2026年中考数学必考知识点专题特训-二次函数与平行四边形综合题

**基本信息** 聚焦二次函数与平行四边形综合，以“解析式求解-面积计算-存在性探究”为逻辑链，提炼待定系数法、铅垂法、分类讨论等解题模型，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数解析式求解|12题均涉及|待定系数法（三点式/顶点式）|从坐标条件到函数表达式的转化| |面积计算与最值|5题|铅垂法转化面积为函数关系|函数性质与几何图形面积的结合| |平行四边形存在性|10题|对角线中点坐标公式分类讨论|平面直角坐标系中图形性质的代数表达|

2026年九年级中考数学中考必考知识点专题特训-二次函数与平行四边形综合题 1．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 3．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为，，，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)连接，点M是抛物线上的动点且在直线上方，求点到直线距离最大时，点的坐标及最大距离值． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标； (3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点为线段上一动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 7．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）把线段沿轴向右平移，设平移后、的对应点分别为、，当落在抛物线上时，求、的坐标； （3）除（2）中的平行四边形外，在轴和抛物线上是否还分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出、的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线． 与x轴交于点A，B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，直线经过B，C两点，点 P 是抛物线上一个动点，连接，以为边作平行四边形，设平行四边形 的面积为S，点 P的横坐标为m． (1)则点A， B， C的坐标分别是 ， ， ； (2)如图1，当点P在第四象限，且时，求点 P坐标； (3)如图2，当点P在抛物线上运动时(点P不与点B，C重合)． ①求S与m之间的函数关系式； ②当 时， m的值只有3个． 9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A、C、三点． (1)求A、、C三点的坐标； (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点． ①当点M为抛物线顶点时，求△AM面积． ②点M在何处时，△AM的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 10．如图，已知抛物线，y的最大值为． (1)求抛物线的表达式． (2)点Q和点P是直线上方抛物线上一动点（点Q在点P的左侧），分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M，连接．若四边形是平行四边形，试求平行四边形周长的最大值以及此时P点的坐标． 11．如图，二次函数y＝－－（2m－3）x＋6m（m＞0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，又已知D（0，－2m）． （1）求出A、B、C的坐标（用含m的代数式表示）； （2）过D作DE∥AC，在第一象限交抛物线于点E，且四边形ADEC是平行四边形． ①求m的值； ②若F在抛物线上，点E、F关于抛物线的对称轴对称，以EF为边的平行四边形的面积是平行四边形ADEC的面积的倍，且另两顶点中有一个顶点P在抛物线上，求P点坐标，并指出第四顶点的坐标． 12．如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 2．(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过作轴交于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， ∵， 当时，的面积最大，最大面积为； （3）解：， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 3．(1) (2)或或 (3)点的坐标为，最大距离值为 【分析】（1）先求出，再设抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）先求出顶点坐标为，再设点的坐标为，分三种情况：①当点组成的四边形是平行四边形时，②当点组成的四边形是平行四边形时，③当点组成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得； （3）连接，过点作，交轴于点，先求出直线的解析式为，设直线的解析式为，与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出的值，则可得点的坐标，再过点作于点，解直角三角形可得的值，则可得，然后在中，解直角三角形可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴， 即抛物线的解析式为． （2）解：由（1）已得：， ∴抛物线的顶点坐标为， 设点的坐标为， ①当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ③当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． （3）解：如图，连接，过点作，交轴于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴可设与直线平行的直线的解析式为， 联立得：， 要使点到直线距离最大，则关于的方程只有一个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴方程为，直线的解析式为， 解得， 将代入直线得：， ∴当点到直线距离最大时，点的坐标为； 如图，过点作于点， ∵， ∴即为点到直线最大距离， 将代入直线得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上，点到直线距离最大时，点的坐标，最大距离值为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 4．(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 5．(1) (2) (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点，，再将两个点的坐标代入可得答案； （2）由点的坐标得，，再设，然后根据得出方程，求出解即可； （3）先设，再分两种情况：当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，可得，进而得出，再根据时四边形是平行四边形，即当，时，求出答案； 当为平行四边形的对角线时，先确定点，由得出方程，再求出解可得坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴点，， 将，代入中得： 解得：，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得：，， 设， ∴， ∴， 得：， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：设， ①当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，如图， 则， 则， ∵， ∴当时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴，当时，即， 解得：，， 此时，； 当时，即， 则， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵，， ∴， 则，即， 解得：，， ∴或， ∴点M的坐标为或或或或． 6．(1)，； (2)当为时，四边形为平行四边形． 【分析】（1）求点坐标，令抛物线解析式中，解一元二次方程；求点坐标，令，代入解析式计算． （2）先求抛物线对称轴、点坐标，再求直线解析式得点坐标；根据点横坐标得坐标，由（为竖直线）得横坐标与相同，进而得坐标；利用平行四边形对边相等（）列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴． 令，则， ∴． （2）解：抛物线的对称轴：． 将代入抛物线，， ∴． 设直线为， ∵、， ∴， 解得，， ∴直线：． 当时，， ∴， ∴． ∵点横坐标为， ∴； ∵（垂直轴）， ∴横坐标为，． ∴， 由，得， 解得（与重合，舍去），． ∴当为时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的解析式求解、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与点坐标的求法、利用平行四边形对边相等列方程是解题的关键． 7．（1）；（2），；（3），；，；， 【分析】（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式； （2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标； （3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解． 【详解】解：（1）∵A（-2，0），对称轴为直线x=1． ∴B（4，0）， 把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4； （2）由抛物线y=-x2+x+4可知C（0，4）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性， ∴C′（2，4）， ∴A′（0，0）． （3）存在． 设F（x，-x2+x+4）． 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形， ①若AC为平行四边形的边，如答图1-1所示，则EF∥AC且EF=AC． 过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1， ∴DE1=2，DF1=4． ∴-x2+x+4=-4， 解得：x1=1+，x2=1-． ∴F1（1+，-4），F2（1-，-4）； ∴E1（3+，0），E2（3-，0）． ②若AC为平行四边形的对角线，如答图1-2所示． ∵点E3在x轴上，∴CF3∥x轴， ∴点C为点F关于x=1的对称点， ∴F3（2，4），CF3=2． ∴AE3=2， ∴E3（-4，0）， 综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形； 点E、F的坐标为：，；，；， 【点睛】此题考查二次函数综合题，待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．分类讨论思想的运用是解题的关键． 8．(1)，， (2)或 (3)①② 【分析】（1）令抛物线解析式中 ，解一元二次方程求与轴交点坐标；令，求与 轴交点； （2）作轴交直线于，如图1，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，然后求出长，根据求出，代入数值即可解方程求得点的坐标； （3） ①根据（2）得到时的解析式，当或时，如图2，，同理可得； ②画出关于的函数图象，分析两个分段二次函数的图象，确定使 值只有 3 个的 值． 【详解】（1）解：令，即， 得，， ∵点在点左侧， ∴，， 令，代入得， ∴； （2）解：作轴交直线于，如图1， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 当时，如图1，， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； （3）①分两种情况讨论： 当时，由（1）知； 当或时，如图2，作轴交直线于，交轴于N，作， ， ∴ ； 综上，． ②对于函数（）， 其对称轴为， 顶点纵坐标为， 关于的函数图象如图3所示， 对于函数（或）， 令，则， 整理得， 解得． 其中，，共2个解； 而在时，，有1个解． ∴当时，的值只有3个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，平行四边形的性质，一次函数图象和性质，掌握相关知识是解答本题的关键． 9．(1)A（0，3），； (2)①3，②当M点在直线与抛物线的交点处时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，） 【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出点C，的坐标；计算自变量为0时的函数值可得到点A的坐标； （2）先将二次函数解析式转化为顶点式，从而得到点M的坐标，作MNy轴交直线A于N，求出直线A的解析式为，从而得到点N的坐标，于是可计算出MN的长度，再利用和三角形面积公式计算即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为，0＜m＜3，作MNy轴交直线A于N，根据直线A的解析式得出，于是可计算出，再利用和三角形面积公式得到，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时即可确定此时M点的坐标． 【详解】（1）解：当y＝0时，， 解得， 则， 当x0时，y3，则A（0，3）； （2）解：①作MNy轴交直线A于N，连接AM，M， ∵， ∴M， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线A的解析式为， ∴， ∴， ∴； ②设M点的坐标为，0＜m＜3， 作MNy轴交直线A于N，连接AM，M， 由①知直线A的解析式为，则， ∵， ∴ MN•3 ， ∴当m＝时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，）． 即当M点在直线与抛物线的交点处时，的值最大，最大值为，此时M点坐标为（，） 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点和二次函数的最值问题；会计算三角形的面积，还考查了求一次函数的解析式和坐标与图形． 10．(1) (2)12， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）一般式化为顶点式，根据最值求出的值即可； （2）求出两点坐标，进而求出直线的解析式，根据平行四边形的性质，得到，进而设出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出两点的横坐标之间的关系，进而设出两点坐标，得到两点的坐标，将平行四边形周长转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，且y的最大值为， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线的解析式为：， 令，整理，得：， ∴， 设，则：，， ∴， ∵分别过点Q，P作y轴的平行线，分别交直线于点N，M， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 ， ∴当时，四边形的周长最大为12， 当时，， 此时， ∴． 11．（1），，；（2）①，②或，第四个顶点坐标或. 【分析】（1）令、分别为0，即可求出、、三点的坐标； （2）①根据求得的坐标和平行四边形的对边平行，可求得直线和直线的解析式，联立可求得点的坐标，代入到抛物线中即可求得； ②根据已知的平行四边形算出以为边的平行四边形的面积，从而求得点的坐标，再利用对边平行且相等，求得第四个点的坐标. 【详解】解：（1）令，则， ∴， 令，则，即：，解得：或， ∵， ∴， ∴，. （2）①设直线的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理求得，直线的解析式为：， ∵四边形是平行四边形， ∴∥，∥， ∴可设直线的解析式为：， 将代入求得：， ∴直线的解析式为：， 同理求得，直线的解析式为：， 联立直线和直线的解析式：，解得：， ∴， ∵在抛物线上， ∴代入得：，且， ∴解得：； ②∵， ∴，，，， 二次函数解析式： ∴，，， ∵点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ∴，， ∴以为边平行四边形面积为， ∴，解得：， ∵点在抛物线上， ∴，则，解得：，， ∴或， 由题意可知，第四个点与点纵坐标相等，且距离为3， ∴当时，第四个点的坐标为：； 当时，第四个点的坐标为：. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、因式分解、一次函数、四边形面积的结合，难度和计算量都比较大，弄清几何图形中线段的数量和位置关系是本题的突破口. 12．(1) (2)16 (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，运用数形结合和分类讨论的思想； （1）运用待定系数法将坐标代入解析式即可求出； （2）运用二次函数的性质可得抛物线的顶点坐标为，即图象最高点为顶点，其纵坐标为4，再求得，P点为图象最低点，其纵坐标为，即可求得答案； （3）当时，，，由平行四边形性质可得：，，设A点坐标为，则，直线l将平行四边形的面积分成的两部分，根据直线l与交点D的位置进行分类讨论，分别利用三角形的面积占平行四边形面积的来建立方程求解. 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得， ∴抛物线解析式为. （2）解：在中，当时，， ∴ 如图所示: ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，图象最低点为P，最高点为顶点 ∴当时，， ∴图象M最高点与最低点纵坐标的差为. 故答案为：16. （3）解：当时，， ∵以为对角线构造平行四边形，轴， ∴， 设，则， ∴， ∵过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分， ∴分两种情况： 当直线l与的交点在线段上时，如图， ∴， ∴， 解得， ∴； 当直线l与线段相交于点E时，如图， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 综上所述，当时，平行四边形的面积为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $