精品解析：2026年四川省成都市锦江区九年级适应性专项监测工具 数学

锦江区初2023级适应性专项监测工具数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 8 5. 某班同学在劳动基地种植蚕豆，7个小组各种下100颗蚕豆，经过一段时间的培育，他们发现发芽的蚕豆数量（颗）分别是93，92，96，95，94，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 94，95 B. 94，96 C. 95，95 D. 95，96 6. 如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：________． 10. 如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线折射后的两条光线相交于点．若，则的大小为_____． 11. 已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 12. 如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接，．若，则的最小值为_____． 13. 定义：在中，点在边上，若，则称线段为的“平方分割线”，点称为“平方分割点”．如图，在中，已知，则平方分割点到点的距离的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2） 15. 为迎接全国学生营养日，某校已顺利开展九年级学生体重健康专项监测活动．学校将学生体重按健康标准分为四类：A（偏瘦）、B（正常）、C（超重）、D（肥胖），每个学生对应其中一类．为了解学生体重管理成效，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次调查统计抽取的学生人数为_____；扇形统计图中A类体重所占圆心角的大小为_____； （2）补全条形统计图； （3）为了帮助学生树立体重管理和健康生活意识，学校计划开展一次健康饮食经验分享活动．有4名学生报名参与分享，其中包括1名男生和3名女生．现准备从这4名学生中随机抽取2人进行分享．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16. 为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌（如图1）．该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式（X型）连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线与底座边缘所在直线始终平行；交叉连杆的中点为，满足（即交叉杆等长，中点铰接）；当调节书桌高度时，点左右滑动，连杆与底座的夹角发生变化，桌面到底座的竖直高度随之改变．已知厘米，在正常调节范围内，的取值范围为．求该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围．（结果精确到0.1厘米，参考数据：） 17. 如图，为的内接三角形，．过点作，且．连接，交于，交于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的长． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与反比例函数的图象交于点，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一动点，作直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于另一点． ①若，求点的坐标； ②如图2，当点在点的右侧时，若为的中点，连接，．将直线向右平移个单位后，将的面积分为两部分，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若实数满足，则代数式的值为_____． 20. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接交于点，连接．若，则的周长为_____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数：的图象交于，两点，点在第四象限，则_____；过点作直线的平行线在第四象限交于点；过点作直线的平行线在第四象限交于点按此规律，记，过点作直线的平行线在第四象限交于点，则点的坐标为_____． 23. 如图，在四边形中，，．为线段上一点，连接，．过点作交射线于，过点作交射线于．取线段的中点为，若，则_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴．询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元． （1）求每个熊猫冰箱贴的售价； （2）该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍．求该游客最少需要花费多少钱？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交抛物线于两点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图2，在轴右侧直线上有一点（不与点重合），过点作直线交抛物线的图象于，两点（，两点不重合）． ①求的取值范围； ②判断的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 26. 如图1，在菱形中，为线段上一动点（不与端点重合），连接交对角线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点． （1）求证：； （2）如图2，设，将射线绕点逆时针旋转，交于点，交于点，连接交于点． ①求证：； ②如图3，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦江区初2023级适应性专项监测工具数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是【 】 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】由三视图判断几何体． 【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥． 故选A． 2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，将2和3分别转化为和，通过比较被开方数的大小即可确定答案．  【详解】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间， ，， 点A表示的数满足， A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，A错误； B、∵单项式相乘，系数相乘，同底数幂的指数相加， ∴，B错误； C、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； D、∵积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，D正确． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， 则AB=， ∵D是AB的中点， ∴CD=AB=5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 某班同学在劳动基地种植蚕豆，7个小组各种下100颗蚕豆，经过一段时间的培育，他们发现发芽的蚕豆数量（颗）分别是93，92，96，95，94，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 94，95 B. 94，96 C. 95，95 D. 95，96 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数和众数的定义分别计算结果即可． 【详解】解：首先把原数据从小到大排序，得：， ∵这组数据共有7个，为奇数个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， ∴中位数是94； ∵这组数据中95出现次数最多，共出现2次， ∴众数为95， 因此这组数据的中位数、众数分别是94，95． 6. 如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理及角度比例求出的度数，然后根据作图步骤得出，，进而判定，利用全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：，  设，，， ， ， 解得， ， 由作图步骤可知：，， 在 和中， ， ， ． 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 8. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给二次函数的图象，结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 则． 故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则一元二次方程的两个根是． 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则． 将点代入抛物线的解析式得， 则， ∴． 故③错误； 当时，抛物线的图象在x轴上方，即， ∴当时，． 故④正确． ∴正确的结论有①②④． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 如图是近视眼的成像示意图：平行光线经晶状体折射后，成像于视网膜前方．已知入射的两条光线折射后的两条光线相交于点．若，则的大小为_____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题通过过交点作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的同旁内角互补性质求出和的度数，相加得到的度数，最后利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵与是对顶角， ∴． 11. 已知点在反比例函数的图象上，如果，那么的值可能为_____（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 3（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据点的横坐标大小关系和的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 又，且， 在第一象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象经过第一、三象限， 比例系数大于，即， 解得， （答案不唯一）． 12. 如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接，．若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作关于的对称点，连接，，则，可得当三点共线时，，此时最小，进一步求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，则，，， ∵在正方形中，是边的中点，， ∴，，， 当三点共线时， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴点A，D，Q在同一直线上， ∴， ∴． ∴的最小值为． 13. 定义：在中，点在边上，若，则称线段为的“平方分割线”，点称为“平方分割点”．如图，在中，已知，则平方分割点到点的距离的长为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据“平方分割点”的定义列出比例式，代入已知边长求出与的比值，再结合的长度利用线段和差关系即可求解．  【详解】解：由定义可知， 将代入得， 点在边上， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） 5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 15. 为迎接全国学生营养日，某校已顺利开展九年级学生体重健康专项监测活动．学校将学生体重按健康标准分为四类：A（偏瘦）、B（正常）、C（超重）、D（肥胖），每个学生对应其中一类．为了解学生体重管理成效，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次调查统计抽取的学生人数为_____；扇形统计图中A类体重所占圆心角的大小为_____； （2）补全条形统计图； （3）为了帮助学生树立体重管理和健康生活意识，学校计划开展一次健康饮食经验分享活动．有4名学生报名参与分享，其中包括1名男生和3名女生．现准备从这4名学生中随机抽取2人进行分享．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先通过D类人数以及其所占比例求得总人数，通过总人数减去A，C，D类人数得到B类人数，接着用A类所占比例乘以求得其圆心角； （2）根据（1）数据画图即可； （3）列出表格，求得一共有多少个等可能的结果，以及恰好抽到一男一女的结果数，最后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人） B类人数有：（人） A类体重所占圆心角：； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：列出表格如下： 男1 女1 女2 女3 男1 女1，男1 女2，男1 女3，男1 女1 男1，女1 女2，女1 女3，女1 女2 男1，女2 女1，女2 女3，女2 女3 男1，女3 女1，女3 女2，女3 一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有6种，那么恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 16. 为方便居家学习时保护视力、养成良好坐姿，某家庭使用一款可调节高度的升降书桌（如图1）．该升降书桌的升降机构可简化为交叉剪式（X型）连杆结构，其工作原理如图2所示，桌面边缘所在直线与底座边缘所在直线始终平行；交叉连杆的中点为，满足（即交叉杆等长，中点铰接）；当调节书桌高度时，点左右滑动，连杆与底座的夹角发生变化，桌面到底座的竖直高度随之改变．已知厘米，在正常调节范围内，的取值范围为．求该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围．（结果精确到0.1厘米，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，推出，，接着分别算出当以及当，的长度，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵厘米， ∴（厘米），即厘米， ∴四边形是矩形， ，即该升降书桌桌面到底座的竖直高度， ∴， 当，， ∴， ∴（厘米）， 当，， ∴， ∴（厘米）， ∴当时，该升降书桌桌面到底座的竖直高度的变化范围为． 17. 如图，为的内接三角形，．过点作，且．连接，交于，交于． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5；的长为 【解析】 【分析】（1）连接，并延长交于点M，根据垂径定理推论可推出，结合平行线的性质，即可证得结论； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由等弧所对的弦相等以及三线合一求得，进而由正切值求得，接着利用勾股定理建立方程即可求得半径和，得到，最后由，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长交于点M， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵由（1）可知，， ∴， ∴，即， 设的半径为r，则，， ∵在中，， ∴， ∴，即的半径为5； 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与反比例函数的图象交于点，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一动点，作直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于另一点． ①若，求点的坐标； ②如图2，当点在点的右侧时，若为的中点，连接，．将直线向右平移个单位后，将的面积分为两部分，求的值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先求出直线为，得到，代入，求得，得到点坐标，然后将点代入反比例函数即可求得答案； （2）①设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点，通过证明，得到，从而得到，推出，然后将代入反比例函数即可得出答案；②由题知，平移后的直线解析式为，设平移后的直线交于点，交于，设，则，将代入反比例函数，求得，那么，接着证明，得到，过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点，那么，，得到，将点代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设直线为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线为， ∵直线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：设点坐标为，过点作轴，过点作轴，相交于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的横坐标为：，的纵坐标为：， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴或， ∴或； ②由题知，平移后的直线解析式为， 设平移后的直线交于点，交于， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴，过作轴，交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的横坐标为：，的纵坐标为：， ∴， 设点代入， ， 解得， 综上，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若实数满足，则代数式的值为_____． 【答案】 2030 【解析】 【分析】由已知等式得出的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可． 【详解】解： ∴ ． 20. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 21. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接交于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的中点，可以求出的长，利用勾股定理求解的长，再根据相似三角形的判定与性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，，， 在中，根据勾股定理，得， ， 是的中点， ，， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 的周长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数：的图象交于，两点，点在第四象限，则_____；过点作直线的平行线在第四象限交于点；过点作直线的平行线在第四象限交于点按此规律，记，过点作直线的平行线在第四象限交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】解题思路：先联立直线与反比例函数解析式求出交点的横坐标；再根据平行线性质、反比例函数图象上点的特征和一元二次方程根与系数的关系，推导出的递推规律，进而求出的坐标． 【详解】解： 直线与反比例函数交于A，B两点 ， ， ， 在第四象限， ； 在上， ， ， ，直线的解析式为， 设过平行于的直线解析式为， 联立与得， ， 两根为，的横坐标， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 23. 如图，在四边形中，，．为线段上一点，连接，．过点作交射线于，过点作交射线于．取线段的中点为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长和相交于点，延长和相交于点，设，，证明和，求得，，再证明和，求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：延长和相交于点，延长和相交于点， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 成都游客逛宽窄巷子文创店，选购迷你蜀绣挂件和熊猫冰箱贴．询价发现：用600元买迷你蜀绣挂件的数量，与用200元买熊猫冰箱贴的数量相同；已知1个迷你蜀绣挂件比1个熊猫冰箱贴贵20元． （1）求每个熊猫冰箱贴的售价； （2）该游客准备购买两款文创产品共120个，并且熊猫冰箱贴的数量不超过迷你蜀绣挂件数量的2倍．求该游客最少需要花费多少钱？ 【答案】（1） 每个熊猫冰箱贴的售价为10元 （2） 该游客最少需要花费2000元 【解析】 【分析】 （1）设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元．根据“600元买迷你蜀绣挂件的数量与200元买熊猫冰箱贴的数量相同”的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果． （2）设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，根据限制条件得到自变量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，利用一次函数的单调性求出最小花费． 【小问1详解】  解：设每个熊猫冰箱贴的售价为元，则每个迷你蜀绣挂件的售价为元， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：每个熊猫冰箱贴的售价为10元； 【小问2详解】 解：设购买迷你蜀绣挂件个，总花费为元，则购买熊猫冰箱贴个， 根据题意得， 解得； 由（1）可知，每个迷你蜀绣挂件的售价为， 则总花费， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，取得最小值，（元）， 答：该游客最少需要花费2000元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交抛物线于两点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图2，在轴右侧直线上有一点（不与点重合），过点作直线交抛物线的图象于，两点（，两点不重合）． ①求的取值范围； ②判断的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②是，定值为 【解析】 【分析】（1）先根据点B的坐标求得直线和抛物线的解析式，然后联立两个解析式即可解答； （2）①先联立直线和直线的解析式，求得，结合点E在y轴的右侧，可知，然后联立直线和抛物线的解析式，结合直线和抛物线有两个交点，即，再考虑点E不与点B重合，综合即可求得c的取值范围； ②先联立直线和抛物线的解析式，利用根与系数的关系得到，，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J，利用勾股定理求得，从而得到，进而可知，表示出，同理表示出，代入式子化简即可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，把分别代入直线和抛物线， 得；， ∴，， ∴直线；抛物线， 联立， 解得或 ∴； 【小问2详解】 解：①联立， 解得，即， ∵点E在y轴的右侧，即， ∴， 联立， 得， ∵，两点不重合， ∴， ∴ 又∵点不与点重合，即直线不经过点B，且当经过点时，， ∴， ∴综上，c的取值范围为或； ②是，定值为，理由如下， 联立， 得， ∴， 由①得， ∴， 如图，过点A作轴于点，过点E作于点F，过点E作轴于点，过点C作于点N，设直线交x轴于点J， 则，， 令，则，即， ∵，则， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴，即， ∴， 同理， 如图，过点B作直线，交x轴于点L，过点B作轴于点，设交y轴于点M， 设直线的解析式为，代入，则， ∴直线的解析式为，令，则，即， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴， 同理， 当点E在点B的左侧时， 则， ， ∴； 当点E在点B的右侧时， 则， ， ∴； 综上，是定值，定值为． 26. 如图1，在菱形中，为线段上一动点（不与端点重合），连接交对角线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点． （1）求证：； （2）如图2，设，将射线绕点逆时针旋转，交于点，交于点，连接交于点． ①求证：； ②如图3，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，，证明是等边三角形得到，则可证明，再证明，即可证明； （2）①由（1）得是等边三角形，则，证明，得到；证明，得到，则；过点P作交于点P，证明，得到，则；证明，得到，则；②将绕点B顺时针旋转得到，连接，可证明三点共线，三点共线；证明，推出；根据，推出平分，则可证明；过点G作于点R，则，设，则，由勾股定理得，，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）得是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点P作交于点P， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 设点N到的距离为，点N到的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，过点G作于点R，则， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $