精品解析：2025年四川省广元市利州区九年级第二次学业水平质量监测数学试卷

2025年利州区九年级第二次学业水平质量监测 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题 3，考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效，选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 4. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　 A. B. C. D. 5. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（ ） A. a+3＞0 B. 2a＞0 C. a-3＞0 D. a²＞0 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则. A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上） 11. 经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为______. 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 13. 若关于的不等式组有2个整数解，则的取值范围是_____． 14. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是________． 16. 综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程） 17. 已知，求的值． 18. 在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 19. 如图，由边长为1小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上． 请用无刻度尺按要求作图： （1）作△ABC高AH； （2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC； ②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 21. 如图，反比例函数上图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围． 22. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 23. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 24. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，，以为一边向外作正方形，点为直线上一点，连接，作交直线于点． （1）如图，若，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图，若，点在线段上，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，若，，请直接写出的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若的面积与的面积相等，求的值； （3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年利州区九年级第二次学业水平质量监测 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题 3，考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效，选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得，再根据倒数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2. 下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的； A、B、D中图案不是平移得到的； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题． 3. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由PD∥OB，得出∠PCO＝∠DPC =90°；再根据∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°即可求出∠APD 【详解】 PD∥OB, PC⊥OB ∠CPD=90° ∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°, ∠OPC＝35° ∠APD=180°-90°-35°=55° 故选B 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握性质是解题的关键. 4. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解. 【详解】解：由题意可得：， ∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 5. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 6. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 7. 已知a＞0，则下列事件中随机事件的是（ ） A. a+3＞0 B. 2a＞0 C. a-3＞0 D. a²＞0 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、∵a＞0，∴a+3＞3＞0是必然事件，不符合题意； B、∵a＞0，∴2a＞0是必然事件，不符合题意； C、∵a＞0，∴a3可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意； D、∵a＞0，∴a2＞0是必然事件，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 9. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】三角形是等边三角形，边长为1 ， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 10. 已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ） ①当时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点，则； ③若，是函数图象上的两点，则； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，则. A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①：∵二次函数（a为非零常数，）， ∴，，， 又∵当时，y随x的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 故①正确； ②：∵二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大， ∴， 若图象经过点，则，得， ∵，， ∴ ， 故②错误； ③：又∵对称轴为直线，， ∴ ， ∴若，是函数图象上的两点，2025离对称轴近些，则， 故③正确； ④若图象上两点，对一切正数n，总有，， 则满足 ， 解得 ， 故④正确； ∴①③④正确；②错误． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共120分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上） 11. 经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为： 12. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 【答案】x≠-2． 【解析】 【分析】直接利用分式有意义条件得出x的取值范围． 【详解】∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠-2， 则x的取值范围是：x≠-2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 13. 若关于的不等式组有2个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得的取值范围． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组的解集为， 不等式组有2个整数解， 不等式组的整数解为2、3， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 解得， 所以侧面展开图的圆心角为． 故答案为：． 15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作，连接．根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正弦，利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，过点B作，连接． 由网格和勾股定理可求得； ，，， ∴， ∴是直角三角形． 在中，． ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和解直角三角形，作辅助线平移到直角中，是解决本题的关键． 16. 综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到 ，结合点M在上，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ， 共线时，的值最小，如图， 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，要求写出必要的解答步骤或证明过程） 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 【详解】解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18. 在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，结合，即可证明四边形是菱形； （2）在中，利用勾股定理求得，然后根据菱形的性质得到，再利用勾股定理在中，求得． 【小问1详解】 证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 19. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上． 请用无刻度尺按要求作图： （1）作△ABC的高AH； （2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC； ②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可，注意高线是实线； （2）①根据要求作出图形即可； ②取格点T连接BT，AT，CT，则BT∥AC ，推出△ACB与△ATC的面积相等，作出△ADT 的中线AF即可（取P，Q，连接PQ交DT于点 F)． 【小问1详解】 解：如图（1）所示，线段AH即为所求， 【小问2详解】 ①如图所示，线段AD即为所求； ②如图所示，线段AF即为所求； 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 【答案】（1）此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为 （2）点距离桌面的高度差约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 图1 ． ， 在中，， ， 此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为； 【小问2详解】 延长交于点， 由题意得：， ， 当时， ， 在中，， ， 当时， ， 在中，， 图2 ， 点距离桌面的高度差， 点距离桌面的高度差约为． 21. 如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 则反比例函数的解析式为； 当时，，解得，即， 将点代入得：，解得， 则一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 当时，，即， ， 轴，且， ，， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 22. 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）CG长为8m，DG长为4m （2）当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【解析】 【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【小问1详解】 解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． 【小问2详解】 解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 23. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 24. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ，， ， 与相切． 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 25. 如图，在中，，以为一边向外作正方形，点为直线上的一点，连接，作交直线于点． （1）如图，若，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图，若，点在线段上，试探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质及处置的性质可知，，所以、、、四点共圆，所以，则等腰三角形的性质可知，，所以是以点为直角顶点的等腰直角三形，由此可得结论； （2）连接，过点作，垂足为点，由正切函数的定义可知，，，由，可得、、、四点共圆，所以，即，因为，所以，由、、、四点共圆，可知，所以，可得，在中，由，代入化简可得结论； （3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点在线段上时，过点作，垂足为点，由、、、四点共圆得，解得，再由勾股定理求得，则；②当点在点的左侧时，同理可求． 【小问1详解】 解：（1）如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三形， ； 【小问2详解】 连接，过点作，垂足为点，如图2， ， ，， ， ， ， 、、、四点共圆， ，即， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ； 线段、、三者之间的关系式：； 【小问3详解】 ，， ， ， ， 点在直线上， 点在点的左侧， 过点作，垂足为点， ①当点在线段上时，如图， 、、、四点共圆， ，即， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在点的左侧时，如图， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，四点共圆及圆周角定义等相关知识，关键是得出点，，，四点共圆． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求线段的长； （2）当时，若的面积与的面积相等，求的值； （3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）抛物线与交于定点 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【小问1详解】 解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； 【小问2详解】 当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； 【小问3详解】 设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上 ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $