21.3 平行四边形的判定（题型专练）（基础达标4大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

21.3平行四边形的判定（答案版） 题型一 判断能否构成平行四边形 1．D 2．A 3．D 题型二 增加条件判定平行四边形 4．C 5．D 6．D 题型三 平行四边形判定定理的应用 7． C 8．C 9．（1）解：，平分， ， ． （2）证明：平分， ．   ， ，   ， ． ， 四边形为平行四边形． 题型四 利用平行四边形性质求面积和周长 10． C 11．证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 12．解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 9．B 10．A 11．ABCD或AD=BC 12．5 13．5 14．24 15． 16.（1）解：补充解题过程如下． ∵AB=20， ∴MA=MB=AB=20． ∵BC=40， ∴MC=MB+BC=60． ∵四边形MCDE是平行四边形，CD=70， ∴ME=CD=70，DE=MC=60． ∴． ∴五边形的周长为． （2）解：如下图所示，延长、相交于点，延长、相交于点，过点H作HG⊥AB于G，过点C作CP⊥HF于P，过点N作NM⊥DE于M． ∴∠HGA=∠CPH=∠NME=90°． ∵六边形ABCDEF的每一个内角都为120°， ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°． ∴∠HAB=∠HBA=∠NDE=∠NED=60°． ∴△HAB和△NDE都是等边三角形，∠AHG=180°-∠HGA-∠HAB=30°，∠ENM=180°-∠NME-∠NED=30°． ∴HA=HB=AB，ND=NE=DE，∠AHB=∠DNE=60°，，． ∴∠AHB+∠BCD=180°，∠BCD+∠DNE=180°，∠HCP=180°-∠AHB-∠CPH=30°． ∴，，． ∴四边形HCNF是平行四边形． ∴FN=HC，HF=CN． ∵AB=4，DE=2， ∴HA=HB=AB=4，ND=NE=DE=2． ∴，． ∴，． ∴，． ∵BC=1，CD=8， ∴HC=HB+BC=5，CN=CD+ND=10． ∴FN=HC=5，HF=CN=10，． ∴，，． ∴六边形的周长为，． ∴S六边形ABCDEF． ∴六边形ABCDEF的周长是24，面积是． 17.（1）正确的方案有3种 （2）甲方案：如图，连接，则必过点，   四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形为平行四边形． 乙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 丙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形 ，，，， ， 又分别平分， ，即， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 18.解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 19.证明：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ，    即． 20.（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2）在中，，， 由题意得，， 当点Q与点B重合时，， ∴， 当时，点Q在线段的延长线上，， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 如图，连接，,    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与互相平分； （4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或2． 1.C 2.D 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3 平行四边形的判定 题型一 判断能否构成平行四边形 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 题型二 增加条件判定平行四边形 4．（2022·河北廊坊·二模）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） 如图，∵， ∴． 又∵（　　）， ∴四边形是平行四边形． A． B． C． D． 题型三 平行四边形判定定理的应用 7．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 8．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，点在上，平分． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，点在上，，．求证：四边形为平行四边形． 题型四 平行四边形判定与性质的综合应用 10．（23-24九年级下·河北廊坊·月考）已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 11．如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 12．已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 1．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（    ） A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=0D 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）求证：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形． 已知：如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． 以下是排乱的证明过程： ①∴，∴． ②四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ③连接，∵，∴． ④∵，，． 证明步骤正确的顺序是（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ） A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE 7．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 9．（23-24九年级下·河北保定·期中）如图，已知点P，Q分别是四边形的边上的点，有如下条件：①；②；③；④四边形是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形是平行四边形的是（  ） A．①和④ B．①和③ C．②和③ D．②和④ 10．（2022·河北邢台·一模）如图，在中，要对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有①，②，③三种方案，①只需要满足；②只需要满足，；③只需要满足AE，CF分别平分，，则正确的方案是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 12．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 13．（20-21八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝BC＝6，DC＝9，AB＝15，点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当有一点到达终点时，点P、Q就停止运动．当运动时间为___s时，四边形PQBC为平行四边形． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 15．如图，已知，以点为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，为圆心，大于，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线交于点，过点作直线交于点，则四边形的面积是______． 16．下面是某数学兴趣小组探究特殊角在多边形计算中运用的片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 如图1，在五边形中，，，，，，，，求五边形的周长． 解：延长、相交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴为等边三角形．…… (1)请补充完整材料中的解题过程； (2)如图2，六边形的每一个内角都为，其中，，，，求六边形的周长，并直接写出它的面积． 17．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案．    (1)正确的方案有 种； (2)针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 18．如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 19．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，并交于点，交于点．求证：． 20．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为______． (2)当时，用含的代数式表示线段的长______． (3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 1．如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 2．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3 平行四边形的判定 题型一 判断能否构成平行四边形 1．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，表示两组邻边相等，但无法确定对边是否平行或相等，可能形成筝形而非平行四边形，故A不符合题意； 选项B：，仅说明两组邻角分别相等，但未涉及边的平行或相等关系，无法判定为平行四边形，故B不符合题意； 选项C：，表示邻边相等且两角相等，但未保证对边平行或相等，无法判定为平行四边形，故C不符合题意； 选项D：，满足“两组对边分别相等”的判定定理，可直接判定四边形为平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 题型二 增加条件判定平行四边形 4．（2022·河北廊坊·二模）如图，E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴， 不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是嘉嘉同学在证明一四边形是平行四边形时的不完整推理过程，为了使嘉嘉的推理成立，需在括号中添加条件，下列添加的条件正确的是（　　） 如图，∵， ∴． 又∵（　　）， ∴四边形是平行四边形． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不平行， ∴四边形不是平行四边形，故A不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形或等腰梯形， ∴四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴与不平行， ∴四边形不是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形，故D符合题意， 故选：D． 题型三 平行四边形判定定理的应用 7．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）已知，连接，要作平行四边形，现有如下两套方案，下列判断正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 在上任取一点， 在上截取 在上任取一点，连接； 取的中点，连接，并延长，交于点 A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【详解】解：方案Ⅰ，根据作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 方案Ⅱ，∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ 在中， ∴， ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 故选：C． 8．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）如图，是的中线，延长至点，使，连接，．求证：四边形是平行四边形．下面是被打乱的证明步骤，则正确的顺序是（    ） ①四边形是平行四边形；    ②； ③是的中线；    ④ A．①②③④ B．②①④③ C．③②④① D．④②③① 【答案】C 【详解】解：③是的中线； ②； ④ ①四边形是平行四边形； 则正确的顺序为③②④① 故选：C． 9．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，点在上，平分． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，点在上，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）证明：平分， ．   ， ，   ， ． ， 四边形为平行四边形． 题型四 平行四边形判定与性质的综合应用 10．（23-24九年级下·河北廊坊·月考）已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（    ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A．可行、不可行 B．不可行、可行 C．、都可行 D．、都不可行 【答案】C 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 11．如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 12．已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 1．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中，，得到，无法证明平行四边形，选项A错误； 选项B中，，得到与平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确； 选项C中，，选项C错误； 选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误． 故选：B． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、根据两组对边分别相等，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，只得到一组对边平行，不能得到四边形为平行四边形，符合题意； C、根据对角线互相平分，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，得到四边形的两组对边分别平行，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 3．（21-22八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（    ） A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=0D 【答案】D 【详解】添加OB=OD． 证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴∠OAB=∠OCD， ∴AB∥CD， 同理，∠AOD=∠COB， ∴△AOD≌△COB(SAS)， ∴∠OAD=∠OCB， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故选D． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）求证：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形． 已知：如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． 以下是排乱的证明过程： ①∴，∴． ②四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ③连接，∵，∴． ④∵，，． 证明步骤正确的顺序是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故选：A． 5．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意； B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由图中数据可得两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； D．由图中数据只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 6．如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ） A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE 【答案】D 【详解】解：如图，连接AC与BD相交于O， 在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可； A、若BE=DF，则OB-BE=OD-DF，即OE=OF，故本选项不符合题意 B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意； C、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意； D、AF=CE无法证明得到OE=OF，故本选项符合题意． 故选：D． 7．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】第一个图形：一组对边平行另一组对边相等，不能判定； 第二个图形：根据四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，可以判定； 第三个图形：一组对边相等，一组对角线被平分，不能判定； 第四个图形： 过点B作交于点E，交于点F， ∵交于点E，交于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴, 又∵，即对角线互相平分，可以判定． 故选：B． 8．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（    ） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 【答案】A 【详解】解：甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， ， ， 平分；平分； ， 在和中， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 9．（23-24九年级下·河北保定·期中）如图，已知点P，Q分别是四边形的边上的点，有如下条件：①；②；③；④四边形是平行四边形．则根据已知及下列条件的组合不能得到四边形是平行四边形的是（  ） A．①和④ B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】B 【详解】解：添加的条件为①和④，证明如下； ∵四边形是平行四边形， ∵，． ∵， ∴， 即． 又， ∴四边形是平行四边形． 故A不符合题意； 添加条件为①和③，不能证明四边形是平行四边形； 故B选项符合题意； 添加的条件为②和③，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选项C不符合题意， 添加的条件为②和④，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选项D不符合题意， 故选：B． 10．（2022·河北邢台·一模）如图，在中，要对角线BD上找点E，F，使四边形AECF为平行四边形，现有①，②，③三种方案，①只需要满足；②只需要满足，；③只需要满足AE，CF分别平分，，则正确的方案是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【详解】解：如下图，连接AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 故①正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠ABD=∠BDC， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF， ∴和①一样了， 故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=DCB，∠ABD=∠BDC，AB=CD， ∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴BE=DF， ∴和①一样了， 故③正确， 故选：A． 11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 【答案】ABCD或AD=BC 【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC或ABCD 故答案为：ABCD或AD=BC． 12．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 【答案】5 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 13．（20-21八年级下·河北唐山·期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝BC＝6，DC＝9，AB＝15，点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当有一点到达终点时，点P、Q就停止运动．当运动时间为___s时，四边形PQBC为平行四边形． 【答案】5 【详解】解：根据题意，若四边形PQBC为平行四边形，则CP∥BQ，此时，点P在线段DC上运动．设运动时间为t秒，则CP＝15﹣2t，BQ＝t， 根据题意得到15﹣2t＝t， 解得：t＝5， 故答案为：5． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为________． 【答案】24 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．如图，已知，以点为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，为圆心，大于，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线交于点，过点作直线交于点，则四边形的面积是______． 【答案】 【详解】解：过作于， 由作图得：平分， ， ， ， ， 是平行四边形，， ， ， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．下面是某数学兴趣小组探究特殊角在多边形计算中运用的片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 如图1，在五边形中，，，，，，，，求五边形的周长． 解：延长、相交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴，， ∴为等边三角形．…… (1)请补充完整材料中的解题过程； (2)如图2，六边形的每一个内角都为，其中，，，，求六边形的周长，并直接写出它的面积． 【答案】(1)补充解题过程见解析 (2)周长是24；面积是 【详解】（1）解：补充解题过程如下． ∵AB=20， ∴MA=MB=AB=20． ∵BC=40， ∴MC=MB+BC=60． ∵四边形MCDE是平行四边形，CD=70， ∴ME=CD=70，DE=MC=60． ∴． ∴五边形的周长为． （2）解：如下图所示，延长、相交于点，延长、相交于点，过点H作HG⊥AB于G，过点C作CP⊥HF于P，过点N作NM⊥DE于M． ∴∠HGA=∠CPH=∠NME=90°． ∵六边形ABCDEF的每一个内角都为120°， ∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°． ∴∠HAB=∠HBA=∠NDE=∠NED=60°． ∴△HAB和△NDE都是等边三角形，∠AHG=180°-∠HGA-∠HAB=30°，∠ENM=180°-∠NME-∠NED=30°． ∴HA=HB=AB，ND=NE=DE，∠AHB=∠DNE=60°，，． ∴∠AHB+∠BCD=180°，∠BCD+∠DNE=180°，∠HCP=180°-∠AHB-∠CPH=30°． ∴，，． ∴四边形HCNF是平行四边形． ∴FN=HC，HF=CN． ∵AB=4，DE=2， ∴HA=HB=AB=4，ND=NE=DE=2． ∴，． ∴，． ∴，． ∵BC=1，CD=8， ∴HC=HB+BC=5，CN=CD+ND=10． ∴FN=HC=5，HF=CN=10，． ∴，，． ∴六边形的周长为，． ∴S六边形ABCDEF． ∴六边形ABCDEF的周长是24，面积是． 17．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案．    (1)正确的方案有 种； (2)针对上述三种作图方案，请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程． 【答案】(1)3 (2)见解析 【详解】（1）正确的方案有3种 （2）甲方案：如图，连接，则必过点，   四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形为平行四边形． 乙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 丙方案：连接，与交于点，   四边形是平行四边形 ，，，， ， 又分别平分， ，即， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 18．如图是某高速公路服务区大货车倾斜式停车位的示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．判断四边形的形状，并求这个停车位的面积． 【答案】四边形是平行四边形，这个停车位的面积是 【详解】解∶，， 四边形是平行四边形， 过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 答：四边形是平行四边形，这个停车位的面积是． 19．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，并交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ，    即． 20．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为______． (2)当时，用含的代数式表示线段的长______． (3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 【答案】(1)10 (2) (3)存在， (4)或 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （2）在中，，， 由题意得，， 当点Q与点B重合时，， ∴， 当时，点Q在线段的延长线上，， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 如图，连接，,    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与互相平分； （4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或2． 1．如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 2．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $