题号猜题12 中考数学24、25题 圆、函数压轴题（解答题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题12 中考数学24、25题 圆、函数压轴题（解答题） 考点1圆的综合证明计算压轴题 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，． (1)求证：； (2)若 ，求 的值； (3)若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值． 2．（2026·湖南长沙·一模）已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为． (1)如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式． 3．（2026·湖南长沙·二模）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图1，圆内接四边形中，对角线交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)如图2，为弧上一点，连接并延长交于点，若，为弧中点，，，求的长； (3)如图1，若为弧中点， ①当成立时，试判断的形状并说明理由； ②在①的结论下，若的面积为，请直接写出关于的解析式． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接． (1)证明：； (2)①证明：平分； ②连接，若，，，求的长． 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． (1)求证：是的切线； (2)令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） (3)在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 9．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，． (1)求证：与相切； (2)若平分，求的值； (3)设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 考点2新定义函数、二次函数纯计算压轴题 11．（2026·湖南长沙·二模）我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①若点，是一对“归一点”，则，．        （    ） ②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为．            （    ） ③一次函数一定是“归一函数”．                            （    ） (2)已知反比例函数是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； (3)若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围． 12．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）定义：若一次函数与反比例函数同时经过点，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点为关联点．例如：一次函数与反比例函数都经过点，则就是两个函数的“关联函数”． (1)判断与是否存在“关联函数”？如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”，如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“关联函数”，求的值； (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 15．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 17．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知两个不同的点，都在关于的函数（，，是常数，）的图象上． (1)当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当，两点的坐标满足，，求此函数图象与直线的公共点的个数； (3)当时，该函数图象与轴交于，两点，顶点的横坐标为，直线恰与该函数图象有三个交点，从左至右依次为，，．请问是否存在实数，使得？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）约定：若抛物线且，抛物线则称与互为“关联抛物线”． (1)已知抛物线的“关联抛物线”是抛物线求抛物线与轴交点的坐标； (2)抛物线与它的“关联抛物线”存在交点在一条定直线上运动，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，已知抛物线且与轴交于点，其“关联抛物线”与轴交于点．当是等腰直角三角形，，且，，满足：时，抛物线与直线交于，两点，求线段长度的取值范围． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：对于关于的二次函数与，若满足且，则称是的“协同函数”． (1)已知二次函数与，其中是的“协同函数”，求的值； (2)已知二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，且满足不等式．二次函数是的“协同函数”，当时，的最小值为，判断二次函数的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由． (3)若开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，且满足，它的“协同函数”的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点，当是直角三角形时，求出外接圆面积的取值范围． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，为直径，，P为上一点，过点P的弦，Q为上一动点（点Q与点B不重合），连接，过点A作于点H，连接． (1)当时，求的长； (2)写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)是否存在点P，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若函数图象上的点的横坐标和纵坐标的倍均在函数图象上，则称函数为函数的“ 函数”． (1)若 时，求函数 的“ 函数”的解析式； (2)若时，函数 的“ 函数”为函数． ① 求 的值； ② 若直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点，求的值； (3)已知函数的“ 函数”为函数，在时，对任意实数，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 7．（2025·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题12 中考数学24、25题 压轴题（解答题） 考点1圆的综合证明计算压轴题 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，． (1)求证：； (2)若 ，求 的值； (3)若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得证； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据得出，进而证明得出则，根据角平分线的性质以及三角形的面积关系，得出，进而可得，证明得出，即可求解； （3）连接，设交于点，，，导角得出，进而可得即平分，则是的内心，求得，则，根据圆内接四边形得出，进而求得得出是等边三角形，则，，证明，可得，证明，可得，证明，可得，代入得出的关系式，进而求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， （3）解：如图，连接，设交于点 ∵平分 ∴， ∴ ∴ 设， ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴即平分 ∴是的内心， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∵的半径为， ∴， ∵，， ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ∴当时，的最大值为． 2．（2026·湖南长沙·一模）已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为． (1)如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先推导出，，得到，则，推导出四边形为平行四边形，再由，得到四边形为菱形，即可解答； （2）①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定理得到，则，，即可得出结论； （3）先推导出得到，即，进而推导出，，得到，即，再由，推导出，得到，解得，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1 ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图2 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， 解得． （3）解：如图3 ∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ， 即， ， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴． 3．（2026·湖南长沙·二模）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义进行判断即可； ②过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证； （2）在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论； （3）连接，，，设交于，由，得，故，可知和谐四边形中，和谐对角线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形是和谐四边形； ②证明：过点作于点，过点作于点， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图中，在上取一点T，使得，连接． ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线， 由（2）可知：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 和谐四边形中，是和谐对角线，即， ，， ， ， ，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理， ∴， ∴的面积． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图1，圆内接四边形中，对角线交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)如图2，为弧上一点，连接并延长交于点，若，为弧中点，，，求的长； (3)如图1，若为弧中点， ①当成立时，试判断的形状并说明理由； ②在①的结论下，若的面积为，请直接写出关于的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①是直角三角形，理由见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理得出，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据圆周角定理得出，结合已知可得出，结合圆内接四边形的性质可得出，则，根据平行线分线段成比例可求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）①根据弧、弦的关系得出，根据（1）得出，化简，得出，证明，得出，进而得出，则点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径，根据直径所对的圆周角是直角可得出，即可得出结论； ②根据勾股定理求出，结合①中，求出，证明，求出，，则，过D作于M，证明，求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵、所对的弧都是， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵为弧中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B、D、E在以C为圆心，为半径的圆上，此时为直径， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 过D作于M， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接． (1)证明：； (2)①证明：平分； ②连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接并延长交于点G，连接，由切线的性质、同弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质即可证明； （2）①由（1）的结论知，四点共圆，由圆周角定理即可证明； ②过点D作于点G，作交射线于点H，由面积关系得， 易证，得，从而得，由此求得，；再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点G，连接，如图， 则， 即， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：由（1）的结论知，， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴平分； ②解：如图，过点D作于点G，作交射线于点H， 由①知平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 6．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． (1)求证：是的切线； (2)令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） (3)在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)为定值，定值为值 【分析】（1）连接，，利用三角形全等，证明即可； （2）连接，，设的半径为r，得到，设，由勾股定理得，得到，代入求解即可；（3）在点P运动的过程中，为定值；连接，利用三角形相似的判定和性质，求解即可； 【详解】（1）证明：如解图①，连接，， 在与中， 01 ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如解图②，连接，， ∵， ∴， 设的半径为r，∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， 故， ∴ ； （3）解：在点P运动的过程中，为定值，定值为值； 如解图②，连接， ∵， ∴易得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在点P运动的过程中，为定值． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）利用及同弧所对圆周角相等，将转化为，进而证明； （2）由两角对应相等证明，利用相似比和等腰求解； （3） 利用对称构造点，证明，建立与的等量关系，结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴令，则， ∴作于，则， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴平分， ∴作点关于直线的对称点，连，则落在射线上，且， ∵，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 又∵，， ∴， ∴， ∴在时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴． 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由、求解出、的等量关系，然后代入计算即可； （3）①先证明，得到点与点重合，根据垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，根据得到； ②在中，，在中，，由①知，，则，代入整理得，由得，，结合，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， ， 为公共角， ， 根据已知得， ， ， 解得或（舍）， ； （3）解：①， ， ， ， 为直径， ， ，即点与点重合， 如图， ， ∴， ，设，则， 由勾股定理得， ， ， ， ； ②在中，， 在中，， 由①知，， ， ， 整理得， ， ， ， 又， ． 9．（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，． (1)求证：与相切； (2)若平分，求的值； (3)设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）连接，由，得，结合得到，再根据互余关系即可证明； （2）先证明，结合，得到，可求，然后证明为等腰直角三角形，由勾股定理求出，，再证明，得到①，证明，得到②，由①÷②求出，的值； （3）先证明，得到，则，过作于，过作于，由得到，由面积法可得，则，再证明，则，然后计算出，则，由勾股定理求得，则，再化简求解函数解析式即可． 【详解】（1）证明： 如图，连接， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， , 是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的直径， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 解得：， , ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，① ∵， ∴， ， ，② ∴①÷②得，， ； （3）解：在中，， ， ， ， ， 过作于，过作于， 则， 在中，， ， 在Rt中，， ， ∵， ∴ ∴， ∴ 由（2）知：， ， ， 在中，， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴由题意可得，的范围是：． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 考点2新定义函数、二次函数纯计算压轴题 11．（2026·湖南长沙·二模）我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①若点，是一对“归一点”，则，．        （    ） ②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为．            （    ） ③一次函数一定是“归一函数”．                            （    ） (2)已知反比例函数是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； (3)若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①√，②×，③× (2)①且；②， (3) 【分析】（1）根据定义依次进行判断即可； （2）①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，根据关于x的方程有实数根进行解答即可；②求出“归一点”的坐标为与即可． （3）设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”，得到方程．分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题意，得， 解得，①正确； ②设点，，则，则，只有当时，的值才为，②错误； ③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得 ①＋②，得，这与矛盾，③错误． （2）解：①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 则，整理得：，则， ∴，整理得， ∵反比例函数是“归一函数”， ∴x一定存在，即关于x的方程有实数根， ∴，解得， 当时，原方程为，解得， 当时，，与题设矛盾， ∴， 综上所述，结合反比例函数特点可得且； ②设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 由①可得，解得，， 当时，，则，， 此时这对“归一点”的坐标为与； 当时，，则，， 即此时这对“归一点”的坐标为与． 综上所述，当时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为与； （3）解：设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”， 分别代入得，， 整理并消去y得． ①当方程有两个相等的解时，，解得， 此时原方程为，解得， 此时，与题设不符， ∴当时，不符合要求； ②当方程有两个不相等的解时，，解得． 综上所述，a的取值范围为． 12．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或 (3) 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； （3）解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）定义：若一次函数与反比例函数同时经过点，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点为关联点．例如：一次函数与反比例函数都经过点，则就是两个函数的“关联函数”． (1)判断与是否存在“关联函数”？如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”，如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“关联函数”，求的值； (3)若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式． 【答案】(1)存在，关联点为或，关联函数为 (2) (3)“关联函数”的解析式为或 【分析】（1）由题意联立与，解方程组即可得出“关联点”和“关联函数”； （2）由题意根据一次函数与反比例函数，得到它们的关联函数，利用已知得出的关系式，再利用整数满足条件，列出不等式，即可得出结论； （3）先写出它们的关联函数，求得它的对称轴为直线，然后根据已知的自变量的取值范围分三种情况讨论，即可求得. 【详解】（1）解：存在关联点和关联函数，理由如下： 整理得：， 解得：， 所以，关联点为或， 关联函数为：； （2）解：由题意知：， 得关联函数为：， 因此可得： 解得：， ， ， 解得：， 是整数， ； （3）解：由一次函数和反比例函数得：“关联函数”的解析式为， 函数的对称轴为：； 当时，即， ，函数取得最小值，即， 解得：或（舍去）； 当，即， 函数在处取得最小值，即，无解； 当即时， 函数在处，取得最小值，即， 解得：（舍去）， 综上，或， 故“关联函数”的解析式为或． 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先确定函数与、轴的交点坐标，再确定两交点坐标关于直线对称的点坐标，利用待定系数法即可求得“镜花缘对”函数的解析式； （2）先根据“镜花缘对”函数的定义确定的解析式，进而确定点的坐标，联立和的解析式，表示出、两点的坐标，根据，可知点是的中点，根据中点坐标公式列式计算可确定、两点的坐标，再结合函数图象，即可确定当时，的取值范围； （3）先根据“镜花缘对”函数的定义表示出点、的坐标，从而可表示出，，根据菱形的性质可知，，根据列方程即可求得点、的坐标，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； （2）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， 联立， 即， 整理得， ， 解得， ，， ， 点是的中点， ，解得， ，，， 观察图象可知，当时，的取值范围为或； （3）解：二次函数的顶点为，则与它的“镜花缘对”函数的顶点为， ，且轴， 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， ， 要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则有， ， 即， 整理得，， 即， 解得或， 当时，、重合，故舍去， ， 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 综上，此菱形的面积． 15．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 【答案】(1)√，×，× (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先判断函数与轴交点坐标，进而由“点函数”定义判断即可； （2）由题意可知，整理得，进而得到无论取何值，该函数一定经过点，据此得证； （3）由题可得，再根据，以及可得点，，进而得出函数解析式为，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证，得到相关线段长度，设，则，由勾股定理列方程求解得到点的坐标，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：①图象与轴交于点， ∴是“点函数”； ②图象与轴交于点， ∴不是“点函数”； ③图象与轴无交点， ∴不是“点函数”； （2）证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则， 整理得， 令，即时，， ∴无论取何值，该函数一定经过点， ∵点在第三象限， ∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限； （3）解：∵二次函数是“点函数”， ， ， ∵该函数的图象与轴相交于点，两点， 则， ∴，， ， ∴， ∴点，，， ， ∴函数解析式为， 连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在等腰中，，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， ， 则 解得或， 又，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， 联立得， 消去得，则， 解得或， 则或， 点是该函数图象在第一象限内的动点， ∴点的坐标为． 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，双曲线，若点关于直线的对称点恰好落在双曲线上，则称点为“镜像点”． (1)已知点为“镜像点”，求的值； (2)根据“镜像点”的定义，判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”． ①符合要求的“镜像点”都在函数的图象上； ②将函数的图象沿轴翻折，再向右平移个单位长度，得到的图象上的点都是“镜像点”； ③若直线经过“镜像点”，则该直线与坐标轴围成的三角形面积为． (3)关于直线对称的抛物线，与轴的交点也为“镜像点”，点为该抛物线上异于点的“镜像点”．当时，以点为顶点的抛物线的最大值记为，最小值记为，令，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3) 【分析】（1）根据“镜像点”的定义将点关于直线的对称点代入即可求出的值； （2）设点是“镜像点”，将关于直线的对称点代入，即可判断①；通过函数图象的翻折变换，函数图象的平移变换，即可判断②；由“镜像点”的定义可求出直线，即可判断③； （3）由“镜像点”的定义可求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数的最值可求出，代入可求出，最后利用不等式的性质可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点为“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把代入，得， 解得． （2）解：①设点是“镜像点”， ∴点关于直线的对称点， 把点代入，得， ∵， ∴， ∴点在函数的图象上，即符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， ∴①错误； ②由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 由函数图象的平移变换可得：函数可由向右平移个单位长度得到， ∵的图象与的图象关于轴对称，即将函数的图象沿轴翻折后即是函数的图象， ∴②正确； ③由①得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上， 把点代入，得， 把代入直线，得，解得：， 令，则；令，则，解得：， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴③正确． （3）解：由题意知，点为“镜像点”，其横坐标为， ∴关于直线的对称点横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为，即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 由（2）得符合要求的“镜像点”都在函数的图象上，且， 令， 整理得，， ∴， 解得或或， ∵，且点异于点， ∴，都舍去， 将，代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，抛物线开口向上， ， ∴当时，有最小值，即；当时，有最大值，即， ∵， ∴， ∴， ∴与是矛盾的，故不符合题意，舍去， ②当时，抛物线开口向下， ， ∴当时，有最大值，即；时，有最小值，即， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 综上所述，的取值范围是． 17．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 【答案】(1)； ； (2)直线过定点 (3)最小值为 【分析】（1）根据“失衡点”和“平衡点”的定义进行判断； （2）设，，可得方程组：，整理得，由韦达定理得：，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，所以可知，可得直线过定点； （3）根据“失衡点”的定义，可知，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，所以当时，取得最小值为． 【详解】（1）解：①中，，无论取何值，都有， ， 不存在一对“失衡点”， 函数不是“完备函数”， 故①错误； ②函数中， 整理可得：， ， ， ， 整理得：， 当时，取任何值都有， 函数上存在无数对“失衡点”， 故②正确； ③若点与点是一对“平衡点”， 则有， 整理得：， 则有， 点与点一定不是一对“失衡点”， 故③错误； （2）解：设，， 根据题意可得：， 消整理得：， 由韦达定理得：， 又， ，， 、是抛物线上的一对“失衡点”， ， 解得：、中一个点坐标为， 将代入， 可得：， ， 直线过定点； （3）解：是等边三角形， 可得：， ， 函数是完备函数， ， 整理得：， 又， 解得：， 、是抛物线上的一对“平衡点”， 令， 整理得：， ， 又， ， ， ， 当时，取得最小值为． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知两个不同的点，都在关于的函数（，，是常数，）的图象上． (1)当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当，两点的坐标满足，，求此函数图象与直线的公共点的个数； (3)当时，该函数图象与轴交于，两点，顶点的横坐标为，直线恰与该函数图象有三个交点，从左至右依次为，，．请问是否存在实数，使得？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)0 (3)存在，，此时函数的最小值为 【分析】（1）利用对称点性质求对称轴，结合点坐标建立方程，消元代入代数式化简． （2）通过条件等式推导变量关系，结合判别式判断直线与抛物线的交点个数． （3）分析直线与抛物线的交点情况，结合判别式、根与系数关系及长度关系，建立方程求解． 【详解】（1）解：由点和纵坐标相等， 对称轴为直线， 即， 得， 将代入函数， 得， ， ； （2）解：由， 得，即， ，是两个不同的点， ，即， ， 由， 得， 即， ， 且， ， 即， ， ， 函数与直线联立， 得，， ， ， ， 函数与直线没有交点； （3）解：顶点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，直线恰与该函数图象有三个交点， 可得，， 直线与抛物线相切， 即，， 得， ， 该函数图象与轴交于，两点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 所以顶点坐标为， 所以时函数的最小值为． 【点睛】本题综合考查二次函数的对称性、代数式求值、方程根的判别式、几何交点问题及存在性条件分析．解题关键：第（1）题中两点纵坐标相等，直接确定对称轴位置．第（2）题将复杂等式转化为平方和形式，简化条件．第（3）题需结合抛物线与直线的切线条件及根的分布，建立等式关系． 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）约定：若抛物线且，抛物线则称与互为“关联抛物线”． (1)已知抛物线的“关联抛物线”是抛物线求抛物线与轴交点的坐标； (2)抛物线与它的“关联抛物线”存在交点在一条定直线上运动，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，已知抛物线且与轴交于点，其“关联抛物线”与轴交于点．当是等腰直角三角形，，且，，满足：时，抛物线与直线交于，两点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接代入系数构造，解二次方程求与轴的交点即可； （2）联立与的方程，通过代数变形找到恒成立的直线方程即可； （3）结合几何条件（等腰直角三角形）与代数约束条件（），确定参数关系，再通过一元二次方程的根的分布求线段的长度范围． 【详解】（1）由定义可得抛物线的解析式为， 与轴交点的坐标为，． （2）联立，得， 整理得， 分析可得：当时，恒成立， ∴直线的解析式为． （3）对于，当时，， ∴点坐标为． 同理，点坐标为． 是等腰直角三角形，，点在直线上运动， ，点纵坐标为， 假设点垂直与点，则， ， ， ， ， ， ，， ，， 联立， 整理得， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 或， 当时，有最小值，为， 的最小值为， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，结合求解一元二次方程、等腰直角三角形、根据恒等式确定直线解析式等知识点求解，准确理解题目中给出的新定义条件，正确利用所学知识解决问题是解题的关键． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：对于关于的二次函数与，若满足且，则称是的“协同函数”． (1)已知二次函数与，其中是的“协同函数”，求的值； (2)已知二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，且满足不等式．二次函数是的“协同函数”，当时，的最小值为，判断二次函数的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由． (3)若开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，且满足，它的“协同函数”的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点，当是直角三角形时，求出外接圆面积的取值范围． 【答案】(1)， (2)定点和 (3) 【分析】（1）根据协同函数的定义得到，或，由此代入计算即可求解； （2）先确定对称轴为直线，则，由二次函数是的“协同函数”，得到，可知开口向下，可得对称轴为直线，由，得到，那么当时，的最小值为，可得当时，取最小值，代入得到，则的解析式为，即可求解定点； （3）可得二次函数的“协同函数”为，设，则，由为直角三角形，且，且抛物线看开口向上，则，点在轴负半轴，点在轴正半轴，由相似得到，则，则，而，那么，由开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，得到，那么，则． 【详解】（1）解：已知且， ∴， ∴， ∵二次函数与，其中是的“协同函数”， ∴，； （2）解：∵二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数是的“协同函数”， ∴，即， ∵， ∴开口向下，可得对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴当时，取最小值， 故， 化简得：， ∴的解析式为：， ∴当，即或， ∴经过定点和； （3）解：∵， ∴二次函数的“协同函数”为， 设， 当时， 则， ∵为直角三角形，且，且抛物线开口向上， ∴，点在轴负半轴，点在轴正半轴， 如图： 此时只能， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，难度大，涉及二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，外接圆的概念，一元二次方程根与系数的关系等知识点． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）回归课本 （1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________． 深挖问题 （2）在（1）的条件下，求的长． 探究发现 （3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）8，；（2）；（3） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）直接根据圆周角定理得出，；根据勾股定理即可求出；根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解 （2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质，余角的性质可得出，证明，得出，，进而证出，然后根据勾股定理求解即可； （3）类似（2）判断即可． 【详解】解：（1）是的直径， ，； ， ； 是的平分线， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：8，； （2）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ； （3）延长至点E，使，连接， 四边形是圆的内接四边形， ， 又， ， 由（1）知， ， ，， 又， ， ， ． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）定义：函数图象上到轴距离是到轴距离一半的点叫做这个函数图象的“半距点”．例如，点是函数图象的“半距点”；点是函数图象的“半距点”． (1)在①；②；③三个点中，是一次函数图象的“半距点”的有 ；(填序号) (2)已知点A是反比例函数(为常数，)的图象上的“半距点”，求这个反比例函数的解析式； (3)若二次函数 (是常数，的图象上的有且只有两个“半距点”，且满足令试求出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，再根据“半距点”定义进行判定即可求解；   （2）根据“半距点”定义得到a的值，再代入反比例函数求出完美点的坐标b，运用待定系数法即可求解；   （3）根据半距点可得二次函数与一次函数和一共只有两个交点，根据半距点的计算，代入，运用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入符合； 将代入符合，但到x轴距离是12，到y轴距离是6，不符合“半距点”定义； 将代入符合； 故答案为①③； （2）解：∵点是反比例函数（b为常数，）图象上的“半距点”， 或． ∵点在反比例函数的图象上， 或， ∴反比例函数的解析式为或； （3）解：∵二次函数（a，c是常数，）的图象上的有且只有两个“半距点”， ∴二次函数与一次函数和一共只有两个交点． ∵二次函数的图象，一次函数的图象与的图象均关于y轴对称， ∴一次函数的图象与的图象均与二次函数的图象相切． 联立函数解析式，得． 由题意可得，即， ， ． 令． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，理解题目中半距点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，为直径，，P为上一点，过点P的弦，Q为上一动点（点Q与点B不重合），连接，过点A作于点H，连接． (1)当时，求的长； (2)写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)是否存在点P，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，若存在，请求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆的相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，通过导角证明，根据圆的性质求出的长，进而可求出的长，据此可得答案； （2）连接，可证明，得到．再证明，得到，则可推出，进而得到，即； （3）由（2）可推出，则可证明．当时，是一个定值，且这个定值为9．连接．证明，得到，则，解，可得．则，故当，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值9，此时的度数为． 【详解】（1）解：如图1所示，连接． ， ∴， ∵ ． ， ∴， ． ，且为直径， ， ∴， ； （2）解：，理由如下： 如图2所示，连接， 是直径， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 是直径， ， ， ， 又∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ，即； （3）解：由（2）知，，即， ． 当时，是一个定值，且这个定值为9． 如图3，连接． 为直径， ， ， ∴ ， ∴ 在中，， ． 与对着同一条弧， ， 故当，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值9，此时的度数为．                                 4．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； （2）解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； （3）解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 5．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)①；② 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题． （1）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可； （3）①过点G作于点H，由（1）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作于点M，过点C作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，弦于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 由（1）知：， ∴； （3）解：①过点G作于点H，如图， 则． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ②过点A作于点K，过点C作于点N，如图， ∵E为的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ， ∵是的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若函数图象上的点的横坐标和纵坐标的倍均在函数图象上，则称函数为函数的“ 函数”． (1)若 时，求函数 的“ 函数”的解析式； (2)若时，函数 的“ 函数”为函数． ① 求 的值； ② 若直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点，求的值； (3)已知函数的“ 函数”为函数，在时，对任意实数，不等式 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】（1）理解“ 函数”的定义，设函数和上任意点的坐标和，利用和得到和的数量关系，即可得出函数的解析式； （2）利用“ 函数”定义设函数上任意点的坐标，得到在函数上，将点坐标代入对应函数解析式中得到和，整理计算得到，由于为任意数，则方程成立的条件是以为变量的方程所有系数都等于零，建立等式即可得出结论； 利用直线解析式分别代入到函数和中，得到两个一元二次方程，由题意可知，同时只存在一个公共点，所以利用根的判别式，即可计算得出的取值． （3）主要掌握二次函数图象特征，以及函数变量的转换，二次函数开口向上，函数值不小于，则需要，其次，注意整理不等式得到，将不等式左端看作的函数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，函数 的“ 函数”是，且， 不妨设函数上任意点的坐标为，函数上任意点的坐标为， 将点代入函数可得，， 由“ 函数”定义，可知，， 将式两端平方可得， 结合和可知， 将式代入式可得，，即， 函数上任意点，都满足， 函数 的“ 函数”的解析式为：． （2）由题意可知，函数 的“ 函数”为函数， 且， 不妨设函数上的任意一点为，则点在函数上， 将点坐标代入函数和中整理得到： ， 将得， 点为函数上任意一点， 若方程成立，则以下等式应同时成立， ，即． 由可知， 可得，， 又直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点， 如下两个方程组，分别有且仅有唯一解， ， 分别将和代入和得， 整理得到， 直线与函数图象和图象同时只存在一个公共， 式和式有且只有一个解， 和根的判别式相同， 不妨设， 令，解得或， 当或时，直线与函数图象和图象同时只存在一个公共点． （3）由题意可知，函数的“ 函数”为函数， 不妨设函数上的任意一点为，则点在函数上， 将点坐标代入可得， 将代入可得，， 整理得，， 取任意数， 以为变量的方程恒成立的条件是所有系数等于， ， 解得， 在时，对任意实数，不等式 恒成立， 将代入得， ， 整理得， 将作为自变量得到函数， 又对于任意实数不等式都成立， ， 即， 将作为函数自变量得到， 当，即时，， 不符合题意，舍去； 当时，函数为一次函数， 在时，恒成立， 当时，将代入函数，得到不等式组， ，解得． 当时，将代入函数，得到不等式组， ，不等式无解，舍去． 不等式 恒成立，的取值范围是． 【点睛】求解本题的关键是掌握二次函数的图形特征，以及二次函数和一元二次方程的关系，注意在求解含参数一元一次不等式时，利用数形结合的方法更好求解． 7．（2025·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“旗开得胜”函数． (1)已知二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数，填空： ① ；②若，则 ；③ ； (2)若二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上，且互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点，求二次函数的解析式； (3)已知二次函数与互为“旗开得胜”函数，的顶点为 E，与轴交于点F，轴，直线与图象交于A、B两点，与的图象交于 C、D两点，若线段、、可构成以为斜边的直角三角形，假设该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求的值． 【答案】(1)；1；0 (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得，两个二次函数图象关于原点对称，分析得出两个图象的开口方向、对称轴、与轴的交点之间的关系，即可求解； （2）二次函数的“旗开得胜”函数为，联立两个函数整理得到，根据两个二次函数图象有且只有一个交点，计算得到，根据二次函数的图象与性质得到顶点坐标为，其“旗开得胜”函数的顶点坐标为，代入到反比例函数可得，再根据等腰直角三角形的性质求出的值，进而求出的值，即可得到二次函数的解析式； （3）根据二次函数的性质求出、的坐标，由轴，得到，，联立二次函数与直线，利用一元二次方程根与系数的关系求出，同理可得，再利用勾股定理列出等式求出的值，得出直角三角形三边长，再利用直角三角形的外接圆和内切圆半径公式即可求解． 【详解】（1）解：关于原点对称的两个二次函数图象开口方向相反，两个图象的对称轴关于轴对称，两个图象与轴的交点关于原点对称， 二次函数和二次函数互为“旗开得胜”函数， 两个二次函数图象关于原点对称， ，，， 解得：，， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：；1；0． （2）解：二次函数的“旗开得胜”函数为， 联立， 整理得：， 互为“旗开得胜”函数的两个二次函数图象有且只有一个交点， ， ， ， 二次函数为，其“旗开得胜”函数为， 令，则， 解得：，， 二次函数图象与轴两个交点间的距离为， 二次函数， 二次函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点坐标为， 其“旗开得胜”函数的顶点在反比例函数上， ， ， 二次函数图象的顶点及图象与轴两个交点构成的三角形是等腰直角三角形， 顶点到轴的距离等于图象与轴两个交点间的距离的一半， ， 解得：或， 当时，，无解，舍去； 当时，，解得，此时二次函数的解析式为或； 当，，解得，不符合题意，舍去； 综上所述，二次函数的解析式为或． （3）解：由题意得，， 令，则， ， ， ， 轴， ， ， ， 联立，则， 直线与图象交于A、B两点， ，， ， 同理可得，， 线段、、可构成以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：， ，，， ，，， 该直角三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、关于原点对称的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、三角形的外接圆与内切圆、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，对学生综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $