2026年四川广元市利州区九年级第二次学业水平质量检测数学试题

2026年利州区九年级第二次学业水平质量检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的算数平方根在数轴上对应的位置是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2.下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3.下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 4.下列说法正确的是（　　） A．一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C．数据2、3、4、2、3的众数是2 D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 5.我国古代数学在方程领域有着辉煌的成就．《九章算术》中记载：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？翻译后为：有一扇门，高比宽多6尺8寸，对角线距离恰好1丈．问门的高和宽各是多少？设宽为尺，则依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，点 A (0,6)，B (4,0)。C 为 AB 的中点，连接 OC。把线段 OC 沿射线 BO 平移至 DE，使点 D 落在 y 轴上，则四边形 OCDE 的面积是（ ） A. 3 B.6 C. 9 D. 12 7.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合，点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E，如果点E所对应的读数为40°，那么∠BCD=( ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 8.如图1，在矩形中，，，动点以的速度自点出发沿折线方向运动，动点以的速度自点出发沿折线方向运动，若点、同时出发，运动时间为秒，两点相遇时都停止运动，记△的面积为，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为（　　） A． B． C． D． 9.如图，以AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，D是劣弧BC上一点，AD与BC相交于点E．∠CAD=45°，若△ABE的面积为16，则△CDE的面积为（ ）． A. 4 B.8 C. 12 D. 16 10.已知二次函数 （），抛物线与轴交于A(x1,0）B(x2,0)两点（），与轴交于点，顶点为。有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式对全体实数恒成立，则。 下列判断中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（共6小题，每小题4分，共计24分） 11. （4分）根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据431840000000用科学记数法可以表示为 . 12. （4分）在函数中，自变量的取值范围是　　 ． 13.（4分）若是方程的根，则代数式的值是　　 ． 14.（4分）关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点 B、C 分别在 x 轴负半轴、y 轴正半轴上。以 OB、OC 为边，在第二象限内作矩形 OBAC，点 F 的纵坐标为1，点 D、F 分别在线段 OC、AB 上，沿 DF 将四边形 CDFA 翻折，点 A 与点 O 恰好重合，点 C 的对称点为 E。若点 F 和线段 DF 的中点都在双曲线上，则k= . 16.如图，在△中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将△沿翻折，得到△，连接，，则的最小值为 。 三．解答题（共10小题，共计96分） 17.(6分)先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin30°+2cos45° 18. （8 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点 C 的对应点 E 落在线段 BC 上，连接 BD。 （1） 求证：四边形 ACBD 是平行四边形；（2）若 AB=2，∠CAD=120°，求四边形 ACBD 的面积 19.（8分）如图是由小正方形组成的6×6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点.A,B,C,D都是格点， 经过A,B,C三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出圆心O，P是与网格线的交点，画出将点P绕点A顺时针旋转90°的对应点Q； （2）在图2中，E是与网格线的交点，连接ED并延长，交于点F，在上画点M，使CM∥EF，连接AF，画AF的中点H． 20.（9分）某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目A：跳绳；项目B：足球；项目C：立定跳远；项目D：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了　 　 名学生，请将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中a＝　 　 ，D所对的圆心角为　 　 度； （3）请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率。 21.（9分）如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为i=1:2，坡长为20米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为53°，摩天轮最高处的仰角为37°，AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80, cos 53°≈0.60, tan 53°≈，:sin 37°≈ 0.60, cos 37°≈ 0.80, tan 37°≈，≈2.2） 22.( 10分)某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售。已知每个 A 型水杯的进价比 B 型水杯贵 4 元，且用 800 元购进 A 型水杯的数量与用 600 元购进 B 型水杯的数量相等。 （1）求 A 型、B 型水杯每个的进价； （2）该店计划购进 A 型水杯 200 个。已知 A 型水杯每个售价 25 元时可全部售出；市场调查发现，A 型水杯每涨价 1 元，销量就减少 4 个。设 A 型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元。求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润。 23.（10分）如图将直角三角板ABC（∠BAC=30°）如图放置于平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（,0），点C的横坐标为,∠ABC=90°，且点C与线段AC的中点D均在双曲线y=（k＞0）上。 （1）求K的值（2）设直线AC的解析式为y=ax+b，求关于x的不等式ax+b＞的解集。 24.（10分）如图1，A,B,C在⊙0上,F是BC延长线上一点，且BC=CF，取AF的中点G,连接CG并延长,交过点A且与BC平行的直线于点D。连接BD，交⊙0于点E(点E不与点B重合)，已知AB= AC。 (1)求证:AD是⊙0的切线; (2)如图2，当圆心O在线段BC上且AB=6时,求线段DE的长。 25.（12分）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律.这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径. 【特例探究】 如图1，在矩形ABCD中，BC=3AB，点E是矩形内一动点，且∠DEC=90°.将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的3倍后，点E的对应点为点F.连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE。 (1) 判定四边形CEGF的形状，并说明理由; （2）求的最小值 [类比探究】 (3)如图2,四边形ABCD中，∠ABC=90°,AD=6,CD=4.连接BD,若AB=2BC,直接写出BD的最大值. 26（14分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a是常数，a≠0）经过点（﹣2，0），（4，0）． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． （3）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x2＞x1≥2．当对于任意的x1，x2满足x2﹣x1＝1时，都有y2﹣y1≥6．求证：a≥2． 2026年利州区九年级第二次学业水平质量检测答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B A B D A B A 8.如图1，在矩形中，，，动点以的速度自点出发沿折线方向运动，动点以的速度自点出发沿折线方向运动，若点、同时出发，运动时间为秒，两点相遇时都停止运动，记△的面积为，且与之间的函数关系的图象如图2所示，则图象中的值为（　　） A． B． C． D． 解：观察图象可知当秒时最大为4（矩形面积的一半）， 则此时点运动了2秒到达点，点到达了点， 故，解得， 当时，与的函数关系为， 令，解得（负值舍去）， 当时，点在线段上，在线段上， 则 ， 令，解得（皆不舍题设，舍去）， 当时，点、都在线段上， 则， 令，解得， ， 故选：． 9. 解:连接OC,OD。∵∠CAD=45°，∴∠COD=90° ∵OC=OD ∴Rt△OCD中CD=OC=OA= ∵∠ECD=∠EAD，∠CDE=∠B ∴△CDE∽△BAE ∴S△CDE:S△ABE== ∵△ABE的面积为16 ∴△CDE的面积为8 10.已知二次函数 （），抛物线与轴交于A(x1,0）B(x2,0)两点（），与轴交于点，顶点为。有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式对全体实数恒成立，则。 下列判断中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 结论①：抛物线的对称轴为直线 解析：二次函数对称轴公式为，本题中，代入得： ，与结论一致，①正确。 结论②：若，则当时，随的增大而增大 解析：二次函数开口由决定，时抛物线开口向上，对称轴为；根据二次函数单调性，开口向上时，对称轴右侧函数单调递增，即时随增大而增大，②正确。 结论③：若当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是 解析：先化简函数：，顶点P(1,2)恒在第一象限；抛物线在2≤x≤3时与x轴有交点，结合对称轴，2≤x≤3在对称轴右侧，且顶点纵坐标为正，故抛物线必须开口向下。 令，与x轴相交存在性满足： 计算得：， 列不等式：，构造关于a的函数y=，画出图象解得；③正确。 结论④：若不等式对全体实数恒成立，则 解析：先移项整理不等式：对全体实数恒成立。 恒成立条件： 计算判别式： 解得，与矛盾，故不存在这样的，④错误。 答案：A 2、 填空题 11. 4.3184×1011 12 . x≠7 13 . 2029 14. -3＜a≤-2 15. -2 16. 13.（4分）若是方程的根，则代数式的值是　　 ． ∵是方程的根 ∴a2+a-1=0。方程两边同时除以a得，移项有，同取平方有： ∴，即 ∴ 15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，点 B、C 分别在 x 轴负半轴、y 轴正半轴上。以 OB、OC 为边，在第二象限内作矩形 OBAC，点 F 的纵坐标为1，点 D、F 分别在线段 OC、AB 上，沿 DF 将四边形 CDFA 翻折，点 A 与点 O 恰好重合，点 C 的对称点为 E。若点 F 和线段 DF 的中点都在双曲线上，则k= 解：设A点坐标为()，F点坐标为(a)，则B点坐标为(a,0)，C点坐标为(0,b). 由题可知，矩形OBAC翻折得到四边形DEOF. ∴AF=OF=b-1,BF=1,OB=a,AC=OE 在Rt∆FBO中 BF2+BO2=FO2 1+a2=(b-1)2 ∵∠BOF+∠FOC=∠FOC+∠DOE=90° ∴∠BOF=∠DOE 在∆FBO和 ∆DEO中 ∴∆FBO∆DEO ∴OD=OF=b-1 ∴点D的坐标为(0,b-1) ∴线段DF的中点坐标为(,) ∵点F和线段DF的中点都在双曲线y= 上 ∴ ∴b=4 代入1+a2=(b-1)2 得1+a2=9 a= 由题意可知，a取-2 ∴F点坐标为(-2) ∴K=-2 16：如图，在△中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将△沿翻折，得到△，连接，，则的最小值为 ． 解：在△中，，， ， 由题意可得：． 如图，在上取点，使得，连接，， ，， ， ， △△， ， ， ， 即的最小值为的长． 过点作于点， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，． 的最小值为． 故答案为：． 3、 解答题 17.（6分）先化简，再求代数式的值，其中． 解：原式 ……………………4分 当，原式．………………6分 19. （8 分）如图，在△ABC 中，AB=BC，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点 C 的对应点 E 落在线段 BC 上，连接 BD。 （2） 求证：四边形 ACBD 是平行四边形；（2）若 AB=2，∠CAD=120°，求四边形 ACBD 的面积 （1）求证四边形 ACBD 是平行四边形。 证明：（1）由旋转的性质可知：△ABC≌△ADE， ∵△ABC≌△ADE ∴∠BAC=∠DAE ∵AB=BC ∴∠C=∠BAC ∵△ABC≌△ADE ∴AC=AE ∴∠C=∠AEC ∴∠DAE=∠AEC ∴BC∥AD ∵△ABC≌△ADE ∴AB=AD 又∵BC=AB ∴BC=AD ∴四边形ACBD是平行四边形………………………………………………4分 （2）若 AB=2，∠CAD=120°，求四边形 ACBD 的面积。 解：过点B作BF⊥AD于点F ∵在平行四边形ACBD中，∠CAD=120° ∴∠C=180°-120°=60° ∴∠ADB=∠C=60° ∵AD=AB=2（已证） ∴△ABD是等边三角形 ∴BD=AB=2 ∵BF⊥AD ∴BF=BD·sin∠ADB=2sin60°= ∴S□ACBD=AD·BF=2………………………………………………8分 19.（8分）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，，都是格点， 经过，，三点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画出圆心，是与网格线的交点，画出将点绕点顺时针旋转的对应点； （2）在图2中，是与网格线的交点，连接并延长，交于点，在上画点，使，连接，画的中点． 【答案】（1）如图，点、点即为圆心；………………………………4分 （2）如图，点，点即为所求． ………………………………8分 20.（9分）某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查．本次选考科目分为四项（项目A：跳绳；项目B：足球；项目C：立定跳远；项目D：篮球），要求每名学生必须选择且只能选择其中一项．调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了　500　 名学生，请将条形统计图补充完整；…………………………2分 （2）扇形统计图中a＝　20　 ，D所对的圆心角为　36　 度；………4分 （3）请用画树状图法或列表法，求小明和小红选择同一个项目的概率。 解：树状图如下：………7分 由树状图知共有16种等可能结果，其中小明小红选择同一个项目共有4种结果，因此他们选择同一个项目的概率P=………………………………………………9分 21题（9分）：如图是某游乐场的摩天轮，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走30米到达点，再经过一段坡度为i=1:2，坡长为20米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走45米到达点，在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为53°，摩天轮最高处的仰角为37°，AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80, cos 53°≈0.60, tan 53°≈， sin 37°≈ 0.60, cos 37°≈ 0.80, tan 37°≈，≈2.2） 解：过作于，过作于， 如图所示： 则，，米，，， ， 斜坡的坡度为，米， ∴设CM=X,则DM=2x，由勾股定理得： 解得x=≈8.8 ……………………3分 米，米， 米， （米， 在中，， （米， 米， （米， ……………………7分 在中，， ， （米， （米， 即的高度约为121米．…………………9分 　22.( 10分)某校园文创店购进两款纪念水杯进行销售。已知每个 A 型水杯的进价比 B 型水杯贵 4 元，且用 800 元购进 A 型水杯的数量与用 600 元购进 B 型水杯的数量相等。 （1）求 A 型、B 型水杯每个的进价； （2）该店计划购进 A 型水杯 200 个。已知 A 型水杯每个售价 25 元时可全部售出；市场调查发现，A 型水杯每涨价 1 元，销量就减少 4 个。设 A 型水杯涨价a元，销售完这批水杯的总利润为w元。求w与a之间的函数关系式，并求出最大总利润。 解：（1）设B型水杯每个进价为元，则A型水杯每个进价为元。 根据题意列分式方程： 交叉相乘化简： 展开移项： 解得： ………………4分 检验：当时，分母、，是原方程的解且符合实际意义。 A型水杯进价：（元） 答：A型水杯每个进价16元，B型水杯每个进价12元。………………5分 （2） 涨价a元时，每个水杯利润为(25+a)−16=9+a，销量为：200-4a。 则利润W=(9+a)(200-4a),展开整理：W=−4a2+164x+1800………………7分 这是开口向下的二次函数，顶点处取最大值。， 因为 a 为整数，所以：a=20 或 a=21 时利润最大。………………9分 代入计算：W最大​=3564 元。 答：当涨价21元时，总利润最大，最大为3564元 …………………10分 23.（10分）如图将直角三角板ABC如图放置于平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（,0），点C的横坐标为,∠ABC=90°，且点C与线段AC的中点D均在双曲线y=（k＞0）上。 （1）求K的值（2）设直线AC的解析式为y=ax+b，求关于x的不等式ax+b＞的解集。 （2） 由图象结合C(,1),D()可知 不等式ax+b＞的解集为x＜0或＜x＜ …………………10分 24题（10分）如图1，A,B,C在⊙0上,F是BC延长线上一点，且BC=CF，取AF的中点G,连接CG并延长,交过点A且与BC 平行的直线于点D。连接BD，交⊙0于点E(点E不与点B重合)。已知AB= AC (1)求证:AD是⊙0的切线; (2)如图2，当圆心O在线段BC上且AB=6时,求线段DE的长。 解：（1）连接AO并延长交BC于点G ∵AB=AC,0B=OC ∴AO是线段BC的中垂线 ∴AG⊥BC ∴∠AGB=90° ∵AD∥BC ∴∠OAD=90° ∴AD是⊙0的切线…………4分 （2） 过点B作BM⊥AD于点M，连接AE 由题意及（1）知BC为直径，四边形ABCD为平行四边形。 ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° ∵AB=AC=6 ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ABC=45° ∴BC= …………6分 ∵在□ABCD中AD∥BC，∠ABC=45° ∴∠BAM=45° ∵BM⊥AD于点M ∴BM=AB·sin45°= …………8分 ∴在Rt△BDM中，由勾股定理有BD2=BM2+BD2, 即…………9分 ∵AD为⊙0的切线， ∴∠DAE=∠ABD(弦切角定理) ∵∠ADE=∠BDA ∴△ADE∽△BDA …………10分 ∴BD·DE=AD2 ∵在□ABCD中，AD=BC= ∴，解得DE=…………………………………………12分 25.（12分）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律.这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径. 【特例探究】 如图1，在矩形ABCD中，BC=3AB，点E是矩形内一动点，且∠DEC=90°.将CE绕点C逆时针旋转90°，并放大为原来的3倍后，点E的对应点为点F.连接BF，交DE的延长线于点G，连接AE。(1)判定四边形CEGF的形状，并说明理由;（2）求的最小值 [类比探究】 (3) 如图2,四边形ABCD中，∠ABC=90°,AD=6,CD=4.连接BD,若AB=2BC,直接写出BD的最大值. 解：（1）由题意，将CE绕点C逆时针旋转90°并放大为原来的3倍得到CF ∴∠ECF=90°，CF=3CE ∵∠DEC=90° ∴∠ECF=∠DEC ∴EG∥CF；∠ECF-∠BCE=∠DEC-∠BCE 即∠DCE=∠BCF 又 ∵ ∴△BCF∽DCE ∴∠F=∠DEC=90° ∴∠F+∠ECF=180° ∴GF∥CE ∴四边形CEGF是平行四边形 ∵∠F=90° ∴四边形CEGF是矩形。……………………………………4分 ∵△CDE∽△CBF（已证） ∴ ∴DE=BF ∴= 过点A作AH⊥DG于点H，设DG,BC交于点K ∵在矩形ABCD中，AD∥BC ∴∠ADH=∠BKG ∵在矩形CEGF中，GE∥FC ∴∠BKG=∠BCF ∴∠ADH=∠BCF 在△ADH与△BCF中 ∴△ADH≌△BCF ∴AH=BF ∴== 在直角△AEH中,由斜边大于直角边，有AE＞AH 当点E与点H重合时，AE=AH,因此AE≥AH 因此…………………………9分 （3）如图3，过点作，使，连接，， ，， ， ， ， ， △△， ， ， △△， ， ， △△， ， ， ， 的最大值为7， 的最大值为．……………………………………………………12分 26题（14分）：若抛物线y＝ax2+bx+c（a是常数，a≠0）经过点（﹣2，0），（4，0）． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． （3）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，满足x2＞x1≥2．当对于任意的x1，x2满足x2﹣x1＝1时，都有y2﹣y1≥6．求证：a≥2． 【解答】：（1）把点（﹣2，0），（4，0）代入y＝ax2+bx+c得： 用16a+4b+c＝0减去4a﹣2b+c＝0得：12a+6b＝0，化简得b＝﹣2a．………3分 （2） 原抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，向上平移2个单位长度后为y＝ax2﹣2ax+c+2． 因为抛物线与x轴没有交点，所以Δ＝（﹣2a）2﹣4a（c+2）＜0， 由4a﹣2b+c＝0且b＝﹣2a可得c＝﹣8a， 代入Δ得：4a2﹣4a（﹣8a+2）＜0， 4a2+32a2﹣8a＜0， 36a2﹣8a＜0， a（36a﹣8）＜0， 解得． （3）∵x2﹣x1＝1，∴x2＝x1+1，x1≥2，，， 2ax1+a﹣2a＝2ax1﹣a．因为y2﹣y1≥6，x1≥2，所以2a×2﹣a≥6，4a﹣a≥6，3a≥6，解得a≥2．又因为a＞0，所以a≥2． ABCD 学科网（北京）股份有限公司 $