5.2.1 基本初等函数的导数(7大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 题型一 导数公式的辨析 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 2．(多选)（24-25高二下·江西南昌·期中）下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】CD 【解析】对于A，由，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：CD 3.（多选）（24-25高二下·江西赣州·月考）下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为；；． 故A正确，BCD错误. 故选：BCD 题型二 利用导数公式求导数 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）函数在处的导数是（    ） A．160 B．80 C．32 D．16 【答案】B 【解析】由，得，当时，. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式知，所以. 故选：B 3．（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 【答案】B 【解析】由，得，故， 故选：B 4.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·河北·期末）已知函数（α为常数），若，则α的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，， 则，解得. 故选：C. 6．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 【答案】 【解析】由得，， . 7．（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 题型三 利用导数公式求极限值 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 则． 故选：B 2．（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导，可得， 则. 故选：D. 3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）设函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【解析】， 又，则， ，则. 故选：A. 题型四 利用导数公式求切线斜率或倾斜角 1．（24-25高二下·山西长治·期中）曲线在点处的切线斜率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】由，求导得， 所以所求切线的斜率为. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线在处的切线斜率为 ． 【答案】2 【解析】由，得，所以， 所以抛物线在处的切线斜率为. 3．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 【答案】 【解析】由可得， 故当时，， 故在点处的切线的斜率为. 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，则曲线在点处切线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为，倾斜角为 题型五 利用导数公式求切线方程 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为.故选：D 2.(2025黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=在点A(-1,-1)处的切线方程是(　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y-2=0 【答案】C 【解析】由y=得y'=-x-2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C. 3. （25-26高二上·江苏苏州·月考）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 【答案】C　 【解析】∵直线x+4y-8=0的斜率为-,∴直线l的斜率为4,又y'=4x3,∴4x3=4,得x=1, 又当x=1时,y=x4=1,∴直线l的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0. 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【解析】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 5．（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 . 【答案】或 【解析】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 题型六 利用导数公式求参数的值 1．（25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ． 【答案】 【解析】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线， 得，则，所以. 2．（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【答案】/0.25 【解析】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 题型七 利用导数研究公切线问题 1．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】2 【解析】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，， . 2．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 【答案】 【解析】函数和函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而切点在直线上． 设切点坐标为，切点也在两条曲线上，并且两个函数在切点处的导函数值都是1，且和， 则列出方程， 由①得，则， 于是，代入②得，解得，从而． 1．（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 【答案】D 【解析】由函数与函数的图象关于直线对称，得， 求导得，所以. 故选：D 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，则，所以 可得. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，. 又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知， ，， 所以. 故选：A． 4．（24-25高二下·山东烟台·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，，，， 由，则. 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记，则， 由， 可得， 即，因， 故. 故选：B. 6．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于得，所以的斜率为，所以的解析式为. 因为直线与曲线的图象交于点，所以有. 因为，所以，即，即 故选：B. 8．（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则 【答案】 【解析】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则. 9．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）由已知得，即， 所以. 故. （2）①当时，. 不妨设切点. 所以.故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. ②由①可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 1．（2025高二·全国·专题练习）设曲线在点处的切线为，若直线与轴、轴的交点分别为，，坐标原点为，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以切线， 即，从而，， 所以的周长（）． 因为，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 故周长的最小值为. 2．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知点P在圆上运动，若过点P可以作曲线的切线，则点P的轨迹长度是 . 【答案】 【解析】，则， 故在处的切线方程为， 故在处的切线方程为， 故在处的切线方程为， 当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，此时两切线与圆的交点左边从A到B，右边从D到E， 同理，当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，两切线与圆的交点左边从F到A， 右边从C到D，故点的轨迹为劣弧和劣弧，其中， 故，故其轨迹对应的圆心角为， 由弧长公式得. 故答案为：.    3.(2025广东东莞高二上期末)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,计算a1+a2+a3+…+a2 019. 【答案】1+lg 202. 【解析】因为y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1, 切线方程为y-1=(n+1)(x-1). 令y=0,得x=,即xn=, 所以an=lg=lg(n+1)-lg n, 所以a1+a2+a3+…+a2 019 =lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 题型一 导数公式的辨析 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（24-25高二下·江西南昌·期中）下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3.（多选）（24-25高二下·江西赣州·月考）下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用导数公式求导数 1．（25-26高三上·青海西宁·期中）函数在处的导数是（    ） A．160 B．80 C．32 D．16 2．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 4.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二下·河北·期末）已知函数（α为常数），若，则α的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 7．（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型三 利用导数公式求极限值 1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）设函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 题型四 利用导数公式求切线斜率或倾斜角 1．（24-25高二下·山西长治·期中）曲线在点处的切线斜率为（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线在处的切线斜率为 ． 3．（2025·江苏宿迁·三模）曲线在点处的切线的斜率是 . 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，则曲线在点处切线的倾斜角为 . 题型五 利用导数公式求切线方程 1．（24-25高二下·四川自贡·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.(2025黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=在点A(-1,-1)处的切线方程是(　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y-2=0 3. （25-26高二上·江苏苏州·月考）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 5．（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 . 题型六 利用导数公式求参数的值 1．（25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ． 2．（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 题型七 利用导数研究公切线问题 1．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 2．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 1．（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．1 C．ln3 D． 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）已知函数，若趋近于0时，则趋近于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数，是的导函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东烟台·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则 9．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 1．（2025高二·全国·专题练习）设曲线在点处的切线为，若直线与轴、轴的交点分别为，，坐标原点为，则周长的最小值为 ． 2．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知点P在圆上运动，若过点P可以作曲线的切线，则点P的轨迹长度是 . 3.(2025广东东莞高二上期末)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,计算a1+a2+a3+…+a2 019. 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $