专题16分式的乘除（4知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题16分式的乘除 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 3 【题型3 分式乘除混合运算】 3 【题型4 分式乘方】 4 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 5 【题型6 分式乘除法的实际应用】 5 【题型7 分式乘除的化简求值】 6 1. 知识目标：理解并掌握分式的乘法、除法运算法则，熟记分式乘方的运算公式，明确分式乘除运算与分数乘除运算的联系与区别。 2. 能力目标：能熟练进行分式乘法、除法、乘方及混合运算，规范运算步骤；掌握分式乘除化简求值的解题方法，能运用分式乘除知识解决简单的实际应用题。 3. 素养目标：培养因式分解、约分化简的运算能力，养成先化简后计算的解题习惯，提升代数推理和数学应用意识。 4. 易错目标：规避分式运算中符号错误、漏因式、约分不彻底、乘方运算底数混淆等常见问题。04 题型•汇总 知识点1：分式乘法法则 1. 法则内容：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 2. 公式表示：（其中） 3. 核心要点：运算前优先对分子、分母的多项式进行因式分解，再交叉约分，最后相乘，结果化为最简分式或整式。 知识点2：分式除法法则 1. 法则内容：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2. 公式表示：（其中） 3. 核心要点：除法统一转化为乘法运算，关键是变除为乘、颠倒除式分子分母，其余运算规则与分式乘法一致。 知识点3：分式乘方法则 1. 法则内容：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方。 2. 公式表示：（为正整数，） 3. 符号规则：正数的任何次幂为正；负数的偶次幂为正，奇次幂为负；乘方时注意整体底数，不可单独给分子或分母部分乘方。 知识点4：分式乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左到右依次计算，有乘方先算乘方，再算乘除；有括号先算括号内的运算。 2. 统一运算：所有除法全部转化为乘法后，再统一约分计算。 3. 最终要求：结果必须是最简分式或整式，分母不能含括号，分子分母无公因式。 重要基础前提 1. 分式有意义的条件：运算过程中所有分母、除式均不为0； 2. 化简核心：因式分解（平方差、完全平方公式、提公因式）是分式约分的基础； 3. 符号处理：分子、分母、分式前的符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题技巧：优先约分再计算，避免大数、复杂多项式相乘，大幅简化计算；互为相反数的因式可变形约分（如）。 易错提醒：不可直接分子乘分子、分母乘分母后再化简，容易计算出错；漏看隐藏负号。 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．计算：___________． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 分式除法】 解题技巧：整式做除式时，倒数为整式分之一；颠倒除式分子分母时，注意连带符号一起颠倒，不可遗漏负号。 易错提醒：只颠倒分子或只颠倒分母；未将除法全部转化为乘法就提前约分。 【典例2】．计算： (1)． (2)． 【变式1】．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【变式2】．化简：__________． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧：严格遵循从左到右顺序，切勿跳步计算；复杂式子可先标记所有负号，最后统一判断符号，避免多次出错。 易错提醒：混合运算中遗漏某个除法的倒数转化；约分不彻底导致结果不是最简分式。 【典例3】．计算： (1)； (2)； 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算的结果为___________． 【变式3】．计算：． 【题型4 分式乘方】 解题技巧：负分式乘方，指数为偶结果为正，指数为奇结果为负；多项式分式乘方，先把多项式当作整体，乘方后再展开化简。 易错提醒：乘方只乘分子不乘分母；负数乘方符号判断错误；混淆与的区别。 【典例4】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算：___________． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧：分步书写，不跳步，先单独完成乘方部分，再做乘除运算；复杂幂运算先整理指数，再约分，大幅降低错误率。 易错提醒：运算顺序颠倒，先算乘除后算乘方；乘方运算出错导致整题错误；符号混乱。 【典例5】．计算：． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．计算：_________． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型6 分式乘除法的实际应用】 高频公式模型： ① 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间； ② 行程问题：路程=速度×时间； ③ 归一问题：单量=总量÷数量，总量=单量×数量。 解题技巧：先找准单位量和对应关系，再列式，避免乘除列式颠倒；结果若为分式，需化为最简形式。 【典例6】．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； (2)根据图2所得的公式： ①若，则的值是______； ②若，求的值； (3)如图3，某学校有一块四边形空地于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，米，则种花区域的面积和是______ 【变式1】．已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【变式3】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 【题型7 分式乘除的化简求值】 解题技巧：化简过程分步书写，保证准确率；若题目给出多个取值，优先选择计算简便、且使分式有意义的数值；字母为负数、分数时，代入需加括号，避免符号、运算错误。 易错提醒：未化简直接代入计算，运算量大、极易出错；忽略分式有意义的条件，代入无意义的数值。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．已知． (1)化简A； (2)若，求A的值． 【变式2】．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【变式3】．先化简，再求值：，其中． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 5．使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 6．若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 7．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 8．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名张小亮_____得分_____ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 9．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如果，则的值等于____________； 12．对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 13．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 14．下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 15．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则______． 16．现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的______倍． 17．若，则的值为_______． 18．一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为______；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为______． 19．计算： (1)； (2)． 20．化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 21．如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？ 22．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 23．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 24．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16分式的乘除 （4知识点+7题型+过关检测） 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 4 【题型3 分式乘除混合运算】 6 【题型4 分式乘方】 8 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 12 【题型6 分式乘除法的实际应用】 14 【题型7 分式乘除的化简求值】 17 1. 知识目标：理解并掌握分式的乘法、除法运算法则，熟记分式乘方的运算公式，明确分式乘除运算与分数乘除运算的联系与区别。 2. 能力目标：能熟练进行分式乘法、除法、乘方及混合运算，规范运算步骤；掌握分式乘除化简求值的解题方法，能运用分式乘除知识解决简单的实际应用题。 3. 素养目标：培养因式分解、约分化简的运算能力，养成先化简后计算的解题习惯，提升代数推理和数学应用意识。 4. 易错目标：规避分式运算中符号错误、漏因式、约分不彻底、乘方运算底数混淆等常见问题。04 题型•汇总 知识点1：分式乘法法则 1. 法则内容：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 2. 公式表示：（其中） 3. 核心要点：运算前优先对分子、分母的多项式进行因式分解，再交叉约分，最后相乘，结果化为最简分式或整式。 知识点2：分式除法法则 1. 法则内容：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2. 公式表示：（其中） 3. 核心要点：除法统一转化为乘法运算，关键是变除为乘、颠倒除式分子分母，其余运算规则与分式乘法一致。 知识点3：分式乘方法则 1. 法则内容：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方。 2. 公式表示：（为正整数，） 3. 符号规则：正数的任何次幂为正；负数的偶次幂为正，奇次幂为负；乘方时注意整体底数，不可单独给分子或分母部分乘方。 知识点4：分式乘除混合运算规则 1. 运算顺序：从左到右依次计算，有乘方先算乘方，再算乘除；有括号先算括号内的运算。 2. 统一运算：所有除法全部转化为乘法后，再统一约分计算。 3. 最终要求：结果必须是最简分式或整式，分母不能含括号，分子分母无公因式。 重要基础前提 1. 分式有意义的条件：运算过程中所有分母、除式均不为0； 2. 化简核心：因式分解（平方差、完全平方公式、提公因式）是分式约分的基础； 3. 符号处理：分子、分母、分式前的符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 04 题型•汇总 【题型1 分式乘法】 解题技巧：优先约分再计算，避免大数、复杂多项式相乘，大幅简化计算；互为相反数的因式可变形约分（如）。 易错提醒：不可直接分子乘分子、分母乘分母后再化简，容易计算出错；漏看隐藏负号。 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． （2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键： （1）先进行因式分解，再约分化简即可； （2）先进行因式分解，再约分化简即可； （3）先进行因式分解，再约分化简即可； （4）先进行因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型2 分式除法】 解题技巧：整式做除式时，倒数为整式分之一；颠倒除式分子分母时，注意连带符号一起颠倒，不可遗漏负号。 易错提醒：只颠倒分子或只颠倒分母；未将除法全部转化为乘法就提前约分。 【典例2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将除法化为乘法，然后约分即可． （2）先把分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】．化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2】．化简：__________． 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果. 【详解】解： ． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧：严格遵循从左到右顺序，切勿跳步计算；复杂式子可先标记所有负号，最后统一判断符号，避免多次出错。 易错提醒：混合运算中遗漏某个除法的倒数转化；约分不彻底导致结果不是最简分式。 【典例3】．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 【变式2】．计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 【题型4 分式乘方】 解题技巧：负分式乘方，指数为偶结果为正，指数为奇结果为负；多项式分式乘方，先把多项式当作整体，乘方后再展开化简。 易错提醒：乘方只乘分子不乘分母；负数乘方符号判断错误；混淆与的区别。 【典例4】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】．计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘方、负整数指数幂的运算法则逐步化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧：分步书写，不跳步，先单独完成乘方部分，再做乘除运算；复杂幂运算先整理指数，再约分，大幅降低错误率。 易错提醒：运算顺序颠倒，先算乘除后算乘方；乘方运算出错导致整题错误；符号混乱。 【典例5】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】．计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可； （3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【题型6 分式乘除法的实际应用】 高频公式模型： ① 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间； ② 行程问题：路程=速度×时间； ③ 归一问题：单量=总量÷数量，总量=单量×数量。 解题技巧：先找准单位量和对应关系，再列式，避免乘除列式颠倒；结果若为分式，需化为最简形式。 【典例6】．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______； (2)根据图2所得的公式： ①若，则的值是______； ②若，求的值； (3)如图3，某学校有一块四边形空地于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米，米，则种花区域的面积和是______ 【答案】(1) (2)①28；②7 (3)112平方米 【分析】（1）根据图2中“阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积”即可得出答案； （2）①由（1）的结论即可得出答案；②由，再整体代入计算即可得出答案； （3）设，则，再表示出种草区域的面积和，最后代入后整体求值即可． 【详解】（1）解：∵图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， ∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又∵阴影部分两个正方形的面积之和等于大正方形的面积减去两个长方形的面积， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为50平方米， ∴， ∴种花区域的面积和为， 即种花区域的面积和是112平方米． 【变式1】．已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的除法运算．工作效率定义为单位时间内完成的工作量，分别计算大拖拉机和小拖拉机的工作效率，再求倍数关系，即可作答． 【详解】解：∵大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地， ∴大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别是 则大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为， 故选：B． 【变式2】．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 【变式3】．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 【答案】“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍 【详解】解：由题意得， ． 则“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍． 【题型7 分式乘除的化简求值】 解题技巧：化简过程分步书写，保证准确率；若题目给出多个取值，优先选择计算简便、且使分式有意义的数值；字母为负数、分数时，代入需加括号，避免符号、运算错误。 易错提醒：未化简直接代入计算，运算量大、极易出错；忽略分式有意义的条件，代入无意义的数值。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式乘法法则计算，再把代入化简式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】．已知． (1)化简A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先将分式除法转化为乘法，再对分子分母进行因式分解，紧接着约去公因式，得到最简整式即可； （2）将化简后的表达式代入，进而计算原式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：当时， ∴原式． 【变式2】．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 【变式3】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先对分式的分子、分母进行因式分解，同时将除法化为乘法，将结果化为最简分式，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则、分式除法法则对各选项计算即可判断． 【详解】解：A．， 原计算错误，故此选项不符合题意； B．， 原计算错误，故此选项不符合题意； C．， 原计算正确，故此选项符合题意； D．当时，， 原计算错误，故此选项不符合题意． 2．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 4．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 5．使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 6．若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项． 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 7．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②． 【详解】解：由题意可知，且， 解得且且， ， ∴结论①正确； ∵，且为整数，为整数， ∴， ∴， ， ∴值为共5种， ∴ 结论②错误． 综上，只有结论①正确． 故选：A． 8．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名张小亮_____得分_____ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，分式性质等知识，根据相关知识判断每个小题的正误，统计答对题数，计算得分． 【详解】解：（1）当时，分式有意义，正确； （2）当时，分式的分子为0，分母不为0，值为0，正确； （3）（反例：），错误； （4）（反例：），错误； （5），正确； 张小亮判断（1）√、（2）√、（3）×、（4）√、（5）√， 答对4题， 得分分． 故选：C． 9．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 11．如果，则的值等于____________； 【答案】22 【分析】利用完全平方公式求出，得出，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 12．对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 13．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 【答案】米/分 【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度 【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得 平均速度为 （米/分）． 故答案为：米/分． 14．下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】利用运算法则对每个式子进行计算，然后判断对错． 【详解】解：①计算 原式，∴①正确． ②计算 原式，∴②错误． ③计算； 原式，∴③错误． ④计算； 原式，∴④错误． ⑤计算 原式，∴⑤正确． 综上，正确的是①⑤． 故答案是：①⑤． 【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，解题关键是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，准确进行计算． 15．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 16．现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的______倍． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式． 利用圆的面积公式列式求解即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 17．若，则的值为_______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了分式的乘方、积的乘方、求代数式的值等，掌握相关运算法则是解题的关键 先计算积的乘方、幂的乘方运算，再将除法转化为乘法，约分化简可得，再由即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：9． 18．一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为______；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，分式，整式的有关运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 设三位数为，根据定义可得：，则是的倍，从而求出，或，，然后根据题意即可求解；设一个“百数”为，则，，则，则必为偶数，又能被整除，然后分情况分析即可． 【详解】解：设三位数为，根据定义可得：， ∴是的倍， ∴时，，， ∴，或，； ∴对应的“百数”为或， ∴最小的“百数”为； 设一个“百数”为，则，， ∴，则必为偶数， ∴当时，， 若，时，， 则，符合题意，此时为， 若，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，符合题意，此时为； 当时，， 若，时，， 则，不符合题意； 综上可知：满足条件的值为，， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 20．化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，选择，式子的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先将分式的除法转化为乘法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， ∴选择代入得：原式． 21．如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？ 【答案】乙花坛的撒播密度大 【分析】本题考查分式除法的应用，列代数式，根据正方形和圆的面积公式分别表示出甲、乙两个花坛（阴影部分）的种花面积，再根据“”得到它们的撒播密度，然后计算它们的撒播密度比，即可求解．掌握分式的除法法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴甲花坛的撒播密度为：， 乙花坛的撒播密度为：， ∵， ∴乙花坛的撒播密度大． 22．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 23．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【答案】 （1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，， ∴， ∴④的值最大， 故答案为：④； （2）∵为定值， ∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值， ∴时，存在最大值， ∴当，存在最大值，最大值为； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， ∵为定值， ∴当时，的值最大，即的值最小， ∴时，的值最小， 答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 24．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【答案】(1)6，3 (2)，最小值 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6． 故答案为：6，3． （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 即时，原式有最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $