山东济南市天桥区泺口实验学校2025-2026学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5）

**基本信息** 以现实情境与数学思维融合为特色，涵盖中心对称、分式、几何变换等八年级核心知识，通过商标图案识别、爱心助学应用、几何动态探究等题设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称图形、分式值、因式分解、不等式性质等|第1题以企业商标考中心对称，体现数学眼光观察现实| |填空题|5/20|因式分解、分式意义、角平分线性质、几何最值等|第15题等边三角形旋转求ND+CN最小值，考查空间观念| |解答题|10/90|因式分解、不等式组、几何证明、应用与探究|23题爱心助学购物方案（模型意识），25题旋转背景下几何关系探究（创新意识）|

2025-2026 学年第二学期八年级期中测试数学试题（2026.5） 注意事项：本试题共 4 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置，并同时将考试答案填在答题卡的相应位置上。 第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分） 一．选择题。（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。请将正确选项涂到答题卡上。） 1.（4分）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.（4分）若分式的值为0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 3.（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　） A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 4.（4分）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．2x＞2y D． 5.（4分）在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 6.（4分）将点P（1，4）向上平移4个单位，得到点P的对应点P'的坐标是（　　） A．（1，0） B．（1，8） C．（5，4） D．（﹣3，4） 7.（4分）如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大10倍 C．扩大20倍 D．缩小为原来的 8.（4分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 9.（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 10.（4分）若关于x的分式方程+=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2＞1，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．18 B．16 C．12 D．6 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11.（4分）分解因式：x2﹣4＝　 　． 12.（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是 　 　． 13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　． （第13题图） （第15题图） 14.（4分）已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为　 　． 15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为 　 　． 3、 解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.（6分）分解因式：（1）2x2﹣2； （2）5x2+10x+5． 17.（8分）（1）解不等式3（x﹣1）≤9，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的所有整数解． 18.（8分）计算：（1）﹣； （2）+； 19.（8分）先化简，再求值：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2当中选出一个合适的数a代入求值． 20.（8分）解方程：（1）=； （2）+2=． 21．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）． （1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点C1的坐标为 　 　． （2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，点C2的坐标为 　 　． 22．（8分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形． 23．（12分）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 24.（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． 25.（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE， （1）若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）若点D为△ABC内一点，BD的延长线与CE交于点F， ①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论； ②如图3，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由． 八年级下学期期中数学试卷（答案） 一、选择题 1.（4分）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 2.（4分）若分式的值为0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴a﹣1＝0且a≠0， 解得：a＝1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 3.（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　） A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误； B、结果不是积的形式，故选项错误； C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确； D、结果不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 【点评】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 4.（4分）若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．﹣2x＜﹣2y C．2x＞2y D． 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵x＜y， ∴x﹣2＜y﹣2，故本选项符合题意； B．∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意； C．∵x＜y， ∴2x＜2y，故本选项不符合题意； D．∵x＜y， ∴＜，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向该变． 5.（4分）在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】不等式移项，合并求出解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式x+5＞1， 移项得：x＞1﹣5， 合并得：x＞﹣4， 表示在数轴上，如图所示：． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法及在数轴上表示解集是解本题的关键． 6.（4分）将点P（1，4）向上平移4个单位，得到点P的对应点P'的坐标是（　　） A．（1，0） B．（1，8） C．（5，4） D．（﹣3，4） 【分析】根据向上移动，纵坐标加，横坐标不变，即可得到点P的对应点P′的坐标． 【解答】解：∵将P（1，4）向上平移4个单位，得到对应点P′， ∴P′的坐标为（1，4+4）， 即P′（1，8）， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 7.（4分）如果把中x、y的值都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大10倍 C．扩大20倍 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：＝， 故选：B． 【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 8.（4分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】观察函数图象得到当x＜﹣1时，直线y1＝x+m都在直线y2＝kx﹣1下方，即x+m＜kx﹣1． 【解答】解：根据题意得当x＜﹣1时，y1＜y2， 所以不等式x+m＜kx﹣1的解集为x＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9.（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 【分析】根据旋转的性质求出∠BB'A和∠AB'C'的度数即可解决问题． 【解答】解：根据旋转的性质可知∠BAB'＝110°，且AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'． ∵点B'在线段BC的延长线上， ∴∠BB'A＝∠B＝35°． ∴∠AB'C'＝35°． ∴∠BB'C'＝∠BB'A+∠AB'C'＝35°+35°＝70°． 故选：C． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10.（4分）若关于x的分式方程+=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2＞1，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．18 B．16 C．12 D．6 【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程+=5的解是非负整数解，可得≥0，且≠2，再根据a+2＞1，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可． 【解答】解：去分母，得x+a﹣2a＝5（x﹣2）， 解得x＝， ∵关于x的分式方程+=5的解是非负整数解， ∴≥0且≠2， 解得a≤10且a≠2， ∵a+2＞1， ∴a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a≤10且a≠2， ∴满足条件的整数a的值有6，10， ∴6+10＝16， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式等，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.（4分）分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　． 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反． 12．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是 　x≠5　． 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【解答】解：由题意可得：x﹣5≠0， 解得：x≠5， 故答案为：x≠5． 【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　． 【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E， ∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC， ∴DE＝BD＝， ∴点D到AC的距离为， 故答案为． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 14.（4分）已知x+y＝6，xy＝4，则x2y+xy2的值为　24　． 【分析】先提取公因式xy，整理后把已知条件直接代入计算即可． 【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键． 15．（4分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为 　3　． 【分析】首先利用SAS证明△ACM≌△BCN，得∠CBN＝∠CAM，可知N在线段BN上运动，作点D关于直线BN的对称点D'，连接CD'，则ND+CN的最小值即为CD'的长，利用勾股定理求出CD'的长即可得出答案． 【解答】解：∵线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN， ∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝∠BCN， ∵AC＝CB， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴∠CBN＝∠CAM， ∵△ABC是等边三角形，点D为BC的中点， ∠CAM＝30°， ∴∠CBN＝30°， ∴点N在线段BN上运动， 作点D关于直线BN的对称点D'，连接CD'，则ND+CN的最小值即为CD'的长， ∴∠CBN＝∠D'BN＝30°， ∴△BDD'是等边三角形， ∴BD＝DC＝D'B＝D′D， ∴∠BD'C＝90°，∠BCD'＝30°， ∵AB＝BC＝6， ∴BD'＝3，CD'＝3， ∴ND+CN的最小值为3． 故答案：3． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明点N在线段BN上运动是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（6分）分解因式：（1）2x2﹣2； （2）5x2+10x+5． 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x﹣1）（x+1）； （2）5x2+10x+5 ＝5（x2+2x+1） ＝5（x+1）2． 【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．（8分）（1）解不等式3（x﹣1）≤9，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的所有整数解． 【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：（1）3（x﹣1）≤9， 3x﹣3≤9， 3x≤9+3， 3x≤12， x≤4， 在数轴上表示为：； （2）， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜4， 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜4， 所以不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集等知识点，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． 18.（8分）计算：（1）﹣； （2）+； 【分析】（1）直接相减，再约分即可； （2）先通分，再进行减法运算即可； 【解答】解： （1）原式＝ ＝ ＝1； （2）+ ＝﹣ ＝ ＝1； 19.（8分）先化简，再求值：（1+）÷，请在﹣1，0，1，2当中选出一个合适的数a代入求值． 原式=· =· ＝， 又∵a≠﹣1、0、1， ∴当a＝2时， 原式＝． 20.（8分）解方程：（1）=； （2）+2=． 【分析】（1）方程两边都乘x（x﹣3）得出3x＝2（x﹣3），求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘x﹣2得出x﹣3+2（x﹣2）＝﹣3，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：（1）=， 方程两边都乘x（x﹣3），得3x＝2（x﹣3）， 解得：x＝﹣6， 检验：当x＝﹣6时，x（x﹣3）≠0， 所以x＝﹣6是原方程的解， 即原方程的解是x＝﹣6； （2）+2=， 方程两边都乘x﹣2，得x﹣3+2（x﹣2）＝﹣3， 解得：x＝， 检验：当x＝时，x﹣2≠0， 所以x＝是原方程的解， 即原方程的解是x＝． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 21．（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，﹣1）． （1）将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点C1的坐标为 　（﹣2，﹣1）　． （2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，点C2的坐标为 　（﹣4，1）　． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）； （2）如图，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为（﹣4，1）． 故答案为：（﹣4，1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 22．（8分）已知点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，求证：四边形EBFD为平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由中点的定义得DE＝AD，BF＝BC，则DE＝BF，DE∥BF，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点， ∴DE＝AD，BF＝BC， ∴DE＝BF，DE∥BF， ∴四边形EBFD为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（11分）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【分析】（1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出A型学习用品的单价，再将其代入（x+10）中即可求出B型学习用品的单价； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品（100﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是（x+10）元， 依题意得：＝， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝20+10＝30． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品（100﹣m）件， 依题意得：20（100﹣m）+30m≤2800， 解得：m≤80． 答：最多购买B型学习用品80件． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24.．（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可； （2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可； （3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+3＝0， ∴x＝﹣3，y＝﹣3， ∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 即xy的值是9． （2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0， ∴a＝5，b＝6， ∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6， ∴6≤c＜11， ∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10． （3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0， ∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0， ∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0， ∴a﹣4＝0，c﹣8＝0， ∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4， ∴a+b+c＝4﹣4+8＝8， 即a+b+c的值是8． 【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． （2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 25．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为平面内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE， （1）若点D为线段BC上一点（不与点B、C重合），如图1，则线段BD与CE的数量关系是 　BD＝CE　，位置关系是 　BD⊥CE　； （2）若点D为△ABC内一点，BD的延长线与CE交于点F， ①如图2，BD与CE的数量关系和位置关系分别是什么？并请证明你的结论； ②如图3，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形 内角和定理可证BD⊥CE； ②作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠FDC＝45°，从而证出平行． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝45°+45°＝90°， 故答案为：BD＝CE，BD⊥CE； （2）①BD⊥CE， 证明：如图2，设AC与BF交于O点， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BFC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE； ②AF∥CD，理由如下： 如图3，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， ∴AG＝AH， 又∵AG⊥BF，AH⊥CE， ∴AF平分∠BFE， 又∵∠BFE＝90°， ∴∠AFD＝45°， ∵∠BDC＝135°， ∴∠FDC＝45°， ∴∠AFD＝∠FDC， ∴AF∥CD． 【点评】本题主要考查了几何变换综合题，旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $