17.2 平行四边形的判定（题型专练）（基础达标6大题型+能力提升6大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

17.2平行四边形的判定 题型一 利用平行四边形的定义进行判定 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点到点的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点到点的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 3.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 平行四边形的判定定理1 1.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定． 【解答】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 题型三 平行四边形的判定定理2 1.（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180° 【分析】由，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，可判断A符合题意；由，可知四边形是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形是平行四边形，可判断B不符合题意；由，不能判定四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，得，可知由，不能判定四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故A符合题意； ∵， ∴四边形是平行四边形或等腰梯形， ∴不能判定四边形是平行四边形， 故B不符合题意； ∵由，不能推导出， ∴不能判定四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴由°，不能判定四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：A． 2．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． 先由为的中点和D是的中点，得是的中位线，进而得，再由得，进而得，进而得，从而，根据“两组对边互相平行的四边形为平行四边形”得证． 【详解】证明：如图， 为的中点，D是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形． 题型四 平行四边形的判定定理3 1.（2024春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加可以使四边形ABCD是平行四边形． 【解答】解：添加， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 2.如图，在中，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，下列说法错误的是（　　） A. B.连接，四边形为平行四边形 C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴， 在和中， , ∴ ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， 故选：D． 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 题型五 利用对角相等进行判定（推论） 1.如图，已知∠CBE＝38°，要使四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为（　　） A．48°，132°，48°，132° B．142°，142°，38°，38° C．38°，38°，142°，142° D．38°，142°，38°，142° 【分析】证明，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为38°，142°，38°，142°，理由如下： ∴四边形是平行四边形，选项D符合题意， 故选：D． 2.下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定． 【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确． 故选：A． 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 题型六 三角形的中位线定理 1.如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C 2.如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据三角形中位线定理可得，再由可得到的长，然后在中利用勾股定理可以算出的长． 【详解】解：、分别是边、的中点， ， ， ， 在中，，， ． 故答案为：． 3.（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 题型一 判断成为平行四边形的条件 1.有4张大小相同的正方形纸片，按图中的虚线剪开（同一图形中，作相同标记的两条线段相等），利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】图（1）能拼成平行四边形，不能拼成三角形， 图（2）能拼成平行四边形，能拼成三角形， 图（3）能拼成平行四边形，不能拼成三角形， 图（4）能拼成平行四边形，能拼成三角形， 利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有：（2）、（4），共2个， 故选：B． 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 3.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质及判定．通过证明,根据得到,根据已知条件即可判定三角形全等,继而根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解:∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴,故正确； ∴,故正确； ∴,故错误； ∴四边形是平行四边形,,故正确． 故答案为:． 题型二 利用判定定理和推论判定平行四边形 1.四边形的三个内角的度数依次如下，能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ∴是平行四边形， ∴四个选项中只有B选项满足题意， 故选：B． 2.如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 3.已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质，可以得到，，然后即可得到，再根据即可证明； （2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到，从而可以得到，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 题型三 平行四边形性质和判定的综合应用 1.如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，解得， 故选：A． 2.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理与定义，平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握以上概念．本题先利用中位线的定义与性质得到，再得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：连接， 点分别为的中点，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE＝CD． （1）若∠DAE＝60°，求∠BAD的度数； （2）若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，进而可以解决问题； （2）证明，得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题． 【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， （2）证明：∵， ∴ 在和中， ， 题型四 与平行四边形有关的动点问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 2.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 3.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 题型五 与三角形中位线有关的实际应用 1.如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合题意得到，，由三角形周长的计算得到的周长，由此代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴的周长 ． 2.如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3.【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 题型六 三角形中位线与平行四边形的综合应用 1.如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 2.如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长． 【详解】解：取的中点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∵，是的中点， ∴，， ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3.如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 1．如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】 延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形是平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值． 【详解】 解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，A、E、G三点共线时，等号成立.， ∴的最小值为6． 故选：A． 2.如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值时C、E、F三点的位置关系． 取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，当在上方且C、E、F三点共线时，有最大值． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 取的中点F，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如图，当在上方时， 如果C、E、F三点共线，则有最大值， 最大值为， ∴的长不可能是． 3.如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 4.如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形中位线定理得、、，继而得到，即可得到答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵点、、分别为三边的中点， ∴、、为的中位线， ∴，，， 即，，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 5.如图，在中，点是的中点，，，，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，平行四边形与三角形的面积关系． 根据平行四边形的性质得，，再根据平行四边形判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形，即可得，，，由点是的中点，可求得，再根据勾股定理逆定理得是直角三角形，即可求出的面积，再根据平行四边形与三角形的面积关系，求得，计算即可得出答案，解题关键是证明是直角三角形并求出面积． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， 在中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 故答案为：8． 6.如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 7.如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用和是边的中点可以得到全等条件证明； （2）根据（1）的结论和平行四边形的判定，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． ， ． （2）证明：如图，连接 ， ，． 四边形是平行四边形． 8.如图，在中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． (1)请用平行四边形三种不同的判定方法证明： 证法1：、证法2：、证法3： (2)三种证法中你最喜欢的证法是 （填：“证法1”、“证法2”、“证法3”） (3)请写出你喜欢（2）中证法的一个理由 【答案】(1)证明见解析 (2)证法3 (3)见解析 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）证法1：先由平行四边形的性质得到，进而证明，得到，再根据等角的补角相等证明，推出，即可证明四边形是平行四边形；证法2：同理证明得到，同理证明即可证明四边形是平行四边形；证法3：连接交于O，由平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据（1）所求选择一个喜欢的证明过程即可； （3）根据（2）所求阐述对应的理由即可． 【详解】（1）证明：证法1：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 证法2：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形； 证法3：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：三种证法中最喜欢证法3，理由见（3）， 故答案为：证法3； （3）解：证法3相比如其他两个证法的证明过程更加简洁有效． 9.【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.2平行四边形的判定 题型一利用平行四边形的定义进行判定 题型二平行四边形的判定定理1 题型三平行四边形的判定定理2 A基础达标题 题型四平行四边形的判定定理3 题型五利用对角相等进行判定（推论） 题型六三角形的中位线定理 题型一判断成为平行四边形的条件 平行四边形的判定 题型二利用判定定理和推论判定平行四边形 题型三平行四边形性质和判定的综合应用 B能力提升题 题型四与平行四边形有关的动点问题 题型五与三角形中位线有关的实际应用 题型六三角形中位线与平行四边形的综合应用 C拓展培优题 A 基础达标题 题型一利用平行四边形的定义进行判定 1.C 2.C. 3.11 题型二平行四边形的判定定理1 1.D 2.C 3.【详解】(1)证明：，AF=CD, ∴.AF+CF=CD+CF, 即AC=DF 在△ABC与△DEF中， ∴.△ABC△DEF SSS, ∴.∠ACB=∠DFE (2)解：四边形BFEC是平行四边形.理由： .'∠ACB=∠DFE, 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC‖EF. 又.BC=EF, ∴.四边形BFEC是平行四边形. 题型三平行四边形的判定定理2 1.A 2.B 3.【详解】证明：如图， ,E为AB的中点，D是BC的中点， ∴.ED‖AC,BD=CD ∴.∠BDE=∠ACB=90°， 在△EBD和△ECD中， 6 ∴.△EBD≌△ECD SAS, ∴.∠1=∠2， 又.'AF=CE,CE=BE=AE, ∴.AF=AE, ∠3=∠F, 又.∠2=∠3， ∴.∠1=∠F, ∴.AF‖CE, ∴.四边形ACEF为平行四边形. 题型四平行四边形的判定定理3 1B0=D0. 2.D 3.【详解】(1)证明：.CF‖AE, ∴.∠CFD=∠AED ,D是AC的中点， ∴.CD=AD 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CDF和△ADE中， .△CDF≌△ADEAAS, ∴DF=DE, ∴.四边形AFCE是平行四边形. (2)解：，四边形AFCE是平行四边形， ∴.SAFCE=2 SAACE ,BC=2CE,△ACE的CE边上的高与△ABC的BC边上的高相等， .2 SAACE=S△ABC' SAFCE=SAABC=8, .SACDF 1 ×8=2 4 题型五利用对角相等进行判定（推论） 1.D 2.A 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ABl DC ∴.∠AEC+∠EAF=180°，∠AFC+∠ECF=180°. ,∠AEC=∠AFC, ∴.∠EAF=∠ECF, .四边形AECF是平行四边形， 题型六三角形的中位线定理 1.c 2.6cm. 3.【详解】(1)证明：DC=AC,CF平分∠ACB, F是AD的中点， 又，E是AB的中点， .EF是△ABD的中位线， ∴EF BO; (2)解：，EF是△ABD的中位线， .EF‖BC,EF:BD=1:2, 如图，连接DE,则SADEF:SADEB=1:2, 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 又，四边形BDFE的面积为6， 5a号×6-2 又，F是AD的中点， SADEF=SAAEF-2, ∴.△ABD的面积为2+6=8. B 能力提升题 题型一判断成为平行四边形的条件 1.B 2.OB=OD(答案不唯一) 3.③ 题型二利用判定定理和推论判定平行四边形 1.B 2.B 3.【详解】(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .DA=BC,DA‖BC, ∴.∠DAC=∠BCA, :∠DAC+∠EAD=180°，∠BCA+∠FCB=180°， ∴.∠EAD=∠FCB, 在△ADE和△CBF中， AE=CF ∠EAD=∠FCB, AD=CB ∴.△ADE≌△CBF SAS: (2)解：如图，连接BE、DF, 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E ,△ADE≌△CBF, ∴.DE=BF,∠DEA=∠BFC .DEBF 四边形BFDE是平行四边形 题型三平行四边形性质和判定的综合应用 1.A 2证明：连接EF,BE, Bh---G ,点E,F分别为AC,BC的中点，∠ABC=90°， EFIAD, EF-AB. BD=IAB 2 .EF=BD, ∴.四边配EFD是平行四边形， ∴.BG=FG 3.(1)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD‖BC, ∴.∠DAE=∠AEB=60°， .BE=CD, ∴.AB=BE, ∴·△ABE是等边三角形， ∴.∠BAE=∠AEB=60°， 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD=∠BAE+∠AEB=120°： (2)证明：，AB=BE,BF⊥AE, ∴AF=EF, 在△ADF和△ECF中， ∠DAF=∠CEF AF=EF ∠AFD=∠EFC ∴.△ADF△ECF(ASA), .DF=CF, .'AF=EF, ∴.四边形ACED是平行四边形 题型四与平行四边形有关的动点问题 1.c 2.【详解】(1)解：，AD=12cm,点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动， .'DP=tcm, .AP=12-tcm, ,BC=16cm,点Q从点B出发，沿着射线BC以3cm/s的速度向右运动， ∴.BQ=3tcm, 故答案为：12-t,3t: (2)解：若BP与AQ互相平分， 则ABQP是平行四边形， ..AP=BQ, .12-t=3ty 解得t=3, 故此时t的值为3： (3)解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段BC上， 当PD=CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时PD=tcm,QC=16-3tcm, .t=16-3t 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=4: ②点Q在线段BC的延长线上， 当PD=CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时PD=tcm,CQ=3t-16cm, .t=3t-16, 解得t=8: 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为4s或8s. 3.【详解】(1)解：如图，过点A作AE⊥BC,则AEIIDO, A D B PE .'AD‖EC,∠C=90° ∴.AD=EC=8,AE=DC=3, .BC=12, ∴.BE=BC-EC=12-8=4, ∴.AB=AE2+BE2=32+42=5 (2)解：如图，同(1)，过点A作AE⊥BC,则BE=4,AE=3, A D PE 点P在AB的垂直平分线上， ∴.PA=PB=t,PE=t-4, .在Rt△PAE中，PA2=PE2+AE2, 则t=t-42+9, 化筒得81=25，解得3。 (3)解：点Q沿射线DA运动， .AQ=2t-8, .四边形ABPQ是平行四边形，BP=t, 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AQ=BP, ∴.t=2t-8, 当Q点未到达A点时，即t=2t-8,解得t=8: 当Q点过A点后，即t=-2t-8=-2t+8,解得= . 故t=8或t 3 (4)解：如图，当P在AB上时： D B P 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠PBQ, .AQIBP ∴.∠AQB=∠PBQ, .∠AQB=∠PBQ, ∴.AB=AQ=5, .'AQ=8-2t, ∴.8-2t=5, 小架得子 如图，当P在AB延长线上时： o. A D p 此时，点Q已过A点，延长CB于点E, 根据对称的性质，可知∠PBQ=∠PBQ, ,∠EBP=∠ABP, ∴.∠PBQ-∠ABP=∠PBQ-∠EBP, ∴.∠QBE=∠QBA, .DAll CB, ∴.∠QBE=∠AQB 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AQB=∠QBA, ∴.AB=AQ=5, .AQ=2t-8, ∴.2t-8=5, 解得ts13 2 3 2 题型五与三角形中位线有关的实际应用 1.B 2.AB⊥CD 3.【详解】(1)由测量可知： AC=am,BC=bm,CM=3m,CN= m, 2 点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴.MN是△ABC的中位线， '.'MN=dm, .'AB=2dm. 故答案为：中位线，2d; (2)小明测出水池A,B两点间的距离的依据是三角形中位线定理. 故答案为：三角形中位线定理， 题型六三角形中位线与平行四边形的综合应用 1.B 2.1 3.【详解】(1)证明：，∠ADE=∠ABC, ..DE BC. .∠AED=∠ACB 又，∠EDF=∠ACB, ∴.∠AED=∠EDF, ∴.DF‖AC. (2)解：D、F分别是AB、BE的中点， DF是△ABE的中位线， .DF‖AE, 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，AE=CE, .S△ADE=SACEF, ,点F是BE的中点， ·.设SADEF=SABDF=X, ,点D是AB的中点， SAADE=SABDE=2X, ∴.SACEF=2X, .S四边形CEDP=3X. :S四边形EDP=9, ∴.3X=9, .X=3, SAABE=SAADE+SABDE-12, 点E是AC的中点， .SAABC=2SAABE=2x12=24. 拓展培优题 1.A 2.D 3.D 4.10 5.8 6.2秒或3秒 7.【详解】(1)证明：，CF‖BE, .∠FCD=∠EBD. ,D是BC的中点， ∴.CD=BD .∠FDC=∠EDB, ∴.△BDE≌△CDFASA. (2)证明：如图，连接BF,CE .'△CDF≌△BDE, 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DF=DE,DC=DB. .四边形BECF是平行四边形， 8.【详解】(1)证明：证法1：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABICD, .∠ABE=∠CDF, 又BE=DF, ∴.△ABE≌△CDF SAS, ∴.AE=CF,∠AEB=∠CFD, ,'∠AEB+∠AEF=180°=∠CFD+∠CFE, ∴.∠AEF=∠CFE, ..AECF, .四边形AECF是平行四边形： 证法2：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABCD, .∠ABE=∠CDF, 又BE=DF, .△ABE≌△CDF SAS, ..AE=CF, 同理可证明AF=CE, ∴.四边形AECF是平行四边形： 证法3：如图所示，连接AC交BD于O, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD, .BE=DF, ∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF, .四边形AECF是平行四边形： D B (2)解：三种证法中最喜欢证法3，理由见(3)， 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：证法3： (3)解：证法3相比如其他两个证法的证明过程更加简洁有效， 9.【详解】(1)解：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度之和.证明如下： .H,G分别为AD,CD的中点， ..HG--AC. 2 .E,F分别为AB,BC的中点， ..EF=LAC. 2 :HG=EF=号AC, 同理：HE=GF=BD, ∴.瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF 方AC+吃AC+号BD+号BD =AC+BD (2)解：由题意，画出图形如下： H 1 图1 图2 ①如图1，当∠A01B=35°时， ,E,F分别为AB,BC的中点， ..EF IAC, .∠BP1E=∠AO1B=35°， ,H,E分别为AD,AB的中点， HE‖BD, .∠HEF=∠BP,E=35°： ②如图2，当∠A02D=35°时，则∠A02B=145°， ,E,F分别为AB,BC的中点， 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF‖AC, .∠BP,E=∠AO,B=145°， :H,E分别为AD,AB的中点， ∴HE‖BD, ∴.∠HEF=∠BP,E=145°： 综上，瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数为35°或145°. 13/13 17.2平行四边形的判定 题型一 利用平行四边形的定义进行判定 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点到点的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 题型二 平行四边形的判定定理1 1.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 题型三 平行四边形的判定定理2 1.（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180° 2．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．求证：四边形为平行四边形． 题型四 平行四边形的判定定理3 1.（2024春•巴中期末）已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 2.如图，在中，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点，下列说法错误的是（　　） A. B.连接，四边形为平行四边形 C. D. 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 题型五 利用对角相等进行判定（推论） 1.如图，已知∠CBE＝38°，要使四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为（　　） A．48°，132°，48°，132° B．142°，142°，38°，38° C．38°，38°，142°，142° D．38°，142°，38°，142° 2.下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 题型六 三角形的中位线定理 1.如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______． 3.（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 题型一 判断成为平行四边形的条件 1.有4张大小相同的正方形纸片，按图中的虚线剪开（同一图形中，作相同标记的两条线段相等），利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 3.在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是 ． 题型二 利用判定定理和推论判定平行四边形 1.四边形的三个内角的度数依次如下，能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 题型三 平行四边形性质和判定的综合应用 1.如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（  　） A. B. C. D. 2.（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连接交于点．求证：． 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE＝CD． （1）若∠DAE＝60°，求∠BAD的度数； （2）若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 题型四 与平行四边形有关的动点问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 2.（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 3.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 题型五 与三角形中位线有关的实际应用 1.如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 2.如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是______． 3.【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 题型六 三角形中位线与平行四边形的综合应用 1.如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 2.如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________． 3.如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． (1)若，，求证：； (2)若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 1．如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 2.如图，在中，，线段绕点B旋转一周，点D为点C的对应点，连接，E为的中点，连接，则的长不可能是（   ） A．1.1 B．2.1 C．3 D．3.1 3.如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 4.如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为_____． 5.如图，在中，点是的中点，，，，则的面积为 ． 6.如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 7.如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． (1)求证：． (2)请连接，证明四边形是平行四边形 8.如图，在中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． (1)请用平行四边形三种不同的判定方法证明： 证法1：、证法2：、证法3： (2)三种证法中你最喜欢的证法是 （填：“证法1”、“证法2”、“证法3”） (3)请写出你喜欢（2）中证法的一个理由 9.【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $