2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知二次函数的表达式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求t的值； (2)当时，函数有最大值m和最小值n，求证：． 2．已知二次函数（是常数）． (1)求证：无论为何值，该二次函数图象恒过一定点； (2)若该抛物线的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线L：的顶点D的坐标为，与x轴相交于A、两点，交y轴点C．    (1)求抛物线L的解析式； (2)如图2，连接，求证：； (3)若P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m,抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象K，当m符合什么条件时，图象K的最大值与最小值的差为1？ (4)如将（1）中求得的抛物线的解析式的中的c项改为未知字母m，点是经过图1中点A、C的直线上一点，则当若抛物线L与线段只有一个交点，直接写出m的取值范围． 4．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a为常数，且a＜0)与x轴相交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E． (1)求证OC=OE； (2)M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=时，求△CMN的周长的最小值； (3)若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说明理由． 5．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 6．如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 7．如图，抛物线经过点． (1)求的值． (2)将图中抛物线在轴右侧部分沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为图象，如图，直接写出图象对应的函数解析式． (3)点在图象上，其横坐标为． 点为坐标原点，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，直接写出的取值范围． 点在图象上，其横坐标为．当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 8．综合与实践课上，老师让同学们以“抛物线中三角形面积”为主题开展数学活动． 【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若， ①求a、b、c的值； ②求面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S； ②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由． 9．已知二次函数（为常数，且）． (1)如图，若此二次函数的图像经过点和点． ①求二次函数的解析式； ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标；若不存在，说明理由； ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (2)当时，已知点，若二次函数的图像与线段只有个交点，请直接写出的取值范围． 10．已知二次函数，（，为常数，且）， (1)如图，若此二次函数的图像经过点和点， ①求二次函数的解析式． ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标，若不存在，说明理由． ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． (2)当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求的取值范围． 11．如图，函数的图像经过点，． (1)求、满足的等量关系式； (2)设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值． 12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空：_________，点的坐标是 _________； (2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求 的最小值； (3)在(2)中，当的周长取得最大值时， 取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知二次函数的图象上有两点，． (1)求二次函数的顶点； (2)若，求的最小值； (3)若，当时，的最小值为2，求的最大值． 14．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； (2)若，求的最小值． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)填空：a＝_____，点B的坐标是______； (2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题）》参考答案 1．(1)0或4 (2)见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式得到开口方向，对称轴和顶点坐标，则可得离对称轴越远，函数值越大，据此根据未知数的取值范围，确定函数的最大值和最小值，再求出的结果，根据偶次方的非负性即可证明结论． 【详解】（1）解：∵点在该二次函数的图象上， ∴， ∴ 解得或； （2）证明：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，且当时函数有最大值，最大值为， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴ ∴ ， ∴． 2．(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成，再将代入求出的值，由此即可得证； （2）先根据二次函数的对称轴可得，再分三种情况：①，②，③，分别求出最大值与最小值，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：二次函数 ， 当时，， 所以无论为何值，该二次函数图象恒过一定点． （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，在内，随的增大而减小， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴，即，方程没有实数根，舍去； ②当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为，舍去； ③当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 综上，的值为1． 3．(1)抛物线L的解析式为 (2)见解析 (3)或时，图象K的最大值与最小值的差为1 (4)m的取值范围是或 【分析】（1）由抛物线L的顶点D的坐标为，可设抛物线L的解析式为，代入点B的坐标，求出a的值即可得到抛物线L的解析式； （2）求，，，，则，即可得到结论； （3）按照m的取值分段求解； （4）先求出直线的解析式为，得到点，当抛物线经过点A时，解得，当抛物线经过点时，可得，得到，若抛物线L与线段只有一个交点，则有有一组实数解，利用一元二次方程根的判别式求得m的值，综合即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线L的顶点D的坐标为， ∴设抛物线L的解析式为， 又∵抛物线L与x轴交于点，将点B的坐标代入可得， ， 解得， ∴抛物线L的解析式为； （2）解：由，得， ∴， 对，令，可得，即， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴或， 当时，图象K的最大值为4，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象K的最大值与最小值的差为1； 当时，图象K的最大值为4，最小值为3， ∴图象G的最大值与最小值的差为1； 当时，图象K的最大值为，最小值为3， ∴， 解得（舍去）； 当时，图象K的最大值为3，最小值为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：或时，图象K的最大值与最小值的差为1； （4）解：令，解得，， 即图1中， 对于，令，求得， ∵直线过点，，设直线的解析式为，将点A，C的坐标代入可得， ， 解得，则直线的解析式为， ∵点在直线上，则得， ∴点， 当抛物线经过点A时，则 ， 解得， 当抛物线经过点时， 可得， ∴， 若抛物线L与线段只有一个交点，则有有一组实数解， 则，即， ∴， ∴． 综上所述，抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一次函数综合、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 4．(1)见解析 (2) (3)错误；理由见解析 【分析】（1）A（－1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b、c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC、OE，即可得出结论； （2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，求出点的坐标，根据△CMN周长的最小值为：=C1C2，算出最小值即可； （3）过Q作QK∥y轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，求出当x取时，S有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1，0），B（3，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线为y=ax2-2ax-3a， ∴C（0，-3a），D（1，-4a）， 设直线BD的解析式为，把B、D两点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线BD为y=2ax-6a， ∴E为（0，-6a）， ∴OC=-3a，OE=-6a， ∴OC=OE． （2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，如图所示： 此时C（0，），直线BE为y=－x＋3，点E（0，3）， ∵OB=3， ∴， ∵∠BOE=90°， ∴， ∵， ∴， 垂直平分， ∴，， ， ∴， ∴轴， ∴点C1为（，3）， C关于x轴的对称点C2为（0，－）， ∵， ∴△CMN周长的最小值为： =C1C2 = = （3）小林猜想是错误的；理由如下： 过Q作QK∥y轴，交BC于点K，如图所示： 设点Q的横坐标为x，则QK==， ∴S=S△BCQ＋S△ABC = = = ∴当点Q的横坐标为x取时，S有最大值， ∵点D的横坐标是1， ∴它们不重合． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出相应的辅助线，找出使△CMN取最小值时的点M、N，是解题的关键． 5．(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得 ，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据点是抛物线上任意一点，设，，求得，作直线，过点作于点，进而得出，根据，当在上时，即当重合时，取得最小值，的周长有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 6．(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 7．(1) (2) (3)①或.②或. 【分析】（1）把代入，解方程即可； （2）当时，的图象不变，可得解析式不变，当时，图象与的图象关于x轴对称，可得，整理可得答案； （3）①分当和时，找出满足条件的最值，结合图象即可得出结论； ②如图，过抛物线的顶点作轴的平行线交图象于，当点在上、点在上时，或当点在上、点在上时，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴抛物线解析式为， 则当时，； 当时，，即， ∴图象对应的函数解析式为； （3）解：I.当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值在点，即时，是最大值， 最小值在点，即时，是最小值， 依题意得：，解得：， （不合题意舍去）； II.当时，，即当，是最小值， 当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时， 即最大值为0，最小值为时，满足题意， ∴，解得或， ∴当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，的取值范围是， 综上所述：当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，或. ②当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，即函数的最值与端点值无关， 故满足题意的函数的最小值为当时，，最大值为时，， 当点在上、点在上时，， 解得：； 当点在上、点在上时，， 解得：； 综上所述：当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，的取值范围为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的图象与性质，不等式组的解法，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 8．（1）①，，；②；（2）①；②存在，S的最小值为 【分析】（1）①采用待定系数法，把点A、B、C的坐标代入抛物线中，即可求解； ②设（），采用待定系数法求得直线的解析式为，则直线与x轴交点E的横坐标为，从而，根据二次函数的图象及性质即可求解； （2）①采用待定系数法，抛物线为，同（1）②的思路，设，求得，根据二次函数的图象及性质即可求解； ②由①可得的最大面积为，而当且仅当，即时，有最小值，从而得到S的最小值． 【详解】（1）当时，点B的坐标为， ①∵抛物线经过、、， ∴，解得， ∴，，； ②由①可得，抛物线为， 设 ∵点P是抛物线上位于x轴上方一点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴， 令，则， 解得， ∴设直线与x轴交点为点E，则点E的横坐标为， ∴ ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， （2）①∵抛物线经过、、， ∴，解得， ∴抛物线为， 设， ∵点P是抛物线上位于x轴上方的一点， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴， 令，则， 解得， ∴直线与x轴交点E的横坐标为， ∴ ， ∵，又 ∴当时，的面积有最大值，为． ②由①可得的最大面积为， ∵， ∴， ∴当且仅当，即时，有最小值，为， ∴当时，的最大面积的最小值为：， ∴S存在最小值，为． 【点睛】本题考查待定系数法，平面直角坐标系中三角形的面积，二次函数的图象及性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，完全平方公式的应用是解题的关键． 9．(1)①；②的最小值为，；③ (2)或或 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解； ②由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接，可得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，利用两点间距离公式求出的长可得的最小值，求出直线的解析式可求出点的坐标； ③利用二次函数的性质解答即可求解； （）当时，，即得该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，又可得抛物线与轴的交点坐标为，当时，，再分和两种情况解答即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，轴对称的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； ②抛物线对称轴上存在一点，使得有最小值，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ③∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵时，；时，， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，， ∴； （2）解：当时，， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当，即时，该二次函数的图像与线段只有个交点； 当，即时， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 综上，当二次函数的图像与线段只有个交点时，的取值范围为或或． 10．(1)①；②存在一点，使得有最小值，最小值为，点的坐标为；③ (2)取值范围为或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接，设直线的解析式为，将和代入求解出解析式，进而即可求解；③根据二次函数的性质求解即可； （2）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：①此二次函数的图像经过点和点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； ②存在一点，使得有最小值， 由①得，抛物线对称轴为， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接， 设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 当时， ， ∴， ∴的最小值为的长度为； ③由题意得，， ∴二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ， 当时，二次函数的最大值为，最小值为4， 由题意，， 解得； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为4， ， 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（两个都不符合范围，舍去）； 综上，满足条件的的取值范围为； （2）解：当时， ， 该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ∴与轴的交点为， 当时， ， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则， 解得， ， ， 综上，满足条件的取值范围为或或． 11．(1) (2) (3)4；0；或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）由推出，过点作轴交轴于点，可得，根据相似三角形的性质得，求得，即，根据（1）的关系式即可求得、，进而求得抛物线的解析式； （3）根据抛物线的解析式化为顶点式即可确定顶点坐标，对称轴为直线，根据抛物线的增减性可知时，函数有最小值；分五种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，②当时，③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，④当时，⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧． 【详解】（1）解：把，代入， 得， ； （2）解： ，，， ，， ， 过点作轴交轴于点， ， ，， ， ， ， ， ，即， 又 ， 可得，， 抛物线； （3）解：抛物线， ； 抛物线对称轴为直线，， 当时，； ①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧， 当时取得最小值，最大值， 令，即， 解得； ②当时，此时，，不合题意，舍去；. ③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时，令，即， 解得：（舍），（舍）； 或者，即（不合题意，舍去）； ④当时，此时，，不合题意，舍去； ⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧， 当时，取得最大值，最小值， 令， 解得； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，注意运用分类讨论的思想解决问题． 12．(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 ，，， 【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题． （1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标； （2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解． 【详解】（1）解：将点代入中得，， 解得，，即， 当时，， 解得，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点，点， 设直线的表达式为，且经过点，点， ∴， 解得，， ∴， ∵点在直线的图象上，点在抛物线上， ∴设点，， ∵，轴， ∴，（对顶角相等）， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，最大，此时，， 如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点， 在中，， 则 ∴， ∵，即， ∴在中，， ， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴点，， ∴，即， ∴， ∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即． （3）解：存在， 由（2）可知，，即点， 将点向下平移个单位得到点， ∴点 ， 在 中, 则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴，即点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 综上，点的坐标为，，，． 13．(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了二次函数的综合应用、二次根式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先将二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （2）分别将，，，代入解析式，得出关于的二次函数，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）由，得到，代入的坐标到，得到，，解得，，分情况讨论表示出的值，再结合得到的值可能是或，再结合的最小值为，则有，进而求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点为； （2）解：∵二次函数的图象上有两点，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，在二次函数的图象上， ∴，， 解得：，， 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 又∵， ∴的值可能是或， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∵的最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为3． 14．(1)①；② (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 15．(1) (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）将点代入，求得a，再令，解方程即可得出答案； （2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，设点，利用等角的三角函数值相等得出，利用二次函数的性质求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接，设交y轴于点J，利用的面积计算出即可； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得，分四种情况计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴点B的坐标是； 故答案为：，； （2）解：∵ ， ∴点，点， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得，， ∴， 设点， 由图形可知，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时，， 在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，此时， ∴， ∴当点F，P，G三点共线时，有最小值为， 而此时点P不在线段上，故不符合题意， ∴的最小值为的长度， ∵点，点， ∴， ∴当的周长取得最大值时，的最小值为；    （3）解：存在． 由（2）可知，点， 将点P向下平移个单位得到点Q， ∴点， 在中，，则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则有： ， ∴，则点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点； 当点G在y轴负半轴上时，点； 当点G在x轴负半轴上时，点． 综上，点的坐标为．      【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $