，所以， 即数列的前项和为. 20．（2026·山东东营·二模）某商场组织抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有10个形状、大小、质地完全相同的小球，其中白球4个，红球6个．每位顾客从盒子中随机抽取1个球，记录颜色后放回盒子中．若抽得白球，则获得九折优惠券；若抽得红球，则获得七折优惠券．每位顾客只有一次抽奖机会． (1)求前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券的概率； (2)若一个不透明的盒子中共有个形状、大小、质地相同的小球，其中红球的个数是一个离散型随机变量．证明：从该盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； (3)为增加趣味性，商场第二天调整了规则：在每位顾客抽奖完成并放回小球后，店员往盒子中增加3个与刚才取出球颜色不同的小球（若取出红球，则增加3个白球；若取出白球，则增加3个红球），然后下一位顾客再进行抽奖．已知第一位顾客抽奖前，盒子中仍为4个白球和6个红球．求第位顾客获得七折优惠券的概率． 参考公式：若是离散型随机变量，有． 【详解】（1）解：设“前四位顾客中，至少有两位顾客获得七折优惠券”为事件， 则． （2）解：， 设“从盒中随机抽取1个球，抽到红球”为事件， 由全概率公式可得， 所以从盒中随机抽取1个球，抽到红球的概率为； （3）设第位顾客抽完后，第位顾客抽奖前，盒中的红球数为离散型随机 变量，则此时盒中的白球数为，一共有个球， 设离散型随机变量，由题意得， 由（2）知：， 所以， 根据参考公式可得     所以， 令则， 累加可得，因为， 所以，又因为符合上式， 所以，所以， 所以当时，由（2）知， 又因为符合上式，所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $