专题17分式的加减同步培优讲义 2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

专题17分式的加减 （6知识点+9题型+过关检测） 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 通分】 3 【题型3 最简公分母】 3 【题型4 异分母分式加减法】 4 【题型5 整式与分式相加减】 4 【题型6 分式加减的实际应用】 5 【题型7 分式加减乘除混合运算】 6 【题型8 分式化简求值】 7 【题型9 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8 1. 知识目标：类比分数加减法，理解并掌握同分母、异分母分式的加减运算法则；掌握分式通分、最简公分母的概念及求解方法；熟练掌握分式加减乘除混合运算规则。 2. 能力目标：能准确完成分式通分、同分母与异分母分式加减运算；可独立解决整式与分式混合加减、分式化简求值、分式实际应用、分式恒等式参数求解等重难点题型。 3. 素养目标：掌握“化异为同”的转化数学思想，提升因式分解、通分、约分化简的综合运算能力，培养规范解题、严谨验算的学习习惯。 4. 易错目标：规避分子加减漏括号、通分出错、最简公分母找错、混合运算顺序混乱、化简不彻底等高频错误。03 知识•梳理 知识点1：同分母分式加减法法则 1. 法则内容：同分母分式相加减，分母保持不变，只把分子相加减。 2.公式表示：（） 3. 核心要求：分子是多项式时，相加减必须加括号，避免符号错误；运算结果必须约分，化为最简分式或整式。 知识点2：通分与最简公分母 1. 通分定义：利用分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，这个变形过程叫做通分，是异分母分式加减的核心基础。 2. 最简公分母定义：几个分式分母所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母。 3. 最简公分母求解方法： ① 分母为单项式：取各分母系数的最小公倍数，搭配所有字母的最高次幂； ② 分母为多项式：先对所有分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的积。 4. 通分原则：不改变分式本身的值，保证通分前后分式相等。 知识点3：异分母分式加减法法则 1. 法则内容：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。 2. 公式表示：（） 3. 运算核心步骤：因式分解→找最简公分母→通分→分子加减→约分化简。 知识点4：整式与分式加减规则 整式可以看作分母为1的分式，统一分母后，再进行异分母分式加减运算，最后化简结果。 知识点5：分式加减乘除混合运算规则 1. 运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算从左到右依次进行。 2. 运算原则：先乘除化简，再通分加减；全程及时约分，最后结果必须是最简形式。 知识点6：分式恒等式核心性质 若两个分式恒等（对所有使分式有意义的字母取值均成立），则等式左右两边对应项的系数、次数完全相等，可据此求解未知分子、分母中的参数。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题技巧：多个分式加减时，可一次性合并分子再计算，减少步骤；遇到互为相反数的分子可提前合并简化运算。 高频易错：减法运算时，后一个分子整体未加括号，导致符号出错；结果未彻底约分。 【典例1】．计算的结果是（   ） A．x B． C． D． 【变式1】．如果，那么______． 【变式2】．计算： (1) (2) 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型2 通分】 解题技巧：优先因式分解多项式分母，避免找错公分母；通分只补乘缺少的因式，不改动原有因式。 高频易错：分母因式分解不彻底；分子漏乘对应因式，导致分式值改变。 【典例2】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【变式2】．通分： (1)，； (2)，，，． 【变式3】．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【题型3 最简公分母】 解题口诀：分母分解彻底，系数取小公倍，字母因式取最高，相反因式算一类。 高频易错：多项式未分解直接相乘作为公分母；重复计算相反因式。 【典例3】．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．分式和的最简公分母为______． 【变式2】．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【变式3】．求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【题型4 异分母分式加减法】 解题技巧：通分是关键，绝不直接分子分母交叉加减；复杂式子分步通分，避免一步出错全盘错误。 高频易错：通分时分母出错；分子加减漏括号、符号混乱；最后忘记约分。 【典例4】．计算的结果等于（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为________． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型5 整式与分式相加减】 解题技巧：整式单独作为整体通分，切勿只给整式部分局部变形；减法运算时整式通分后注意符号匹配。 高频易错：整式直接和分式分子相加减，忽略分母；通分后分子计算出错。 【典例5】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：的结果是______． 【变式2】．计算：． 【变式3】．（1）计算： （2）计算：． 【题型6 分式加减的实际应用】 高频应用模型： ① 工程问题：多队合作效率、效率差值计算； ② 行程问题：平均速度、时间差值计算； ③ 浓度、单价问题：均价、浓度变化差值计算。 解题技巧：先找基准量，再列加减关系，避免列式颠倒；结果保留最简分式或合理小数。 【典例6】．计算： (1) (2) 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1) (2) 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题技巧：分步运算，先化简乘除，再处理加减，不要同步运算；能约分先约分，大幅简化后续通分计算。 高频易错：运算顺序颠倒，先加减后乘除；括号运算遗漏；化简不彻底。 【典例7】．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式1】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【变式2】．一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【变式3】．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【题型8 分式化简求值】 解题技巧：化简步骤分步书写，避免跳步出错；优先选择计算简便的合规数值代入；复杂式子化简后大概率为整式，计算更简便。 高频易错：直接代入原式计算；忽略分母不为0的限制；代入负数、分数时漏加括号导致符号错误。 【典例8】．化简： 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算： (1) (2) 【变式3】．化简：． 【题型9 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧：无需代入数值，全程利用“恒等则系数对应相等”解题；多项式展开后逐项对比，不遗漏次数和系数。 高频易错：展开多项式漏项；同类项系数对比错误；忽略常数项对应相等。 【典例9】．若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．实数a，b，c满足，，则________． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【变式3】．先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 05 过关•检测 1．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则常数，的值分别是：_____． 4．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 5．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 7．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 9．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 10．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 11．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 12．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 13．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 14．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．4 15．若，则代数式的值为________． 16．若，则的值是______． 17．已知，，则_____． 18．已知，且，则______． 19．分式，，的最简公分母是____________． 20．已知是实数，并且，则代数式的值是____． 21．计算： (1) (2) 22．先化简，再求值：，其中． 23．化简下列分式：下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，0，1三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． (1)请判断是否是“和谐分式”：______；（填“是”或“否”） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当取什么整数时，该式的值为整数． 25．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 26．随着外卖行业的快速发展，送餐效率成为影响用户体验的关键因素．某校初二数学兴趣小组对两种常见的送餐速度规划方式进行数学分析，通过计算比较两位外卖员的送餐总时间，筛选出更高效的送餐方案，为骑手配送提供参考． 活动主题 两位外卖员不同送餐方式下的总时间比较 活动准备 1．知识准备：分式的化简与加减运算；2．工具准备：草稿纸、计算器；3．设定前提：单次送餐的全程路程为定值，忽略红绿灯、路况拥堵等额外影响因素，仅考虑速度与路程、时间的数学关系． 活动计划 甲外卖员：先用的速度走完全程的一半，再用的速度走完剩余的一半路程；乙外卖员：先用的速度走完全程时间的一半，再用的速度走完另一半时间． 确定思路 1．利用公式，分别列出甲，乙两人走完全程所用时间的代数式； 2．采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小； 3．结合计算结果，得出配送效率的最优方案． 根据以上信息，回答下列问题： (1)用含，，的式子分别表示甲，乙两位外卖员的送餐时间； (2)哪个外卖员的走完全程所有的时间最少？ 27．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 28．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17分式的加减 （6知识点+9题型+过关检测） 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 通分】 4 【题型3 最简公分母】 7 【题型4 异分母分式加减法】 9 【题型5 整式与分式相加减】 11 【题型6 分式加减的实际应用】 12 【题型7 分式加减乘除混合运算】 16 【题型8 分式化简求值】 20 【题型9 已知分式恒等式，确定分子或分母】 22 1. 知识目标：类比分数加减法，理解并掌握同分母、异分母分式的加减运算法则；掌握分式通分、最简公分母的概念及求解方法；熟练掌握分式加减乘除混合运算规则。 2. 能力目标：能准确完成分式通分、同分母与异分母分式加减运算；可独立解决整式与分式混合加减、分式化简求值、分式实际应用、分式恒等式参数求解等重难点题型。 3. 素养目标：掌握“化异为同”的转化数学思想，提升因式分解、通分、约分化简的综合运算能力，培养规范解题、严谨验算的学习习惯。 4. 易错目标：规避分子加减漏括号、通分出错、最简公分母找错、混合运算顺序混乱、化简不彻底等高频错误。03 知识•梳理 知识点1：同分母分式加减法法则 1. 法则内容：同分母分式相加减，分母保持不变，只把分子相加减。 2.公式表示：（） 3. 核心要求：分子是多项式时，相加减必须加括号，避免符号错误；运算结果必须约分，化为最简分式或整式。 知识点2：通分与最简公分母 1. 通分定义：利用分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，这个变形过程叫做通分，是异分母分式加减的核心基础。 2. 最简公分母定义：几个分式分母所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母。 3. 最简公分母求解方法： ① 分母为单项式：取各分母系数的最小公倍数，搭配所有字母的最高次幂； ② 分母为多项式：先对所有分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的积。 4. 通分原则：不改变分式本身的值，保证通分前后分式相等。 知识点3：异分母分式加减法法则 1. 法则内容：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。 2. 公式表示：（） 3. 运算核心步骤：因式分解→找最简公分母→通分→分子加减→约分化简。 知识点4：整式与分式加减规则 整式可以看作分母为1的分式，统一分母后，再进行异分母分式加减运算，最后化简结果。 知识点5：分式加减乘除混合运算规则 1. 运算顺序：先算乘除，后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算从左到右依次进行。 2. 运算原则：先乘除化简，再通分加减；全程及时约分，最后结果必须是最简形式。 知识点6：分式恒等式核心性质 若两个分式恒等（对所有使分式有意义的字母取值均成立），则等式左右两边对应项的系数、次数完全相等，可据此求解未知分子、分母中的参数。 04 题型•汇总 【题型1 同分母分式加减法】 解题技巧：多个分式加减时，可一次性合并分子再计算，减少步骤；遇到互为相反数的分子可提前合并简化运算。 高频易错：减法运算时，后一个分子整体未加括号，导致符号出错；结果未彻底约分。 【典例1】．计算的结果是（   ） A．x B． C． D． 【答案】B 【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】．如果，那么______． 【答案】 【分析】利用分式运算拆分已知等式，通过移项计算得到的值. 【详解】解: ， 即， 移项得. 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型2 通分】 解题技巧：优先因式分解多项式分母，避免找错公分母；通分只补乘缺少的因式，不改动原有因式。 高频易错：分母因式分解不彻底；分子漏乘对应因式，导致分式值改变。 【典例2】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【变式1】．对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 【变式2】．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 【变式3】．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【题型3 最简公分母】 解题口诀：分母分解彻底，系数取小公倍，字母因式取最高，相反因式算一类。 高频易错：多项式未分解直接相乘作为公分母；重复计算相反因式。 【典例3】．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照取系数最小公倍数、相同字母取最高次幂、单独出现的字母连同指数保留的规则计算即可 【详解】解：两个分式的分母分别为和 ∵ 系数分别为和，系数的最小公倍数是 字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，单独出现的字母保留一次 ∴ 最简公分母为 【变式1】．分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 【变式2】．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【变式3】．求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 【题型4 异分母分式加减法】 解题技巧：通分是关键，绝不直接分子分母交叉加减；复杂式子分步通分，避免一步出错全盘错误。 高频易错：通分时分母出错；分子加减漏括号、符号混乱；最后忘记约分。 【典例4】．计算的结果等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路为统一分母，将异分母分式转化为同分母分式计算，再对分子因式分解约分得到结果． 【详解】 ， ， ． 【变式1】．已知，则的值为________． 【答案】2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型5 整式与分式相加减】 解题技巧：整式单独作为整体通分，切勿只给整式部分局部变形；减法运算时整式通分后注意符号匹配。 高频易错：整式直接和分式分子相加减，忽略分母；通分后分子计算出错。 【典例5】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式1】．计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式计算方法是解题的关键．先通分，再分子展开，合并化简，化为最简分式即可． 【详解】 【变式3】．（1）计算： （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）根据分式的加减进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法然后计算加减即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【题型6 分式加减的实际应用】 高频应用模型： ① 工程问题：多队合作效率、效率差值计算； ② 行程问题：平均速度、时间差值计算； ③ 浓度、单价问题：均价、浓度变化差值计算。 解题技巧：先找基准量，再列加减关系，避免列式颠倒；结果保留最简分式或合理小数。 【典例6】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）先计算括号内，再通分进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键； （1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）； ， ； （2） = ． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案； （2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键． 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题技巧：分步运算，先化简乘除，再处理加减，不要同步运算；能约分先约分，大幅简化后续通分计算。 高频易错：运算顺序颠倒，先加减后乘除；括号运算遗漏；化简不彻底。 【典例7】．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 【变式1】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 【变式2】．一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)倒不完，理由见解析 【分析】（1）裂项相消法进行计算即可； （2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：倒不完，理由如下： ； 故倒不完． 【变式3】．综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 【题型8 分式化简求值】 解题技巧：化简步骤分步书写，避免跳步出错；优先选择计算简便的合规数值代入；复杂式子化简后大概率为整式，计算更简便。 高频易错：直接代入原式计算；忽略分母不为0的限制；代入负数、分数时漏加括号导致符号错误。 【典例8】．化简： 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】先对括号内的分式通分合并，再把除法转化为乘法，利用完全平方公式和平方差公式因式分解，最后约去公因式完成化简． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．化简：． 【答案】 【分析】先把括号里面的通分相加，然后再根据分式的除法法则进行计算． 【详解】解： ． ． 【题型9 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧：无需代入数值，全程利用“恒等则系数对应相等”解题；多项式展开后逐项对比，不遗漏次数和系数。 高频易错：展开多项式漏项；同类项系数对比错误；忽略常数项对应相等。 【典例9】．若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由变形得，代入整理得到，再整体代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 【变式1】．实数a，b，c满足，，则________． 【答案】72 【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 【变式2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简，进而代入数据求出答案． 【详解】解： ； 当时原式． 【变式3】．先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 05 过关•检测 1．若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 2．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 3．已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，求G所代表的代数式 (3)在（2）的条件下，若x为正整数，分式D的值为正整数，求x的值； 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）根据“和整分式”的定义求，再根据分式的加减法法则计算，并判断； （2）根据“和整分式”的定义可得，再去分母，并整理，然后根据对应系数相等得出答案； （3）先确定，再根据题意讨论可得答案． 【详解】（1）解：是，理由如下：∵ ， ∴A与B是和整分式，“和整值”； （2）解：∵C与D是“和整分式”，且“和整值”， ∴， 去分母，得， 整理，得， ∴， 解得； （3）解：∵，且x为正整数，分式D也为正整数， ∴当或，分式D也为正整数， 解得或（舍）， 所以． 5．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先将分母互为相反数的分式进行变形，化为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，最后化简得到结果． 【详解】解： ． 6．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 7．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 8．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 9．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 10．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：D． 11．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 12．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 13．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 14．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式及整体代入法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用完全平方公式对两边平方，得，再由，将两边同时除以，得，把代入，即可求解． 【详解】解：由， 对等式两边平方，得，即， ， 由题意得， 将两边同时除以，得到，即， ， 解得， 故选：C． 15．若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 16．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 17．已知，，则_____． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于的方程求解． 【详解】解：对两边同时平方，根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得． 18．已知，且，则______． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到，再将所求分式先平方，利用完全平方公式展开后代入计算，最后根据判断符号得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ． 19．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 20．已知是实数，并且，则代数式的值是____． 【答案】2020 【分析】先由已知等式变形得到与，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【详解】解：， ， ． ∴ ． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据平方差公式，多项式乘以多项式，分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，然后计算整式与分式的运算；最后根据零指数幂和负整数指数幂求得字母的值代入求解． 【详解】解： ∵ ∴原式 23．化简下列分式：下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，0，1三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】(1)二；括号前是“”号，去括号时未变号 (2)； 【分析】（1）观察题干过程，根据分式化简的性质进行分析，得出第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“－”号，去括号时未变号，即可作答． （2）先通分，再把除法化为乘法，最后化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，任务一：以上化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解： ． ∵， ∴当时，原式． 24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． (1)请判断是否是“和谐分式”：______；（填“是”或“否”） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)是 (2)， 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可求解； （）根据“和谐分式”的定义解答即可求解； 本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐分式”， 故答案为：是； （2）解：， 要使的值为整数，则的值必须为整数， ∴应为的整数因数， ∴或，解得． 25．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 26．随着外卖行业的快速发展，送餐效率成为影响用户体验的关键因素．某校初二数学兴趣小组对两种常见的送餐速度规划方式进行数学分析，通过计算比较两位外卖员的送餐总时间，筛选出更高效的送餐方案，为骑手配送提供参考． 活动主题 两位外卖员不同送餐方式下的总时间比较 活动准备 1．知识准备：分式的化简与加减运算；2．工具准备：草稿纸、计算器；3．设定前提：单次送餐的全程路程为定值，忽略红绿灯、路况拥堵等额外影响因素，仅考虑速度与路程、时间的数学关系． 活动计划 甲外卖员：先用的速度走完全程的一半，再用的速度走完剩余的一半路程；乙外卖员：先用的速度走完全程时间的一半，再用的速度走完另一半时间． 确定思路 1．利用公式，分别列出甲，乙两人走完全程所用时间的代数式； 2．采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小； 3．结合计算结果，得出配送效率的最优方案． 根据以上信息，回答下列问题： (1)用含，，的式子分别表示甲，乙两位外卖员的送餐时间； (2)哪个外卖员的走完全程所有的时间最少？ 【答案】(1) 甲外卖员的送餐时间为，乙外卖员的送餐时间为 (2) 乙外卖员走完全程所用的时间最少 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确地列出代数式是关键． （1）根据行程问题公式列代数式即可； （2）采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小． 【详解】（1）解：对于甲外卖员： 前半段路程时间为 ， 后半段路程时间为 ， ； 对于乙外卖员： 设总时间为，则前半段时间走的路程为，后半段时间走的路程为， 总路程， ； （2）解： ， ，且 ，， ， ， ， ，即， 乙外卖员走完全程所用的时间最少． 27．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 28．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $