5 简单复合函数的求导法则（题型专练）数学北师大版选择性必修第二册

2.5简单复合函数的求导法则 1．C 2．A 3．C 4．A. 5．ABD 6．ABC 7．/ 8．. 9．【详解】（1），； （2）由 求导可得，. 10．【详解】（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. （2）由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 1．D 2．B 3．D 4．A 5．ACD 6．ACD 7． 8． 9．【详解】（1）因为， ， 所以（）． （2）因为， 所以． 10．【详解】（1）由题可知，，所以切线的斜率为，且， 所以函数在点的切线方程为，即； （2）由题可知，又因为定义域上对任意的实数x满足， 所以，即，当且时，， 当时，，当时，； （3）导函数为偶函数，且为周期函数(T为其周期)， 理由如下：因为为奇函数，所以， 两边求导得：， 即，故为偶函数； 因为为周期为的函数，所以， 两边求导得，故为周期函数，且为其周期. 1．【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 2．【详解】（1）由求导得： ， 故函数的导数为（或） （2）①由，取对数得： . 等式两边同时对x求导，得， 故； ②令，，，则且. 对取对数得：.等式两边同时对x求导，得， 所以. 同理可得：， 所以. （3） （4）示例 ： 令，则函数.对函数求导得：. 令，则函数.对函数求导得：. 因此复合对数函数导数的特殊性质为. 对于函数，下证上述结论成立： 易得 故当时， 当时， 故得，因此原题得证. 1/3 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5简单复合函数的求导法则 1．函数的导数为（   ） A． B． C． D． 2．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，其中为函数的导数，则（ ） A．2022 B．0 C．4044 D．1011 5．（多选）若质点的位移公式为，则（    ） A．质点运动的最小正周期为 B．当时位移为正 C．质点的初速度为 D．在内，质点运动的路程为 6．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 7．函数，则______． 8．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 9．求下列各函数的导数： (1)； (2). 10．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． (1)求a； (2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 1．设函数，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数是定义在上的非常数函数，，，且，下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．若是的导函数，则 D． 6．（多选）已知函数，，则以下结论不正确的是（   ） A． B． C．若，且，则 D．若，且，则 7．将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 8．已知，则________． 9．求下列复合函数的导数： (1)（）； (2)． 10．已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ (3)若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 1．函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 2．经过课内的学习我们已经了解了函数的求导法则，通过这些求导法则我们可以对诸如函数求导. 但是对于一些特别的函数诸如，则难以利用普通的求导法则实现求导. 因此我们引入一个新的求导方法. 阅读下列例题： 例  求函数的导数：. 解  取对数得：等式两端同时对x求导，得，所以 上述例题的求导方法即为对数求导法. (1)直接写出函数的导数； (2)利用对数求导法求下列函数的导数： ①；②； (3)求函数的导数； (4)对数求导法之所以可用于函数求导，实际上是基于复合对数函数导数的特殊性质（其中且可导）. 请写出2个复合对数函数并求导，归纳得出复合对数函数导数的特殊性质，并证明该性质对于任意一个满足且可导的复合对数函数均成立. 1/3 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5简单复合函数的求导法则 1．函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以. 2．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题可得，所以. 3．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 4．已知，其中为函数的导数，则（ ） A．2022 B．0 C．4044 D．1011 【答案】A 【详解】由题设可得的定义域为， 而，故， 故， 又，故， 故，故. 5．（多选）若质点的位移公式为，则（    ） A．质点运动的最小正周期为 B．当时位移为正 C．质点的初速度为 D．在内，质点运动的路程为 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数的性质判断A，令求出所对应的的范围，即可判断B，求出函数的导函数，求出，即可判断C，再根据路程的定义判断D. 【详解】对于A：质点运动的最小正周期为，故A正确； 对于B：令，所以，，解得，， 因为，所以当时位移为正，故B正确； 对于C：因为，所以，则质点的初速度为，故C错误； 对于D：因为，则，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以在内的路程为，在内的路程为， 所以在内，质点运动的路程为，故D正确. 故选：ABD. 6．（多选）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与同时相切，则b的取值可以为（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】ABC 【分析】设两切线的切点横坐标分别为，利用导数的几何意义得到，求出两切点坐标，写出切线方程，由题意可得，借助于二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】由题知，设斜率为1的切线在曲线上的切点横坐标分别为， 由题知，解得，则切点分别为和， 则两点处的切线方程分别为和， 依题意，可得，则． 故的取值范围是. 故选：ABC. 7．函数，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以. 8．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 【答案】 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 9．求下列各函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数的求导法则计算即得； （2）利用函数的和差积商求导法则和复合函数的求导法则计算即得. 【详解】（1），； （2）由 求导可得，. 10．已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． (1)求a； (2)若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【详解】（1），因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. （2）由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 1．设函数，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】由函数，得. 所以． 2．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可． 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 3．已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 4．已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的运算法则先求导，再根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 根据导数的几何意义得， 所以. 5．（多选）已知函数是定义在上的非常数函数，，，且，下列结论正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．若是的导函数，则 D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；B令即可；C令得出是周期为6的函数，再结合偶函数得出，对其求导得出，再对求导即可求出；D令即可. 【详解】对于A，令，得，所以， 又是非常数函数，所以，A正确； 对于B，令，得，整理得， 则是偶函数，B错误； 对于C，令，得，则， 所以，即是周期为6的函数， 所以，两边同时求导得，即， 又，所以， 即，所以，C正确； 对于D，令，得， 所以，D正确． 6．（多选）已知函数，，则以下结论不正确的是（   ） A． B． C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得. 【详解】选项A：因，故，故A结论错误； 选项B：因， 故 ，故B结论正确； 选项C：， 故由得，得， 整理得， 即，故当时，或，故C结论错误； 选项D：由得， 由得， 得，由选项C可知D选项结论错误， 故选：ACD 7．将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则________. 【答案】 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则. 【详解】设直线与曲线相切，且切点为， 由题意得， 由，则， 故，解得， 切点为，则. 8．已知，则________． 【答案】 【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果. 【详解】对两边求导得, ， 再令，得. 故答案为： 9．求下列复合函数的导数： (1)（）； (2)． 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）因为， ， 所以（）． （2）因为， 所以． 10．已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数． (1)求函数在点的切线方程； (2)已知，当a与b满足什么条件时，存在非零实数k，对任意的实数x使得恒成立？ (3)若函数在定义域上为最小正周期为的奇函数，判别其导函数的奇偶性和周期性，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3)偶函数，为周期函数(T为其周期)，理由见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先求导，再根据列出方程组，进而可得出结论； （3）由函数是奇函数，可得是偶函数，再进一步求出导函数的周期性， 再整理即可得出结论． 【详解】（1）由题可知，，所以切线的斜率为，且， 所以函数在点的切线方程为，即； （2）由题可知，又因为定义域上对任意的实数x满足， 所以，即，当且时，， 当时，，当时，； （3）导函数为偶函数，且为周期函数(T为其周期)， 理由如下：因为为奇函数，所以， 两边求导得：， 即，故为偶函数； 因为为周期为的函数，所以， 两边求导得，故为周期函数，且为其周期. 1．函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可.. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 2．经过课内的学习我们已经了解了函数的求导法则，通过这些求导法则我们可以对诸如函数求导. 但是对于一些特别的函数诸如，则难以利用普通的求导法则实现求导. 因此我们引入一个新的求导方法. 阅读下列例题： 例  求函数的导数：. 解  取对数得：等式两端同时对x求导，得，所以 上述例题的求导方法即为对数求导法. (1)直接写出函数的导数； (2)利用对数求导法求下列函数的导数： ①；②； (3)求函数的导数； (4)对数求导法之所以可用于函数求导，实际上是基于复合对数函数导数的特殊性质（其中且可导）. 请写出2个复合对数函数并求导，归纳得出复合对数函数导数的特殊性质，并证明该性质对于任意一个满足且可导的复合对数函数均成立. 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)答案见解析 【分析】（1）利用复合函数的求导法则计算即得，还可通过降幂公式化简； （2）①先对函数两边取自然对数，再对等式两边对x求导，代入的解析式即得；②将函数拆解成三个函数的和，分别利用对数求导法求出再相加即得； （3）利用对数求导法和幂函数的求导公式计算即得； （4）由具体示例推得，再分为正为负两种情况证明即得. 【详解】（1）由求导得： ， 故函数的导数为（或） （2）①由，取对数得： . 等式两边同时对x求导，得， 故； ②令，，，则且. 对取对数得：.等式两边同时对x求导，得， 所以. 同理可得：， 所以. （3） （4）示例 ： 令，则函数.对函数求导得：. 令，则函数.对函数求导得：. 因此复合对数函数导数的特殊性质为. 对于函数，下证上述结论成立： 易得 故当时， 当时， 故得，因此原题得证. 1/3 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $