二次函数中翻折问题复习 讲义-2026年中考数学二轮复习

二次函数中翻折问题复习讲义 二次函数中翻折问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 对称变换原理 翻折本质是轴对称变换，翻折前后图形全等、形状不变，对应点关于翻折对称轴完全对称。 1. 坐标对称原理 沿x轴、y轴、直线翻折时，点的坐标有固定变换规律，可直接写出翻折后解析式。 1. 区间保留原理 x轴上下翻折：x轴上方图像保留，下方翻折到上方；分段构成新的函数图象。 1. 交点与范围原理 翻折后结合直线与抛物线交点、零点、最值、参数范围，利用方程根的分布求解。 二、解题思路 1. 定翻折对称轴 分清沿x轴、y轴、竖直直线还是定点直线翻折。 1. 用对称求解析式 利用坐标对称规则，写出翻折后二次函数解析式； 若是x轴翻折：保留上半部分，下半部分取相反数，写成分段函数。 1. 画草图定区间 画出原抛物线和翻折后图象，确定增减区间、零点、顶点位置。 1. 联立方程求交点 若涉及与直线交点、有几个交点、参数范围，联立方程，用判别式、韦达定理分析。 1. 结合图象判范围 根据翻折后图象走势，结合临界点、顶点位置，求参数取值、最值、交点个数。 极简口诀 翻折就是轴对称，坐标变换换解析式； 上保下翻成分段，画图联立判范围。 例题分析 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 例2．（25-26九年级上·福建莆田·月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． (1)若二次函数的图象上存在唯一的“等值点”，求的值； (2)若将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标； (3)若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)等值点坐标为， (3) 【分析】（1）根据“等值点”的定义，可得方程只有一个实数根，整理得：，再用根的判别式求解即可； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标为，， 再求出翻折后的函数解析式为或或，再根据“等值点”的定义，求该图象上的所有“等值点”的坐标； （3）由该图象上恰好有三个“等值点”时，即可理解为翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象与直线有三个交点，再利用翻折的性质分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：方程只有一个实数根， 整理得：， ， 解得：； （2）解：对于， 当时，， ， 抛物线与轴的交点坐标为，， 翻折后的函数解析式为或或， 当时，解得：（舍去）， 当时，解得：（舍去）， ∴该图象上的所有“等值点”的坐标为，； （3）解：该图象上恰好有三个“等值点”时，即可理解为翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象与直线有三个交点， 当时，解得：， ∴函数的图象上的“等值点”的坐标为，， 如图，当时，该图象与直线有三个交点，即该图像上恰好有三个“等值点” ∴符合题意， 如图，当时，该图象与直线有四个交点，即该图象上恰好有四个“等值点” ∴不符合题意， 如图，当时，该图象与直线的交点少于三个，即该图象上的“等值点”少于三个， ∴不符合题意， 综上所述，当该图象上恰好有三个“等值点”时，． 例3．（2025·广西南宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，在时，函数取得最小值，即，在时，函数取得最大值，即，结合函数值的取值范围是，进而可以计算得解； ②根据①可得，得出抛物线的表达式为：，顶点坐标为．求出则时，，设图象折叠后顶点的对应点为，画出对应图形，点是函数所处的位置，图象为区域，根据点，点，求出点，依据题意，分在点下方、上方两种情况分别列不等式求解即可． 【详解】（1）解：已知抛物线， ∴函数的对称轴是直线． （2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，， ∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， 当时，， 当时， 在时，函数取得最小值，即， ∵， ∴在时，函数取得最大值，即， ∵当时，函数值的取值范围是， ∴，， ，； ②根据①可得， ∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为． 则时，， 设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， ∵点，点，则点， 当点在点下方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ； 当点在点上方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ∴； ． 例4．（2026·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点． (1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________． (2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知． ①求k的值． ②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值． 【答案】(1)，；（），（或） (2)①② 【分析】本题考查求二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合综合利用知识是解决问题即可． （1）由待定系数法即可求解出的值，翻折后的“”形图象分两部分写出解析式； （2）①求出点，点，由，即可求解； ②求出点，直线的表达式为，设点，点，则，即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，原抛物线轴交于点和， ∴对称轴为直线， ∴原抛物线顶点的坐标为：， 则抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∴由函数的对称性，原抛物线位于轴下方的图象沿x轴翻折后的图象解析式为：（）， 原抛物线位于轴上方的图象解析式为：（或）． 故答案为：，；（），（或）； （2）解：翻折后抛物线的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：或（舍）， 即点， 同理可得，点， ∵ ， 解得：或， ∵直线过第一象限， ∴； ②由①知，点的坐标为：，直线的表达式为：， 在上取点，则， 作轴于点，交于点，过点作于点， 设，则，，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则点， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 设点，点， 则，由勾股定理得： 即， 解得：，（舍）， 解得：，（舍）， 即点、的坐标分别为：， ， 则． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为，点 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图形的轴对称变换，分类讨论思想，正确推导抛物线轴左侧部分翻折后的解析式是解题关键． （1）利用二次函数对称轴公式求对称轴，代入求点的坐标即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线为， ∴对称轴为， 当时，， 故点的坐标为． 答：对称轴为，点． （2）解：已知抛物线为，配方得， ∴原抛物线顶点为， ∵过点作轴的垂线，与轴交点的坐标为， ∴直线的方程为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 故图形的分段函数为： ， 点和点是图形上的点， ∵， ∴在轴右侧，故， 在轴左侧，， 故， 此时， 由可知其是开口向下的函数，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 变式2．（24-25九年级下·四川成都·月考）抛物线与x轴交于，，与轴交于，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，连接，，点是抛物线上的一个动点，连接，且，求点M的坐标； (3)如图②，将直线下方的抛物线沿翻折，为翻折后图象上一点（不与点，重合），过点作的垂线交于点，交轴于点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)P． 【分析】（1）由题意得：，则，则，即可求解； （2）当点在下方时，在△中，由点、的坐标知，，，，用解直角三角形的方法点，即可求解；当点在上方时，由图象的对称性知，直线的表达式为：，即可求解； （3）若，则点为的中点，，则的表达式为：，由中点坐标公式得，点的纵坐标为：，则，则，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得，解析， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：当点在下方时， 设交轴于点，作于点， 由点、的坐标知，， 在中，由点、的坐标知，，，， 故设，则，则， 则，则，则，则点， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当点在上方时， 由图象的对称性知，直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得：或， 解得：（舍去）或或， 则点或； （3）解：延长交抛物线于点，则点、关于对称，点为的中点， 则，若，则点为的中点， 设点， ∵直线解析式为，， ∴设直线的表达式为， 把代入，得， 解得：， ∴的表达式为：， 由中点坐标公式得，点的纵坐标为：， 则，则，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点、的坐标分别为：、， 由中点坐标公式得，点． 变式3．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)，； (2)Q的坐标为或或或； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的翻折问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点P的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，， ，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点P对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点Q的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）解：图象翻折后点P对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线x轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 变式4．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象的对称轴． (2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点． ①求的取值范围； ②当为等边三角形时，求代数式的值． 【答案】(1)，直线 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图象和性质，翻折的性质． （1）把，，代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）①由（1）可得顶点的坐标为，由翻折的性质可得点的坐标为，结合图象即可得出的取值范围； ②作，垂足为，由直线与交于两点，得，设，则，，，再根据等腰三角形的性质得关于m的方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，把，，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为， 而， 二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：①由（1）可得顶点的坐标为， 点与点关于直线对称， 点的坐标为， ； ②如图，作，垂足为， ， 折叠部分图象的解析式为， 即， 直线与交于两点， 则，即， 设， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 解得（舍去），， ， ． 实战演练 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为． (1)求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标． (2)将该函数图象沿x轴翻折，如图①， ①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式； ②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴． (3)将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为（1，4）； (2)①； ②直线，直线（或x轴）； (3). 【分析】（1）先求解C的坐标，再求解B的坐标，设，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，再配方可得答案； （2）①根据关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数直接得到答案；②结合原图象与翻折后的图象可得对称轴； （3）先判断直线与图象只有3个交点时，的值，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由 令 则 则 B（3，0），而点A坐标为， 设， 把C（0，3）代入，得， ∴， ∵， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）①把关于x轴翻折可得： 整理得：， ②翻折后关于抛物线的对称轴对称， 此时对称轴为直线， 同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称， 此时对称轴为：直线（或x轴）； （3）解：当直线过点A时，则有3个交点， 把代入，得， 当直线与抛物线只有一个交点（相切）时，则有3个交点． 则， 则，即 ，解得， 由图像知：若有4个交点，则． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)此时P点坐标为 (3) 【分析】（1）先求出，，再将两点坐标代入抛物线求得：，从而可得抛物线的解析式为； （2）先求出点C的纵坐标为3，再代入抛物线解析式中求出，从而可求得，再设点P坐标为且（），可根据轴，可用表示出D点坐标，从而可用表示出，再用表示出，然后根据四边形的面积为2，求得，从而可得此时P点坐标为； （3）先画出图形，当直线在图示区间符合有四个交点，再求得翻折后的抛物线解析式为（0），接着根据当直线过点A时，求得，当直线于抛物线有唯一一个公共点时，求得，从而可得出当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围． 【详解】（1）∵，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∵抛物线过A，B两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵轴，， ∴点C的纵坐标为3， ，解得：或， ∴， ∴， 设点P坐标为且（）， ∵轴， ∴D点坐标为， ∴， ∵， ， ∵四边形的面积为2， ，解得：，， ∵， ， 此时P点坐标为； （3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点． 翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反， 所以它们的二次项系数互为相反数， 所以翻折后的抛物线可设为， ∵，在抛物线上， ∴，解得， ∴翻折后的抛物线解析式为（）， 当直线过点A时，，解得； 当直线于抛物线有唯一一个公共点时， 方程有相等的实数解， 所以有相等的实数解， 所以， 解得:， 所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中翻折问题复习讲义 二次函数中翻折问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 对称变换原理 翻折本质是轴对称变换，翻折前后图形全等、形状不变，对应点关于翻折对称轴完全对称。 1. 坐标对称原理 沿x轴、y轴、直线翻折时，点的坐标有固定变换规律，可直接写出翻折后解析式。 1. 区间保留原理 x轴上下翻折：x轴上方图像保留，下方翻折到上方；分段构成新的函数图象。 1. 交点与范围原理 翻折后结合直线与抛物线交点、零点、最值、参数范围，利用方程根的分布求解。 二、解题思路 1. 定翻折对称轴 分清沿x轴、y轴、竖直直线还是定点直线翻折。 1. 用对称求解析式 利用坐标对称规则，写出翻折后二次函数解析式； 若是x轴翻折：保留上半部分，下半部分取相反数，写成分段函数。 1. 画草图定区间 画出原抛物线和翻折后图象，确定增减区间、零点、顶点位置。 1. 联立方程求交点 若涉及与直线交点、有几个交点、参数范围，联立方程，用判别式、韦达定理分析。 1. 结合图象判范围 根据翻折后图象走势，结合临界点、顶点位置，求参数取值、最值、交点个数。 极简口诀 翻折就是轴对称，坐标变换换解析式； 上保下翻成分段，画图联立判范围。 例题分析 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 例2．（25-26九年级上·福建莆田·月考）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． (1)若二次函数的图象上存在唯一的“等值点”，求的值； (2)若将函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后的部分与图象其余部分组成新的图象，求该图象上的所有“等值点”的坐标； (3)若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成新的图象，当该图象上恰好有三个“等值点”时，请直接写出的值． 例3．（2025·广西南宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 例4．（2026·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点． (1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________． (2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知． ①求k的值． ②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 变式2．（24-25九年级下·四川成都·月考）抛物线与x轴交于，，与轴交于，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，连接，，点是抛物线上的一个动点，连接，且，求点M的坐标； (3)如图②，将直线下方的抛物线沿翻折，为翻折后图象上一点（不与点，重合），过点作的垂线交于点，交轴于点，若，求点P的坐标． 变式3．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 变式4．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，，且其顶点为． (1)求二次函数的解析式及图象的对称轴． (2)把二次函数的图象位于直线上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二次函数图象位于直线下方的部分组合的图象记作图象，若直线（为常数）与图象有四个交点，从左到右依次记作，设点关于直线AB的对称点为点． ①求的取值范围； ②当为等边三角形时，求代数式的值． 实战演练 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为． (1)求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标． (2)将该函数图象沿x轴翻折，如图①， ①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式； ②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴． (3)将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标； (3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $