第四章 三角恒等变换 单元测试（A卷）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

026单元测试AB卷 第四章三角恒等变换(A卷) 分值：150分 时间：120分钟 学校： 姓名： 班级： 考号： 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.计算： sin40°.sin80° =() c0s40°+c0s60° B.V3 C② D 2 2 2.已知a 2sin 2a cos 2a+1,sina=() A.1 B.6 3 D36 5 5 3.已知x是实数，若2sin c0sE=sinx+号)测ar的值(） 9 A② B.3 C.2 D.5 2 3 4.tana=2,tan B =3,tan(a-B)=() A.-7 B c- 5.若sin3=t,则cos3=() A.v1-2 B.-V1-2 c.-P D.- .1-2 1-t2 1 13 6.若tana-tanβ=3， tanc tanB2,则tan(a-B)=(）》 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3π的值为) 7.c0s 12 数学·A卷第1页共14页 A.6+ B.6-V5 c.2-v6 D.-6+2 8.已 sin(a+B)=3,则 and sin(a-β anB =() B时 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=2cosx·cosx- 则f(x)的图象() 3 A.关于直线x= 2元对称 3 B.关于点 成中心对称 C.相邻对称轴之间的距离为 2 D.向右平移元个单位长度可以得到g(w)=sin2x+2的图象 10.下列结论正确的是() A.cos*a sina cos 2a B.不存在a,B使得cos(a+B)=cosa cosB+sina sin B C.sina 1-cos 2a 2 D.若a∈ 则√1-sin2a=cosa-sino 11.若函数f(x)=sin4x+cos4x,则() A曲线f(x)的一条对称轴为直线x= 4 B曲线)的一个对称中心为点（径0 C函数f)的最小正周期为究 数学·A卷第2页共14页 D若函数g)=8)-, 则g(x)的最大值为2 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知xye0,经，且sinx+cosy=l,cosx+siny=5则sinx+)= 13.计算：2sin20°-c0s100 sinl0° 14.已知tana=2,则sina-cosa 1+2sinacosa 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC=V2cosB, a2+b2-c2=v2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√3，求c 16.(15分)如图，某摩天轮轴心为O,最高点Q距离地面110米，最低点P距离地面10 米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置 进舱，转一周大约需要30min (1)以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴建立平 面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmn后距离地面的高度为H米，求H 关于t的函数解析式： (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过85米的总时长： (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 的绝对值h(单位：米)关于t的函数解析式，并求h的最大值以及取得最大值时摩天轮的运 行时间 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC- c=b. 2 数学·A卷第3页共14页 y个 0 p地面水平线 (1)求A; C2)点D在线段BC上，AD LAC,C)=,求anC的值 17分)已知a+-s4--g.em+8-o4-8 (1)求tanB的值； (2)求sin2B的值： 1917分)已知w-m+写}a+分2x+}-9 (1)求f(x)的最小正周期与图象的对称轴方程： 2)已知函数g)=食-》 记方程g)=;在区间0,21上的根从小到大依次为 3 X,X2,…,Xn,求X3+2x+…+2xn-1+xn的值 数学·A卷第4页共14页 参考答案 1.答案：A 解析：因为 $$\frac { \sin 4 0 ^ { \circ } \cdot \sin 8 0 ^ { \circ } } { \cos 4 0 ^ { \circ } + \cos 6 0 ^ { \circ } } = \frac { \sin \left( 6 0 ^ { \circ } - 2 0 ^ { \circ } \right) \cdot \sin \left( 6 0 ^ { \circ } + 2 0 ^ { \circ } \right) } { \cos ^ { 2 } \cos { 2 ^ { \circ } } + \cos \left( \frac { \sqrt 3 0 ^ { \circ } } {$$ $$= \frac { 3 } { 4 }$$ $$\frac { \frac { 3 } { 4 } \cos ^ { 2 } 2 0 ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 4 } \sin ^ { 2 } 2 0 ^ { \circ } } { 2 \left( \frac { 3 } { 4 } \sin ^ { 2 } 2 0 ^ { \circ } \right) } = \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { 3 } { 4 } \sin ^ { 2 } 2 0 ^ { \circ } \right) = \frac { 1 } { 2 }$$ 故选：A. 2.答案：B 解析： $$\because 2 \sin 2 \alpha = \cos 2 \alpha + 1 ， \therefore 4 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos ^ { 2 } \alpha - 1 + 1 ，$$ ∴ $$4 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos ^ { 2 } \alpha . \therefore \alpha \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right) ， \therefore \cos \alpha e 0 ，$$ 且 sinα>0，∴2sinα=cosα. 又 $$\because \sin ^ { 2 } a + \cos ^ { 2 } a = 1 ，$$ $$5 \sin ^ { 2 } \alpha = 1 \therefore \sin \alpha = \frac { \sqrt 5 } { 5 }$$ (负值已舍去). 3.答案：D 解析： $$2 \sin \frac { 4 \pi } { 9 } \cos x = \sin \left( x + \frac { \pi } { 9 } \right)$$ ，可得 $$2 \sin \frac { 4 \pi } { 9 } \cos x = \sin x \cos \frac { \pi } { 9 } + \cos x \sin \frac { \pi } { 9 } ，$$ 所以 tanx= $$= \frac { 2 \sin \frac { 4 \pi } { 9 } - \sin \frac { \pi } { 9 } - 2 \sin \left( \frac { \pi } { 3 } + \frac { \pi } { 9 } \right) - \sin \frac { \pi } { 9 } } = \frac { \sqrt 3 \cos \frac { \pi } { 9 } } { \cos _ { n } \pi } = \frac { \sqrt 3 \cos \left( \pi - \frac { \pi } { 2 } } { \cos n } \right) = \sqrt 3 ，$$ cos。 故选：D. 4.答案：D 解析： $$\tan \left( \alpha - \beta \right) = \frac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta } = \frac { 2 - 3 } { 1 + 2 \times 3 } = - \frac { 1 } { 7 } .$$ 故选：D. 5.答案：B 解析：因为 $$\frac { \pi } { 2 } < 3 < \pi ， \sin 3 = t ，$$ 数学·A卷第5页共14页 所以cos3=-V-sin23=-V-2. 故选：B 6.答案：C 解析：因为tana-tanB=3,L 1 tanB-tana 3 tano tanβ 2 tand-tanβ 3 所以tana tanB=-2,所以tan(a-B)= 1+tanotanβ1+(-2) =-3 故选：C 7.答案：D 12 -or任 。 =-cos-cos- -sin sin 4 6 4 6 -2x521 -X- 2222 =-V6+V2 4 故选：D. 8.答案：C 解析：由于sin(a+B)=sinacosβ+cosasinβ，sina-B)=sinacosβ-cosasinB, sinacosB cosasinB 3sina cosB-3cosasinB, 4cosasinB=2sinacos ta2 tanB 故选：C 9.答案：ACD i... cos2x+3 sin x cosx= 20+c0s2)+ 3 数学·A卷第6页共14页 对于A,将x=2亚代入)，得f 2π 3元.11 sin 3 即f)在x=2处取得最小值， 3 则f()的图象关于直线x-2匹对称，故A正确： 3 对于B,y=sin 2x+ 在x= π 处的值为0，将x= 代入f),得 11 sinπ+ 6 2 12 22 则f(x)的图象关于点 5π1 12’2 中心对称，故B错误； 对于C,的最小正周期为T.2=,则相邻对称轴之间的距离为-牙，故C正确， 2 22 对于D,将f)的图象向右平移元个单位长度可以得到 12 10.答案：AD 解析：cosa-sina=cos2a+sin2acos2a-sin2a=cos2a-sin2a=cos2a,故A正a确； 当a=p=0时，cos(a+β)=1=cosa cos B+sina sin B成立，故B错误； 因为1-cos2g_1-1-2sina-sma,当sina<0时，sina -cos 2a 故C错误； 2 2 2 所以sina<0,cosa>0,则sin-cosa<0,所以√1-sin2a= sin2a-2sina cosa cos2a =(sin a-cosa)2=sin a -cosa |cosa-sin a ,D. 故选AD 11.答案：ACD 解析：由题意得f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)}2-2sin2xcos2x 3 =1- 4 A选项， (-or个4到子分，又m所以直线x晋是面线的条对 称轴，故A正确； B选项，由选项A分析可知∫ )方所以点0不是曲线心)的对称中心，放B错误： 数学·A卷第7页共14页 C选项，由T纤=知函数@的最小正周期为，故C正确， D选项，g)=8f)-4 =2cos4x,所以g(x)mx=2,故D正确. 故选ACD 12.答案： 解析：由sinx+cosy=1两边取平方，sin2x+cos2y+2 sinxcos y=1① 再由cosx+siny=V2两边取平方，cos2x+sin2y+2 cos xsin y=2② 由O+②，可得2((sin xcosy+c0 sxsin)=l,即得sin(x+月=2 故答案为： 1 2 13.答案：-√万 1 解析：原式2sin(30°-10)-cos10° 0sl0°- -sinl0° -cos10° 2 -V3sin10° sinl0° sinl0° sinl0° =-5 故答案为：-√5 14.答案：3 1 解析： sin'a-cos'a sin'a-cos'a 1+2sinacosa sin'a cos'a +2sina cosa tan2a-1 4-131 tan2a+1+2tano4+1+493 1 故答案为： 15.答案： (1)B=π 3 (2)c=2√2 解析：(1)已知a2+62-c2=Vab,则有cosC=a+-c2-2 2ab 2 数学·A卷第8页共14页 又C∈(0，)，所以C=T 4 又sinC=V2cosB,所以cosB=sinC-1 V221 又B∈(0，)，所以B= 3 （2)由1)可特C-子8-号，由正弦定里，不幼令Cg=k>0,则有 sin C sin B c=5k,6=5k. 2 2 又Sa4c=3+V5, besin esin(C(in B cos C+cos Bsin C) 22 6图-531，解04俊值合去，放 8 4 k=-25 C= 2 16.答案：(1)H=50sin 一t +60,0≤t≤30 152 (2)游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过85米的时长为20min (3)甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值的最大值约为25（√6-√2）米，此时摩天轮运行 时间为浮m或空m 解析：(1)设1=0时，游客甲位于点P(0,-50),以OP为终边的角为- 2 根据摩天轮转一周大约需要30min,可知座舱转动的角速度约江rad/min,由题意可得摩天 15 轮半径为50米，轴心O距离地面高度为60米，所以H关于t的函数解析式为 H-50sin g-}60,0s1s30 数学·A卷第9页共14页 (2)在运行一周的过程中，由0≤1≤30，则-s1-s2,令 2-152-2 H=50sin +60≤85，可得sin 得1-引}5解0s1s10或20s1530 所以游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过85米的时长为20mi. (3)由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点A,B表示， 不妨设点B相对于点A始终落后，则∠AOB=2× 2π_π 246 经过tmin后，甲距离地面的高度为H1=50sin -t- +60, 152 点B相对于点A始终落后rad,此时乙距离地面的高度H,=50sin yQ p地面水平线 则甲、乙商度花的能对指=以-=0（得-引m(-由 sin0-sin o=2cos in0-9,可得 (1512 15122 ，即 或 3n 1s35 或95时，h取得最大值， 4 4 .=10sm8-10sn[任g =100 46 6 46 =10x5x5--25N25-)=25N6-V2 2 2 所以甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值的最大值约为25（√6-√2）米，此时摩天轮运行时 间为m或？m 数学·A卷第10页共14页