第十章 概率（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

第十章 概率 教学目标 1. 基础概念掌握：理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义，能准确区分生活中的各类事件；掌握概率的本质内涵，明晰频率与概率的联系与区别（频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值）。 2. 核心公式与模型应用：熟练掌握古典概型（有限等可能）、几何概型（无限等可能）的判定条件与计算公式，能运用列举法（直接列举、树状图、列表法）不重不漏地列举基本事件 ； 3. 计算与表征能力：能根据事件特征选择恰当的计数方法（枚举法）计算基本事件数，准确代入公式求解概率；能通过统计图表（频率分布直方图、茎叶图）提取数据，用频率估计概率 。 教学重难点 重点 1. 概率概念的深度理解：核心是让学生摆脱“概率是主观猜测”的误区，建立“概率是对随机事件发生可能性的客观刻画”的认知，明确概率的取值范围（0≤P(A)≤1）。 2. 基本模型的精准判定：能根据试验结果的“有限性/无限性”“等可能性”快速区分古典概型与几何概型；高中阶段需准确判定独立事件、互斥事件、对立事件的关系 。 3. 规范的解题流程构建：掌握“判断事件类型→选择计数方法→计算基本事件数→代入公式求解→验证结果合理性”的标准化步骤，确保解题逻辑连贯、结果准确 。 4. 列举法与计数工具的熟练运用：初中阶段重点掌握树状图、列表法解决两步及三步试验问题 。 难点 1. 抽象概念的具象化理解：难以把握“等可能性”的隐含条件（如不均匀硬币不满足古典概型），易混淆“频率”与“概率”（如认为“抛10次硬币5次正面”则概率为0.5） 。 2. 复杂事件的拆解与转化：面对“至少有一个发生”“至多有一个发生”等复杂事件，难以转化为对立事件或互斥事件的组合，导致计算繁琐或错误 。 3. 易混概念的辨析：初中阶段易混淆“有序”与“无序”对计数的影响 。 4. 概率结果的实际意义解释：能计算概率但无法用通俗语言解释结果（如“降水概率80%”的含义），难以将概率结论应用于实际决策。 知识点01 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 【答案】ABD 【详解】对于A当样本空间是区间时，质点落在处的概率为0，但不意味着这个事件是不可能发生的，因为随机变量取值是连续的，所以几乎任何地方都有极小的可能发生，故A错误；对于B，C，如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以B错误，C正确；对于D，如果一事件发生的概率为99.999%，不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件，所以D错误． 2．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 知识点02 互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 【即学即练】 1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥，但是，所以不是对立事件，故A错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥，但是，所以不是对立事件，故B错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥，又因为，所以是对立事件，故C错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥，又因为，所以也是对立事件，故D正确． 2．给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ． 【答案】1 【分析】根据题意结合互斥与对立事件的定义，分析每个命题的真假判断即可. 【详解】对于（1）（2），因为抛掷两次硬币，除事件A，B外， 还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件， 所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件； 对于（3），若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生， 所以事件A和事件B不是互斥事件． 故命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，命题（3）是假命题． 故答案为：1 知识点03 概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 【即学即练】 1．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C. 【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 2．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 【答案】(1) (2) (3)不正确 【分析】（1）根据命中率计算方法即可得到答案； （2）根据命中率反推出投篮次数即可； （3）根据概率的含义即可判断. 【详解】（1）根据题意，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次， 则这名运动员的投篮命中率； （2）若这名运动员要想投篮命中10000次，则有； （3）虽然这名运动员的投篮命中率，但由概率的定义，“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”说法不正确. 知识点04 古典概型 （1）定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 【即学即练】 1．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得. 【详解】（1）由题意有：，解得，                  设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 2．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为，腾龙洞景区2人分别为，则在其中任取2人的基本事件总数， 分别为：． 则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：； 故抽取的这两人来自不同景区的概率为． 故答案为： 知识点05 概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 方法技巧与总结： 1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： (1)本试验是否具有等可能性； (2)本试验的基本事件有多少个； (3)事件是什么． 2、解题实现步骤： (1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； (2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； (3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； (4)利用公式求出事件的概率． 3、解题方法技巧： (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 (2)利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 【即学即练】 1．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解. 【详解】依题意，，， 显然事件A，B互斥，， 事件B，C互斥，则， 于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确. 故选：ABC. 2．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率： (1)只喜欢打羽毛球； (2)至少喜欢以上一种运动； (3)只喜欢以上一种运动； (4)以上两种运动都不喜欢. 【答案】(1)0.15 (2)0.95 (3)0.65 (4)0.05 【分析】（1）首先表示出A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”，然后根据题意求得      ，从而即可求解. （2）根据和事件的计算公式即可求解. （3）根据上一问求得，再利用事件的关系即可求解. （4）利用对立事件的公式即可求解. 【详解】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”       只喜欢打羽毛球： （2）至少喜欢以上一种运动： ＝ （3）只喜欢以上一种运动： ＝ （4）以上两种运动都不喜欢： ＝ 知识点06 事件的相互独立性 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【即学即练】 1．已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得. 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 2．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 题型01 随机事件的关系与运算 【典例1】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率． (2)至少射中7环的概率． 【答案】(1)0.52 (2)0.87 【分析】（1）利用互斥事件的概率求解； （2）利用对立事件的概率求解. 【详解】（1）设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E， 可知它们彼此之间互斥，且， 所以， 所以所以射中10环或9环的概率为0.52. （2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件， 则， 所以至少射中7环的概率为0.87. 【典例2】一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． 【答案】AB 【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断. 【详解】表示的事件：至少有1件次品，即事件C，所以A正确，C不正确； 表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以B正确； 表示的事件：至多有1件次品，即事件D，所以D不正确. 故选：AB. ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． 【变式1】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 【变式2】一枚均匀骰子，将这枚骰子向上抛掷1次，设事件表示“向上的一面掷出奇数点”，事件表示“向上的一面掷出的点数不超过3”，事件表示“向上的一面掷出的点数不小于4”，则（    ） A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件 C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件 【答案】D 【分析】先写出样本空间及每个事件，利用互斥事件与对立事件的概念进行判断即可. 【详解】由题意样本空间， 事件 由，故与是既不对立也不互斥， 故A,B错误； 由，所以与是对立事件； 故选：D. 【变式3】若A，B为互斥事件，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件的定义及性质即可判定选项. 【详解】A，B为对立事件时，故选项A错误； 互斥事件的概率之和不可能超过1，故选项B错误； 事件A，B互斥而不对立时，，故选项C错误； A，B为互斥事件时，故选项D正确. 故选:ABC. 题型02 频率与概率 【典例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【答案】(1). (2)0.7 【分析】（1）根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围； （2）利用对立事件的概率公式计算可得． 【详解】（1）当时，， 当时， 则. （2）由，解得，即当日需求量为枝或枝时利润小于元， 设当天利润不少于元为事件，则. 【典例2】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 【答案】(1) (2)0.81 【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值； （2）计算出抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率. 【详解】（1），解得， 故，， （2）抽取的200人的成绩中，数学测验及格的频率为， 故估计这名学生该次数学测验及格的概率. 概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 【变式1】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人． 【答案】 【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人， 故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有. 故答案为：. 【变式2】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？ 【答案】答案见解析 【分析】根据频率与概率的关系，即可说明. 【详解】当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大， 因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距， 所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断. 【变式3】在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】 【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案. 【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近， 估计袋中红球个数是. 故答案为：. 题型03 互斥事件与对立事件 【典例1】袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（    ） A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球” C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【答案】C 【解析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断. 【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件; 对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件; 对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件 对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件. 综上可知,C为正确选项 故选:C 【典例2】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是 A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球” C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球” 【答案】B 【解析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确； C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生. 【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球， 各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况， “至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件； “至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件； “都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件； “至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件. 故选：B ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 【变式1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）． 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 【变式2】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件的关系及运算求解． 【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误. 故选ABC. 【变式3】2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 【答案】A 【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 题型04 简单的古典概型问题 【典例1】同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4)， 【分析】（1）利用列举法可得样本空间； （2）根据样本空间即可得样本点个数； （3）根据样本空间可得答案； （4）根据样本空间可得答案. 【详解】（1）这个试验的样本空间为 （2）由（1）可知，这个试验的样本点的个数为； （3）“”包含的样本点为，，，， “且”包含的样本点为，，，，，； （4）由（1）可知，． 【典例2】下列关于古典概率模型的说法中正确的是（    ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则． A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解． 【详解】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确； 在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误； 在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确； 在④中，样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确． 故选：D． 解题实现步骤： (1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； (2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； (3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； (4)利用公式求出事件的概率． 【变式1】某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】由频率分布直方图直接求出a． 第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，设从5人中随机抽取3人，利用列举法求出第2组中抽到2人的概率. 【详解】（1）由，得 （2）第1，2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人， 则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为. 设从5人中随机抽取3人，为， 共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含， 共6个基本事件，从而第2组抽到2人的概率 【变式2】某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】(1)， (2)平均数为69.5，分位数为69.4； (3) 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，； （2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可； （3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得； （2）由（1）知， 平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内， 且，即分位数为69.4； （3）第四､五两组志愿者分别有20人，人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 【变式3】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1)32.25岁；37.5 (2)（ⅰ），（ⅱ）10 【分析】（1）应用频率分布直方图求平均数再求百分位数即可； （2）先应用古典概型计算概率，再应用分层抽样求平均数和方差公式计算方差. 【详解】（1）设这人的平均年龄为，则（岁） 设第80百分位数为，分数低于35分占， 分数低于40分占，故， 所以，解得． （2）（ⅰ）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙， 对应的样本空间为： ， 共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则， 共有9个样本点， 所以，． （ⅱ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则， ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35至45岁的所有人的年龄方差约为10． 题型05 有放回与无放回问题的概率 【典例1】一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A．任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C．每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 【答案】ACD 【解析】先记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品，用列举法，结合古典概型的概率计算公式，逐项判断即可. 【详解】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品. A选项,样本空间, “恰有一件次品”的样本点为,,, 因此其概率，A正确； B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间, 因此,B错误； C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确; D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确. 故选：ACD. 【典例2】一个袋中装有大小相同的个球，现将这个球分别编号为、、、、，从袋中取出两个球，每次只取出一个，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为 . 【答案】 【解析】先后从口袋中任取一个球，两球上的编号记作，列举出所有的基本事件，列举出事件“取出的两个球上编号之积为奇数”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】先后从口袋中任取一个球，两球上的编号记作， 则所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件， 设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件，则事件所包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 因此，. 有放回 1. 先算单次抽取目标事件的概率（目标个数÷总个数） 2. 因为放回，每次概率相同，分步相乘（几步就乘几次） 3. 若有多种情况能达成目标，把每种情况的概率相加 无放回 1. 算第一次抽取的概率：目标个数÷总个数 2. 算第二次抽取的概率：剩余目标数÷剩余总数（总数和目标数各减1，依此类推） 3. 分步相乘得总概率；多种情况达标则概率相加 【变式1】一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）5. 【解析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可； （2）结合（1）求解即可； （3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可. 【详解】解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即. 设事件A=“两次取出的都是红球”，则. 设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则. 设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则. 设事件D=“两次取出的都是绿球”，则. 事件A，B，C，D两两互斥. ∴P（第二次取到红球）=. （2）P（两次取到的球颜色相同）； （3）,. 又,解得. 【变式2】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”； （2）B=“第二次摸到红球”； （3）AB=“两次都摸到红球”. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】首先写出整个样本空间中的所有可能的结果，然后再分别列举出事件所含的结果，再由概率公式计算概率． 【详解】解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） × （1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即，所以 （2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即，所以 （3）事件AB包含2个可能结果，即，所以 【变式3】吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物， 基本事件总数为：种 事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：种 糖、烟、糖、糖： 种 糖、糖、烟、糖：种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为 故选：D 题型06 概率的基本性质 【典例1】在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求: (1)“取出的球为红球或黑球”的概率; (2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可. （2）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可. 【详解】（1）由题意可知，. 易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件， 故“取出的球为红球或黑球”的概率为. （2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥， 故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为. 【典例2】下列四个命题中，假命题有（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件满足，则是对立事件 【答案】BCD 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D, 【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确； 对B，当且仅当A与B互斥时才有， 对于任意两个事件，满足，B不正确； 对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”， 则，所以C不正确； 对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球， 从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球）， 满足， 但事件A与B不互斥，也不对立，D错误， 故选：BCD. （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 【变式1】围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.3 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式计算作答. 【详解】2枚都是黑子的事件记为，2枚都是白子的事件记为，显然与互斥，， 从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的事件，其对立事件是, 所以从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率. 故选：B 【变式2】若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④． 【详解】事件为两个互斥事件，，，故①正确； 事件为两个互斥事件，则，，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：A． 【变式3】某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（    ） A．100 B．300 C．400 D．600 【答案】B 【详解】命题意图  本题考查用样本频率估计总体的概率． 解析  由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1． 题型07 事件独立性的判断 【典例1】一次射击比赛中，若某选手连续2次未击中目标，则该选手中止射击．已知甲每次击中目标的概率是，且甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，则甲恰好射击5次后被中止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知甲恰好射击5次后被中止的情况是前2次至少击中目标1次，第3次击中目标，第4，5次均没有击中目标，根据独立事件和概率公式求解即可. 【详解】甲每次击中目标的概率是，则甲没有击中目标的概率是． 甲恰好射击5次后被中止的情况是前2次至少击中目标1次， 第3次击中目标，第4，5次均没有击中目标， 所以甲恰好射击5次后被中止的概率为． 故选：A 【典例2】某工厂有A，B两条生产线，需要维护的概率分别为0.2，0.25，且A，B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的，则恰有一条生产线需要维护的概率为（   ） A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.05 【答案】A 【分析】应用对立事件、互斥事件概率求法及独立乘法公式求恰有一条生产线需要维护的概率. 【详解】设事件“恰有一条生产线需要维护”，则． 故选：A 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【变式1】在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”， 由题意有． 设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则， 所以 ； （2）设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件 . 【变式2】如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 【答案】/ 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件.则，分别计算出，根据对立事件即可得即可解出. 【详解】解：设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件. ， ，即该电子元件能正常工作的概率是. 故答案为：. 【变式3】若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 【分析】计算出，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以， 所以事件与事件相互独立、事件与事件不互斥，故不对立. 故选：C. 题型08 相互独立事件概率的计算 【典例1】某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 . 【答案】 【分析】由该同学在三个不同的位置至少投中一次的概率与全不中的概率和为1，结合概率的乘法公式求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 【典例2】甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是 . 【答案】0.504 【分析】列出甲最终获胜的所有比赛情形，根据相互独立事件的概率计算公式，分别算出每种情形甲获胜的概率，相加得到最终结果. 【详解】甲最终获胜的所有比赛情形有3种， 甲胜前两局：； 第一局甲胜乙，第二局丙胜甲，第三局乙胜丙，第四局甲胜乙：； 第一局乙胜甲，第二局丙胜乙，第三局甲胜丙，第四局甲胜乙：， 故甲最终获胜的概率为. 故答案为：0.504. （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投. (1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率； (2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (3)求乙获胜的概率； 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）结合对立事件的概率公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）结合互斥事件的概率加法公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可； （3）结合互斥事件的概率加法公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）设分别表示乙、甲在第次投篮投中. 则，，， 所求的概率为. （2）所求的概率为 . （3）所求的概率为 . 【变式2】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】试验的样本空间 ， 事件， ，， 对于A，事件与没有公共的基本事件，与互斥，A正确； 对于B，显然是中元素，也满足事件，即与可以同时发生，B错误； 对于C，，，，，与独立，C正确； 对于D，，，，与独立，D正确. 故选：ACD 【变式3】投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A. 1．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 2．在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】BC 【分析】根据随机事件概念依次判断即可. 【详解】样本空间中共有11个样本点，故A错误； 事件中有5个样本点，包括样本点6，故BC正确； 样本点中没有11，故D错误． 故选：BC. 3．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【分析】根据题意结合频率公式计算可得. 【详解】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 4．乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可. 【详解】乙最后的胜利包含三种情况： 一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为； 二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为； 三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为 乙获胜的概率为． 故答案为： 5．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 6．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 7．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率公式，分别求得，，，结合，比较大小，即可得到答案. 【详解】由题意知：，，，可得， 则， ， ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 8．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率计算出对应概率，再由独立事件乘法公式计算即可. 【详解】设事件为从中抽取的三个元素之和不大于8，设事件为从中抽取的三个元素之和大于8， 根据题意,从集合中任取3个不同的元素，则有4种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和不大于8有3种可能，所以， 从集合中任取三个不同的元素，则事件有10种可能， 分别为: ， 其中三个元素之和大于8有6种可能，所以， 所以， 即则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为. 故选：B 9．已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 【答案】A 【分析】应用互斥事件概率及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】由题意可得所求事件的概率为． 故选：A． 10．从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： (1)编号为1，2的小球同时被取到的概率； (2)所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）先求出样本空间，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）从编号为的5个小球中任意取出3个， 样本空间为 记事件为“编号为的小球同时被取到”， 则，故. （2）记事件为“所取到的三个小球编号之和为偶数”， 则，故. 11．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可； （2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可； （3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. （2）由（1）可知，， 所以， 若，，则. （3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 12．（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 【答案】BD 【分析】根据随机事件的含义求解即可. 【详解】由题意，得表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为， 因此前次检测到的都是正品，第次检测到的是次品， 故选:BD. 13．在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1～9这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则（且，）.则根据本福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 .（，保留至整数） 【答案】 【分析】根据概率的性质列方程得，再应用对数运算性质求概率比. 【详解】由概率和为1，知，可得， 故所求概率之比为. 故答案为： 14．从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）列举出对应事件，利用事件的包含关系判断即可. （2）列举出对应事件，利用互斥事件的定义判断即可. （3）列举出对应事件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】（1）给两个红球编号为，给两个白球编号为， 从口袋中任取两个球，用表示取出的两个球， 则试验的样本空间为， 设“至少有1个白球”，则． 设“都是白球”，，所以， （2）设“至少有一个红球”，则．， 因为，所以A和C不互斥． （3）设“都是红球”，则． 因为，，所以A和D为对立事件． 15．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则 ，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则 . 【答案】 / / 【分析】利用互斥事件的概率公式即可得解. 【详解】由派出医生不超过2人的概率为，得，， 由派出医生最多4人的概率为，得，， 由派出医生最少3人的概率为，得，. 故答案为：；. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 教学目标 1. 基础概念掌握：理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义，能准确区分生活中的各类事件；掌握概率的本质内涵，明晰频率与概率的联系与区别（频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值）。 2. 核心公式与模型应用：熟练掌握古典概型（有限等可能）、几何概型（无限等可能）的判定条件与计算公式，能运用列举法（直接列举、树状图、列表法）不重不漏地列举基本事件 ； 3. 计算与表征能力：能根据事件特征选择恰当的计数方法（枚举法）计算基本事件数，准确代入公式求解概率；能通过统计图表（频率分布直方图、茎叶图）提取数据，用频率估计概率 。 教学重难点 重点 1. 概率概念的深度理解：核心是让学生摆脱“概率是主观猜测”的误区，建立“概率是对随机事件发生可能性的客观刻画”的认知，明确概率的取值范围（0≤P(A)≤1）。 2. 基本模型的精准判定：能根据试验结果的“有限性/无限性”“等可能性”快速区分古典概型与几何概型；高中阶段需准确判定独立事件、互斥事件、对立事件的关系 。 3. 规范的解题流程构建：掌握“判断事件类型→选择计数方法→计算基本事件数→代入公式求解→验证结果合理性”的标准化步骤，确保解题逻辑连贯、结果准确 。 4. 列举法与计数工具的熟练运用：初中阶段重点掌握树状图、列表法解决两步及三步试验问题 。 难点 1. 抽象概念的具象化理解：难以把握“等可能性”的隐含条件（如不均匀硬币不满足古典概型），易混淆“频率”与“概率”（如认为“抛10次硬币5次正面”则概率为0.5） 。 2. 复杂事件的拆解与转化：面对“至少有一个发生”“至多有一个发生”等复杂事件，难以转化为对立事件或互斥事件的组合，导致计算繁琐或错误 。 3. 易混概念的辨析：初中阶段易混淆“有序”与“无序”对计数的影响 。 4. 概率结果的实际意义解释：能计算概率但无法用通俗语言解释结果（如“降水概率80%”的含义），难以将概率结论应用于实际决策。 知识点01 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为________，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：________和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含________． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 【即学即练】 1．下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 2．下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 知识点02 互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件________，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是________的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 【即学即练】 1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法错误的是（   ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 2．给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是 ． 知识点03 概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用________来估计概率． 【即学即练】 1．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 2．根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次． (1)求这名运动员的投篮命中率； (2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100） (3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确． 知识点04 古典概型 （1）定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称________. （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 【即学即练】 1．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 2．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ． 知识点05 概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且________________． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 方法技巧与总结： 1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： (1)本试验是否具有等可能性； (2)本试验的基本事件有多少个； (3)事件是什么． 2、解题实现步骤： (1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； (2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； (3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； (4)利用公式求出事件的概率． 3、解题方法技巧： (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 (2)利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 【即学即练】 1．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率： (1)只喜欢打羽毛球； (2)至少喜欢以上一种运动； (3)只喜欢以上一种运动； (4)以上两种运动都不喜欢. 知识点06 事件的相互独立性 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件________，简称为独立． 相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【即学即练】 1．已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 2．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 题型01 随机事件的关系与运算 【典例1】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率． (2)至少射中7环的概率． 【典例2】一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品，以下结论正确的是（  ） A． B．是必然事件 C． D． ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等． ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）． ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）． 【变式1】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一枚均匀骰子，将这枚骰子向上抛掷1次，设事件表示“向上的一面掷出奇数点”，事件表示“向上的一面掷出的点数不超过3”，事件表示“向上的一面掷出的点数不小于4”，则（    ） A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件 C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件 【变式3】若A，B为互斥事件，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 频率与概率 【典例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【典例2】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩， 从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题： 成绩分组 频数 频率 平均分 3 0.015 16 a b 32.1 25 0.125 55 c 0.5 74 62 0.31 88 (1)求 a，b，c 的值； (2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60分以上为及格）. 概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 【变式1】“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人． 【变式2】一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？ 【变式3】在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 题型03 互斥事件与对立事件 【典例1】袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（    ） A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球” C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【典例2】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是 A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球” C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球” ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 【变式1】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【变式2】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（    ）. A． B． C． D． 【变式3】2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 题型04 简单的古典概型问题 【典例1】同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到的数为，转盘（2）得到的数为，结果为． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点个数； (3)“”这一事件包含哪几个样本点？“且”呢？ (4)用集合表示事件：；用集合表示事件：． 【典例2】下列关于古典概率模型的说法中正确的是（    ） ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则． A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④ 解题实现步骤： (1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； (2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件； (3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数； (4)利用公式求出事件的概率． 【变式1】某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值； (2)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率． 【变式2】某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【变式3】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (2)现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 题型05 有放回与无放回问题的概率 【典例1】一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A．任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C．每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 【典例2】一个袋中装有大小相同的个球，现将这个球分别编号为、、、、，从袋中取出两个球，每次只取出一个，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为 . 有放回 1. 先算单次抽取目标事件的概率（目标个数÷总个数） 2. 因为放回，每次概率相同，分步相乘（几步就乘几次） 3. 若有多种情况能达成目标，把每种情况的概率相加 无放回 1. 算第一次抽取的概率：目标个数÷总个数 2. 算第二次抽取的概率：剩余目标数÷剩余总数（总数和目标数各减1，依此类推） 3. 分步相乘得总概率；多种情况达标则概率相加 【变式1】一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？ 【变式2】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： （1）A=“第一次摸到红球”； （2）B=“第二次摸到红球”； （3）AB=“两次都摸到红球”. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） × 【变式3】吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型06 概率的基本性质 【典例1】在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求: (1)“取出的球为红球或黑球”的概率; (2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率. 【典例2】下列四个命题中，假命题有（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件满足，则是对立事件 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 【变式1】围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.1 D．0.3 【变式2】若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（    ） ① ② ③ ④ A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式3】某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（    ） A．100 B．300 C．400 D．600 题型07 事件独立性的判断 【典例1】一次射击比赛中，若某选手连续2次未击中目标，则该选手中止射击．已知甲每次击中目标的概率是，且甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，则甲恰好射击5次后被中止的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】某工厂有A，B两条生产线，需要维护的概率分别为0.2，0.25，且A，B两条生产线是否需要进行维护是相互独立的，则恰有一条生产线需要维护的概率为（   ） A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.05 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【变式1】在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三人是否通过测试互不影响， 求: (1)只有 2 人通过体能测试的概率； (2)至少有 1 人通过体能测试的概率. 【变式2】如图，某电子元件由三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，三种部件不能正常工作的概率分别为，各个部件是否正常工作相互独立，同时正常工作或正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是 . 【变式3】若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 题型08 相互独立事件概率的计算 【典例1】某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 . 【典例2】甲、乙、丙三人一同下棋（无平局），甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为0.6，0.5，0.4.第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛……依次类推.若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是 . （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投. (1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率； (2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (3)求乙获胜的概率； 【变式2】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是3”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与独立 【变式3】投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 1．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 2．在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（    ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有5个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 3．从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（    ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 4．乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为 ． 5．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 6．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 7．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，集合，从中分别任取三个元素，两次抽取的结果互不影响，则从中抽取的三个元素之和不大于8且从中抽取的三个元素之和大于8的概率为（    ） A． B． C． D． 9．已知某同学参加了当地相关部门举办的数学奥林匹克竞赛的预赛，该预赛共有3道解答题，3道全部答对即可获得满分，已知该同学答对这3道解答题的概率依次为0.8，，则该同学按题号顺序连续正确解答出2道解答题但没获得满分的概率为（    ） A．0.408 B．0.384 C．0.246 D．0.532 10．从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： (1)编号为1，2的小球同时被取到的概率； (2)所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 11．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 12．（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 13．在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1～9这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则（且，）.则根据本福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 .（，保留至整数） 14．从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 15．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表： 医生人数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 若派出医生不超过2人的概率为0.56，则 ，若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则 . 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $