题号猜题09 中考数学19、21题基础几何证明题（解答题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题09 中考数学19、21题 基础几何证明题（解答题） 考点1尺规作图有关问题 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E． (1)根据小雅的作图方法，得到．证明过程如下： 由作图可知，在△MAN和△中，， ∴△≌△（_____________）（此处填理论依据）， ∴． (2)若，求线段OE的长． 【答案】(1)；SSS (2) 【分析】（1）由作图可知△≌△的理由是SSS，据此解答即可； （2）由得，由四边形ABCD为平行四边形得，再由中位线定得OC的长． 【详解】（1）由作图可知，在△MAN和△中， ， ∴△≌△（SSS）， ∴， 故答案为：；SSS； （2）由（1）得， ∴ ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∴OE为△ABC的中位线， ∴ 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，平行四边形的性质及三角形中位线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025·湖南长沙·一模）嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明过程．    【答案】（1）BE；BF；（2）见解析 【分析】（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF； （2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧 ∴BC=BE 根据已知条件第一句话，得到AE=BF 故答案为：BE；BF； （2）证明：∵CF⊥BE， ∴∠BFC=90°， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠FBC． ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BE=BC， 在△ABE与△FCB中， ∴△ABE≌△FCB， ∴AE=BF 【点睛】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键． 3．（2025·湖南长沙·一模）的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在右侧交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由作图得，，而，即可根据“”证明； （2）由，，证明四边形是平行四边形，则，求得． 【详解】（1）证明：由作图得，， 在和中， ， ； （2），， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 的度数是． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据尺规作图的步骤，可判断平分，结合等腰三角形的性质，可求出的度数． （2）根据可知是等腰直角三角形，由求出的长度，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：由作图痕迹可知平分，， ， ， ． （2）解：由（1）可知， ， 即是等腰直角三角形， ， ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得． 考点2三角形全等 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，．，与交于点．      （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°．      【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及等腰三角形的性质． （1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，，，，垂足为D，E． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）根据题意证明，即可证出； （2）先求解，求解，继而根据即可得． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ． 9．（2026·湖南长沙·一模）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的判定： （1）先由垂直的定义得到，再利用三角形内角和定理证明，即可证明； （2）先证明，进而证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 10．（2026·湖南长沙·一模）图，点是上一点，交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用． （1）根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ，， ． 考点3圆的基础证明计算 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，线段交于O点，C，D是线段上的两点，，，． (1)下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①四边形是平行四边形；②四边形是矩形；③四边形是菱形． (2)请对上面的结论进行证明． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件进行分析即可解答； （2）如图：连接，证明可得，即，易得，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】（1）解：经分析四边形是平行四边形，即①符合题意． （2）证明：如图：连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 12．（2026·湖南长沙·一模）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，ABCD，点E是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形． （2）若AC＝6，AD＝6，求四边形ABCE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2），，， ， ， ， ∴四边形ABCE的面积=． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，平行四边形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形推出为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出，即可得出结论； （2）过点作于，由，设，则，则，再由勾股定理得，证明得，即可求解． 【详解】（1）证明： 在中，点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，点为的中点， ， ， 平行四边形为矩形． （2）解：如图，过点作于， ，点为的中点， ， 四边形为矩形， ∴， ， ． ， 设，则，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 14．（2026·湖南长沙·一模）如图1，在矩形中，是上一点，于点，设． (1)若，求证：； (2)如图2，若，且D、B、F在同一直线上时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得出，再证得出即可； （2）根据等角的正弦值相等求出，然后利用勾股定理计算出，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵四边形为矩形， ，，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 又∵，， ∴ ， ； （2）∵四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ． 15．（2026·湖南长沙·一模）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）先，再通过勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 考点4特殊四边形 16．（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用等腰三角形的性质得到，进而得到，易证明，进而得到，从而得到，进而得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，由（1）知，根据含角的直角三角形的性质求出、长，根据证明，进而得到，从而得到． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半圆的直径 是该半圆的切线； （2）解：在中，， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， 在中，， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 17．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，正确画出辅助线，熟练掌握切线的判定定理和解直角三角形的方法和步骤，是解题的关键． （1）连接，易得，根据直角三角形斜边中线的性质得出，进而得出，则，得出，即可求证是的切线； （2）连接，，易得，，由（1）知：，则M为的中点，根据，求出，可得的长，然后在中，解直角三角形求出，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵， ∴， 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过O， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的直径， ∴，， 即，， 由（1）知：， ∴M为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，点C在以为直径的上，延长到点E，连接，过点A作，交的延长线于点D，交于点F，连接，，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点G，连接，由圆周角定理可得，再证明垂直平分，得出，即可得证； （2）根据正弦的定义，并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接、交于点G，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（2026·湖南长沙·一模）如图，为直径，为上一点，平分交于，过作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合角平分线的性质可得，则，由切线的性质可得，因此； （2）延长交于点，由勾股定理可得，则，容易证明，计算得，则，由平行可判定，计算得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 在中，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 20．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线的证明，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据切线的性质说明，可得，再根据“等边对等角”得，进而得出，则答案可得； 对于（2），先证明，可得，即可求出，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以的半径是7.5． 1．（2026·湖南长沙·一模）在中，是钝角，交的延长线于点，分别为的中点，．连接，设与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据E，F分别为、的中点，可证得，，再根据，可证得，即可证得四边形是平行四边形，据此即可证得结论； （2）首先根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得，根据正弦的定义可求得，根据勾股定理求出，结合（1）的结论即可求得的长，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：，F分别为、的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的中点， ． ， ， ， ， 又，， ， ． 2．（2026·湖南长沙·二模）如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边即可得到结论； （2）依次求出，，最后利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知．， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，由勾股定理得． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： (1)连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ (2)若，的面积为，过点作于点，求的长． 【答案】(1)④ (2) 【分析】（）连接，根据全等三角形的判定定理“”即可求解； （）过点作于点，由角平分线的性质得，再利用的面积解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴证明的依据是； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】（1）证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点E，点E在边上，以为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则可得到，据此结合矩形的判定定理可证明结论； （2）由平行四边形的性质得到，，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长． 6．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可根据角平分线的尺规作图知，然后证明与全等进而证明平分． （2）根据条件和（1）中结论可先求出和的度数；然后在和中，利用直角三角形的边角关系求出、的长度，最后根据代入对应数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 由作图知，， 在与中， ， ， 平分． （2）过点D作交于点H． ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题09 中考数学19、21题 基础几何证明题（解答题） 考点1尺规作图有关问题 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E． (1)根据小雅的作图方法，得到．证明过程如下： 由作图可知，在△MAN和△中，， ∴△≌△（_____________）（此处填理论依据）， ∴． (2)若，求线段OE的长． 2．（2025·湖南长沙·一模）嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明过程．    3．（2025·湖南长沙·一模）的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在右侧交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 考点2三角形全等 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，．，与交于点．      （1）求证：； （2）求的度数． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，，，，垂足为D，E． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 9．（2026·湖南长沙·一模）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系，并说明理由． 10．（2026·湖南长沙·一模）图，点是上一点，交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点3圆的基础证明计算 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，线段交于O点，C，D是线段上的两点，，，． (1)下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①四边形是平行四边形；②四边形是矩形；③四边形是菱形． (2)请对上面的结论进行证明． 12．（2026·湖南长沙·一模）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，ABCD，点E是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形． （2）若AC＝6，AD＝6，求四边形ABCE的面积． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，若，求的长． 14．（2026·湖南长沙·一模）如图1，在矩形中，是上一点，于点，设． (1)若，求证：； (2)如图2，若，且D、B、F在同一直线上时，求的值． 15．（2026·湖南长沙·一模）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 考点4特殊四边形 16．（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 17．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为10， ，求的长． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，点C在以为直径的上，延长到点E，连接，过点A作，交的延长线于点D，交于点F，连接，，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 19．（2026·湖南长沙·一模）如图，为直径，为上一点，平分交于，过作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 1．（2026·湖南长沙·一模）在中，是钝角，交的延长线于点，分别为的中点，．连接，设与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（2026·湖南长沙·二模）如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： (1)连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ (2)若，的面积为，过点作于点，求的长． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 5．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点E，点E在边上，以为边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 6．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接并延长交于点D． (1)求证：平分； (2)若，求的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $