10.3 频率与概率 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.3 频率与概率 目录 题型01 频率与概率的关系 3 题型02 概率思想的应用 4 题型03 随机模拟 6 建体系 新知廊 知识点1： 频率的稳定性 1．在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． 2．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 3．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 知识点2： 随机模拟 1．用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 2．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 求甚解 1．频率与概率的关系． (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2．概率思想的实际应用． 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3．用随机模拟估计概率． (1)在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． (2)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． (3)研究等可能事件概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 练题型 题型01 频率与概率的关系 典型例题 典例 01 （2025秋•宝山区校级月考）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（　　） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．当试验次数很大时，出现正面的经验概率一定为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系可解． 【解答】解：对于A，大量的试验中，出现正面的频率越接近于0.5，故A错误； 对于B，概率是频率的稳定值，不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，当试验次数很大时，出现正面的经验概率越来越接近于0.5，故C错误； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比前一次的频率更接近于0.5，故D错误． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025秋•绥化期中）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（　　） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【变式练2】（多选）（2025秋•雨城区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【变式练3】（多选）（2025春•南岗区校级期末）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 题型02 概率思想的应用 典型例题 典例 02 （2025春•河西区期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】根据题意，设袋子中有黑球x个，由古典概型公式可得有0.4，解可得答案． 【解答】解：根据题意，设袋子中有黑球x个，则有0.4， 解得x＝8． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•鄂尔多斯期中）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] 频数 4 6 x 10 y 4 已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【变式练2】（2025春•红塔区校级期末）从存放号码分别为1，2，3，⋯，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为　　　　． 【变式练3】（2025春•砀山县期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别（cm） x≤160 160＜x≤170 170＜x≤180 x＞180 人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是　　　　． 题型03 随机模拟 典型例题 典例 03 （2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，在20组随机数中， 能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组， 则其3次射击至少2次击中目标的概率P0.5； 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•富平县期末）缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【变式练2】（2025秋•南海区校级月考）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481 730 113 537 989 据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式练3】（2025春•台江区校级期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 频率与概率 目录 题型01 频率与概率的关系 3 题型02 概率思想的应用 5 题型03 随机模拟 7 建体系 新知廊 知识点1： 频率的稳定性 1．在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． 2．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 3．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 知识点2： 随机模拟 1．用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 2．我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法． 求甚解 1．频率与概率的关系． (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2．概率思想的实际应用． 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3．用随机模拟估计概率． (1)在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． (2)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． (3)研究等可能事件概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 练题型 题型01 频率与概率的关系 典型例题 典例 01 （2025秋•宝山区校级月考）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（　　） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5 B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．当试验次数很大时，出现正面的经验概率一定为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系可解． 【解答】解：对于A，大量的试验中，出现正面的频率越接近于0.5，故A错误； 对于B，概率是频率的稳定值，不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，当试验次数很大时，出现正面的经验概率越来越接近于0.5，故C错误； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比前一次的频率更接近于0.5，故D错误． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025秋•绥化期中）抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（　　） A．0.5，0.5 B．0.51，0.51 C．0.49，0.49 D．0.5，0.49 【答案】D 【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案． 【解答】解：根据题意可知，“正面朝上”的频率为， 每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5． 故选：D． 【变式练2】（多选）（2025秋•雨城区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8 B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7 C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心5次 D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次 【答案】ACD 【分析】利用频率与频数之间的关系，对选项逐一分析即可． 【解答】解：某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是，故A正确； 某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是，故B错误； 某人射击10次，击中靶心的频率是，则他应击中靶心次，故C正确； 某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心10×（1﹣0.6）＝4次，故D正确． 故选：ACD． 【变式练3】（多选）（2025春•南岗区校级期末）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误． 【解答】解：从中任取100件，可能有10件，也可能少于10件或多于10件，A错误； 10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确“的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确． 多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误． 故选：ACD． 题型02 概率思想的应用 典型例题 典例 02 （2025春•河西区期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】根据题意，设袋子中有黑球x个，由古典概型公式可得有0.4，解可得答案． 【解答】解：根据题意，设袋子中有黑球x个，则有0.4， 解得x＝8． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025秋•鄂尔多斯期中）工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] 频数 4 6 x 10 y 4 已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【分析】本题根据频数与频率的概念计算，即可求解． 【解答】解：已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35， 则，解得x＝8，所以y＝40﹣4﹣6﹣8﹣10﹣4＝8， 所以样本数据在（50，60]范围内的频率为． 故选：D． 【变式练2】（2025春•红塔区校级期末）从存放号码分别为1，2，3，⋯，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为　　　　． 【答案】0.56． 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答． 【解答】解：由表中数据可知，取到奇数号码的次数是：15+5+6+18+12＝56， 又因为有放回地共取乐100次， 所以取到号码为奇数的频率为． 故答案为：0.56． 【变式练3】（2025春•砀山县期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别（cm） x≤160 160＜x≤170 170＜x≤180 x＞180 人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是　　　　． 【答案】0.44． 【分析】由频率估计概率，即可求得结果． 【解答】解：由表中数据知： 该地区抽取的100名九年级男生中， 身高高于170cm的频率为， 故抽取的九年级男生身高高于170cm的概率是0.44． 故答案为：0.44． 题型03 随机模拟 典型例题 典例 03 （2025春•滨州期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，在20组随机数中， 能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组， 则其3次射击至少2次击中目标的概率P0.5； 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•富平县期末）缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】先求出模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的随机数，即可求解． 【解答】解：模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的为446，072，021，392，325，405，631，700，305，311， 故三天中至少有两天下雨的概率约为． 故选：B． 【变式练2】（2025秋•南海区校级月考）气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481 730 113 537 989 据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】C 【分析】先求出20组随机数中恰有1天下雨的随机数，再结合频率与频数的关系，即可求解． 【解答】解：20组随机数中恰有1天下雨的随机数为：925，815，683，257，027，481，730，537，共8个， 故未来三天恰有一天降雨的概率为． 故选：C． 【变式练3】（2025春•台江区校级期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为　　　　． 【答案】0.75 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率． 【解答】解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为1﹣0.25＝0.75． 故答案为：0.75． 学科网（北京）股份有限公司 $