数学（上海卷02）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣▣。■■。●■▣。。。。=。■一。▣=▣=▣▣▣■■=■▣▣。■■。。■1 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[A][B][C][D] 3.[A][B][CJ[D] 5.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10 11 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E B 22.(10分) D D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 公 B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) y H 伸缩臂 消防车 O 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) A B B 图1 图2 备用图 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2． （热点） 2026年4月，国家航天局在嫦娥五号月球样品中发现了两种月球新矿物“镁嫦娥石”和“铈嫦娥石”，这是继2022年嫦娥石之后，中国科学家发现的第二和第三种月球新矿物。已知一个“镁嫦娥石”晶体的微观尺寸约为0.000000028米，将该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3．下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 4．（新情境） 2026年5月，首届上海国际花卉节在沪举办，短短23天内共吸引超过2445万人次打卡。据统计，开幕式当天参观人数为万人，此后每天参观人数较前一天增加相同的百分比。已知第三天参观人数为开幕式当天的1.44倍，则该百分比为（　　） A. B. C. D. 5．（热点）2026年2月，上海市政府明确提出将低空经济作为万亿级产业新赛道。某区进行的一次无人机运力大数据采样分析显示，在300次飞行任务中，平均单架次配送时长数据如下表所示。小杨从中随机抽取了一次任务，则该次任务配送时长“不超过10分钟”的概率约为（　　） 配送时长（分钟） 小于5 5—10 10—15 15—20 频数（次） 42 108 90 60 A. B. C. D. 6．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2、 填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7.分解因式：________． 8．不等式组解集是_____． 9．如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 10．函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 11．方程的解是______． 12．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 13．在数字2，3，9，11，87中随机抽出一个，抽中素数的概率为____． 14.某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水彩画（分别记为、、、）这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两张不完整的统计图．已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有__________人． 15.（新情境）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 16.将二次函数 的图像绕原点旋转 后，新函数的解析式为 _______。 17．（新定义）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 18．如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（热点）2026年4月，中国科学技术大学成功研制出新型“九章四号”光量子计算原型机，在处理特定问题时的运算速度比目前全球最快超级计算机快亿亿倍。量子计算中常用到一些数学运算。 请计算： 20. 解方程： 21.如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 22.（新情境）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性．    拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板可绕底座铰链转动，支撑杆的上端位于脚踏板的点处．通过移动支撑杆下端点的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力的大小可用公式表示为，其中（单位：千克）为体重，牛/千克．是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足．    如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角度数分别为．已知．（1）小海的体重是50千克，如果拉伸力在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为时，支撑杆恰好与底座垂直，求此时支撑杆下端点与铰链点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从调到，即支撑杆的位置变化到时，支撑杆的端点在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到）： 23.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    24.（生活情境）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 25．已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的值； (2)如图2，当时，求的长； (3)如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷【上海卷】 姓 名： 数学·答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、 选择题（每小题4分，共24分) 1[A][B[G[D 3[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][CI[D] 6[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 07. 08. 09 10. 11 12 11 14 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E B 22.(10分) D D A M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) (1) E B D 23.(2) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) H 伸缩臂V 消防车 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 图1 图2 备用图 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷【上海卷】 数学·答题卡准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 07.__________ 08.___________ 09.___________ 10.__________ 11.___________ 12.___________ 11.__________ 14.___________ 15.___________ 16.__________ 17.___________ 18.___________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19.（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （12分） （1） 23．（2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学 : (考试时间：100分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 : 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第I卷 : 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 : .: 的，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 尽 1.下列运算正确的是() A.x+3v=3xy B.(x+3)}2=x2+9C.(x3y=xy D.X2÷x3=x4 2. (热点)2026年4月，国家航天局在嫦娥五号月球样品中发现了两种月球新矿物“镁嫦娥石”和“铈 嫦娥石”，这是继2022年嫦娥石之后，中国科学家发现的第二和第三种月球新矿物。已知一个“镁嫦娥石” O 晶体的微观尺寸约为0.000000028米，将该数据用科学记数法表示为() A.2.8×10-8 B.2.8×10-9 C.2.8×108 D.2.8×109 3.下列说法中，正确的是() : : A表示x,人，3号的积的代数式为3号y : B. ,3的意义是a减去3的差除以b的商 b : C.1不是代数式 D.a、b两数平方的和的4倍用代数式表示为4(a+b) : 4.(新情境)2026年5月，首届上海国际花卉节在沪举办，短短23天内共吸引超过2445万人次打卡。 据统计，开幕式当天参观人数为a万人，此后每天参观人数较前一天增加相同的百分比。己知第三天参观人 : 数为开幕式当天的1.44倍，则该百分比为() 北 A.10% B.12% C.20% D.22% : 5.(热点)2026年2月，上海市政府明确提出将低空经济作为万亿级产业新赛道。某区进行的一次无人机 运力大数据采样分析显示，在300次飞行任务中，平均单架次配送时长数据如下表所示。小杨从中随机抽 取了一次任务，则该次任务配送时长“不超过10分钟”的概率约为( ○ 试题第1页（共6页） : 可学科网·学易金卷德概费：就限彩是籍襟 配送时长（分钟） 小于5 5-10 10-15 15-20 频数（次） 42 108 90 60 A.0.14 B.0.36 C.0.50 D.0.86 6.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3√5，半径为1的⊙0经过点A,且在边AB、AC上 截得的弦长相等，点P在边BC上，如果以PB为半径的OP与⊙O相交，那么PB的长可能是() A B C A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7分解因式： -142 3 xy-3 1 xy2= 2x+1、x 8.不等式组 32解集是 4x<3x+2 9.如果关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10.函数y= 3张-1的图像在每个象限内y的值随x的增大而增大，那么k的取值范围是 . 11.方程√2x-3=3-x的解是 12.我们知道抛物线乙：y=x2+2x+4与L2:y=x2+4x+2通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物 线平移后重合，平移的距离至少是 13.在数字2,3,9,11,87中随机抽出一个，抽中素数的概率为· 14某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水 彩画（分别记为A、B、C、D)这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两 张不完整的统计图.己知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有 人. 人数 100 80 80 40% 60 B 60 40 40 A C 20 0 A B C D课程 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做将卷：限美是鲁恭 15.(新情境)如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB,腹部看成线段BC,则蜻蜓的腹部长BC与全身长AB 之比等于头部、胸部总长AC与腹部长BC之比（即BC=4C,这个比值就是黄金比）.若蜻蜓的全身长4B AB BC 是8cm,则蜻蜓的腹部长BC是cm.(结果保留根号) B 16.将二次函数y=x2-4x+3的图像绕原点旋转180°后，新函数的解析式为 17.(新定义)定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内 有一个正方形，边长为3，中心为O,在正方形外有一点P,OP=4,当正方形绕着点O旋转时，则点P到 正方形的最短距离d的取值范围为· 18.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点O在边AB上，如果OO与△ABC的一边所在的直线相切， 且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是 A B 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(热点)2026年4月，中国科学技术大学成功研制出新型“九章四号”光量子计算原型机，在处理特 定问题时的运算速度比目前全球最快超级计算机快亿亿倍。量子计算中常用到一些数学运算。 请计算：V9+V2+1-()2+2sin45° 20.解方程： 21 5 x-3-x+2=2-x-6 试题第3页（共6页） 21.如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，己知BD=2CD,且四边形AEDF是平行四边 : 形.设BA=d,BC=b. : B (1)用向量a、分别表示下列向量： BD= AC= ；EF= 张 : (2)连接BE交DF于点G,在图中求作BG分别在ā、b方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表 示结论的分向量) 样 游 22.(新情境)阅读下列材料，回答问题. 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用.从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范 围，提升身体的灵活性和协调性。 拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）.脚 踏板AB可绕底座铰链B转动，支撑杆CD的上端位于脚踏板的点D处.通过 移动支撑杆CD下端点C的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸 强度.当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸 世 力F,这个力的大小决定了拉伸的强度.拉伸力F的大小可用公式表示为 O D F=g·sina,其中m(单位：千克)为体重，g≈10牛/千克.a是脚踏板与 水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸 或拉伸不足 席 如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角“度数分别为 A D 20°、25°、30°.已知BD=30cm. (1)小海的体重是50千克，如果拉伸力F在180牛至220牛可以达到 锻炼的目的.结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的 B O 目的. 试题第4页（共6页) : : (2)当档位夹角为30°时，支撑杆CD恰好与底座BM垂直，求此时支撑 杆下端点C与铰链B点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ (3)当档位夹角从30°调到20°，即支撑杆的位置变化到DC1时，支撑 杆CD的端点D在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到0.01）： 20° 250 sina 0.34 0.42 cosa 0.94 0.91 23.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，联结AD,以AD为一边作△ADE,满足AD=AE,∠DAE =∠BAC,联结EC, (1)求证：CA平分∠DCE; (2)如果AB2=BDBC,求证：四边形ABDE是平行四边形. 舒 O 24.(生活情境)综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y 轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4 : 米的点G处，喷出的水流形状是抛物线y=a(x-6)2+29的一部分. : : K ········ H 伸缩臂， G 4 消防车 个 16 : 试题第5页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限是 (1)求a的值 (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延， 已知伸缩臂与水平方向的夹角为a,且tana=2,伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样， 则伸缩臂应伸长多少米？ (提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移) 25.已知：△ABC中，已知AB=AC=6,BC=4,点P在射线AB上，△APC的外接圆的圆心为O,连接OP. 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，当点P在线段AB上，且OP∥BC时，求cos∠AOP的值； (2)如图2，当PO⊥AC时，求BP的长： (3)如果点O在△ABC的某一条边所在的直线上，求BP的长. 试题第6页（共6页） 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、运用完全平方公式进行运算、积的乘方运算 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，，A错误； 选项B：由完全平方公式可得，，B错误； 选项C：由积的乘方法则可得，，C错误； 选项D：由同底数幂的除法法则可得，D正确． 2． （热点） 2026年4月，国家航天局在嫦娥五号月球样品中发现了两种月球新矿物“镁嫦娥石”和“铈嫦娥石”，这是继2022年嫦娥石之后，中国科学家发现的第二和第三种月球新矿物。已知一个“镁嫦娥石”晶体的微观尺寸约为0.000000028米，将该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】 A 【分析】 本题主要考查科学记数法表示小于1的正数，确定的值是解题关键。 【详解】 解：， 将小数点向右移动9位得到2.8，故原数记为。 故选 A。 3．下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【答案】B 【知识点】代数式书写方法、代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的定义，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的相关知识． 根据代数式的定义，以及代数式的书写，然后进行判断即可． 【详解】解：A，应写为假分数，代数式书写不规范，该选项不符合题意； B，表示除以的商，描述正确，该选项符合题意； C，1是单独的数，属于代数式，该选项不符合题意； D，“平方的和”指，其4倍应为，而非，该选项不符合题意． 故选B． 4．（新情境） 2026年5月，首届上海国际花卉节在沪举办，短短23天内共吸引超过2445万人次打卡。据统计，开幕式当天参观人数为万人，此后每天参观人数较前一天增加相同的百分比。已知第三天参观人数为开幕式当天的1.44倍，则该百分比为（　　） A. B. C. D. 【答案】 C 【分析】 本题以首届上海国际花卉节为背景，考查一元二次方程在增长率问题中的应用，建立模型求解增长率。 【详解】 解：设平均增长率为，则第三天参观人数为。 由题意， 所以，， 取正解得。 故选 C。 5．（热点）2026年2月，上海市政府明确提出将低空经济作为万亿级产业新赛道。某区进行的一次无人机运力大数据采样分析显示，在300次飞行任务中，平均单架次配送时长数据如下表所示。小杨从中随机抽取了一次任务，则该次任务配送时长“不超过10分钟”的概率约为（　　） 配送时长（分钟） 小于5 5—10 10—15 15—20 频数（次） 42 108 90 60 A. B. C. D. 【答案】 C 【分析】 本题以上海市低空经济产业热点为背景，考查频率估计概率、数据读取和简单频率计算。 【详解】 解：由频数分布表可知，配送时长不超过10分钟（即“小于5分钟”和“5-10分钟”）的频数为次。 根据频率估计概率，。 故选 C。 6．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、圆和圆的位置关系、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 第Ⅱ卷 2、 填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7.分解因式：________． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式． 8．不等式组解集是_____． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式，不等式两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得； 解不等式，移项得， 合并同类项得， 不等式组的解集为． 9．如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 10．函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】对于反比例函数（，为常数），当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大．据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 11．方程的解是______． 【答案】 【知识点】无理方程、列一元一次不等式组 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围，再将方程两边平方转化为一元二次方程求解，最后检验舍去增根得到原方程的解． 【详解】解：首先根据二次根式有意义的条件得：， 解得：， 将原方程两边平方得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， ，不满足的取值范围， 是增根，舍去， 将代入原方程，左边=，右边，左边右边， 是原方程的解． 12．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 13．在数字2，3，9，11，87中随机抽出一个，抽中素数的概率为____． 【答案】 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据素数的定义找出抽中素数的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，给出的数字共有个，即所有等可能的结果总数为， 根据素数的定义：大于的自然数中，只有和它本身两个正因数的数是素数， 可得，，，，中，素数为，，，共个， 即抽中素数的结果数为， 根据概率公式，抽中素数的概率为． 14.某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水彩画（分别记为、、、）这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两张不完整的统计图．已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有__________人． 【答案】300 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】根据条形统计图可知B课程的人数，结合扇形统计图可知B课程的百分比，利用频数除以频率求出样本总容量，再计算C课程在样本中的频率，最后利用样本估计总体的思想计算全校选择“合唱”课程的学生人数． 【详解】解：调查人数有：人， 选择“合唱”课程的学生大概有人． 15.（新情境）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于的一元二次方程，利用求根公式解方程后排除负根即为答案． 【详解】解：∵，，且， ∴将代入比例式，得：， 整理得：， ∴根据求根公式，可得：， ∵线段长度为正数，舍去负根， ∴． 16.将二次函数 的图像绕原点旋转 后，新函数的解析式为 _______。 也可写成顶点式 ） 【分析】绕原点旋转 是一种中心对称变换。 对于平面上的任意一点 ，绕原点旋转 后的对应点为 。 因此，若原图像上的点 满足函数关系 ，则旋转后的图像上对应点 满足 ，即 。 代入原解析式，得到新图像上点的坐标所满足的关系式，即为旋转后的函数解析式。 【详解】写出原函数应用旋转 的坐标变换 设原图像上一点为 ，旋转后对应点为 ，则有： 代入原方程 将 ， 代入 ： 整理为新函数形式两边同时乘以 ： 换回常用字母 将 改写为 ，得到旋转后图像的解析式： 化为顶点式 顶点坐标为 ，开口向下。 【检验要点】 原函数顶点为 ，绕原点旋转 后顶点变为 ，新解析式的顶点正是 ，符合对称性。 旋转 相当于关于原点中心对称，函数由开口向上变为开口向下，且对称轴由 变为 ，与推导结果一致。 17．（新定义）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 18．如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 【答案】或 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、三线合一、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况讨论，当与相切于点时，则，设，则 根据列出比例式，求得的值；当与相切于点时，则，过点作于点，证明，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当与相切于点时，则 ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵， ∴，即 ∴ 当与相切于点时，则，过点作于点， ∵ ∴ ∴ 设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长是或 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（热点）2026年4月，中国科学技术大学成功研制出新型“九章四号”光量子计算原型机，在处理特定问题时的运算速度比目前全球最快超级计算机快亿亿倍。量子计算中常用到一些数学运算。 请计算： 【答案】 （或写成 ） 【分析】 本题以量子计算科技热点为背景，考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、负整数指数幂、特殊角三角函数值，需注意运算顺序和符号。 【详解】 解：原式 注：，因为 ，绝对值为其相反数。 最终结果：。 20. 解方程： 【答案】 【详解】 解：，最简公分母 。 两边乘得： 经检验， 使分母为零（），是增根，故原方程无解。 21.如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2)见详解 【分析】本题考查线性向量的计算和平行四边形的性质，正确掌握向量的基本运算是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和向量的和差关系即可求解； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）解：如图所示,，即为在方向上的分向量． 22.（新情境）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性．    拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板可绕底座铰链转动，支撑杆的上端位于脚踏板的点处．通过移动支撑杆下端点的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力的大小可用公式表示为，其中（单位：千克）为体重，牛/千克．是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足．    如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角度数分别为．已知．（1）小海的体重是50千克，如果拉伸力在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为时，支撑杆恰好与底座垂直，求此时支撑杆下端点与铰链点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从调到，即支撑杆的位置变化到时，支撑杆的端点在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到）： 【答案】（1）小海选择档位能达到锻炼的目的；（2）此时支撑杆下端点与铰链点的距离为；（3）支撑杆的端点在竖直方向下降约为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可得，则，即可得出答案； （2）由题意可知，，根据含角的直角三角形的性质可得答案； （3）过点作于点，根据解直角三角形求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， ∴， ∴小海选择档位能达到锻炼的目的； （2）由题意可知， ，， ∴， ∴， ∴此时支撑杆下端点与铰链点的距离为； （3）过点作于点，如图： ∴， ∴， ∴支撑杆的端点在竖直方向下降约为． 23.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据角平分线的定义证明结论； （2）根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分别证明AE∥BD，AB∥DE，根据平行四边形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴CA平分∠DCE； （2）证明：∵AB2＝BD•BC， ∴＝， 又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠ACB， ∴AE∥BD， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AB∥DE， ∵AE∥BD，AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24.（生活情境）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形； （1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可； （2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入中得， ， 解得：； （2）解：不能，理由如下： ∵ ∴抛物线解析式为： ∵该楼距离地面21米处出现一个起火点， ∴代入抛物线中， 得：， 整理： 解得：， ∴， ∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米． 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：， 根据题意得： 当时， ，即， 解得：， 当时， ，伸缩臂长为米， ∵，符合题意． 当时， ，伸缩臂长为米， ∵>10， 不符合题意，舍去． 故伸缩臂应伸长米． 25．已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的值； (2)如图2，当时，求的长； (3)如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 【答案】(1) (2) (3)为或或. 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，过点作于点，证明，可得，设，则，进一步利用勾股定理与三角函数求解即可； （2）如图，记与的交点为，过点作于点，结合（1）可得：，证明，进一步可得答案. （3）分情况讨论：如图，当在边上时，过作于，如图，当在边上时，如图，当在直线上时，过作于，过作于，再分别画图进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ，， ， ，， ， ， ∴， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ， ； （2）解：如图，记与的交点为，过点作于点， 结合（1）可得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，当在边上时，过作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在边上时， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线上时，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 综上：为或或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 第I卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 5 6 D B C C B 第Ⅱ卷 二、二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7.x 8.-2<x<2 9.k<1 10.<有 11.x=2 12.√26 13. 5 14.300 15.(45-416y=-x2-4x-3也 可写成顶点式y=-(x+2)+1 174sds月 18. 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分)【详解】 解：原式=3+(2-1)-9+2×写 (3分) =3+V2-1-9+V2 (5分) =3-1-9)+2+v2 (8分) =-7+2V2 (10分) 注：-2+1=2-1因为.巨+1<0绝对值为其相反数。最终结果：257 20.(10分) 【解析】解：x2-x-6=(x-3(x+2, (1分) 最简公分母(x-3x+2)。 (2分) 两边乘得： 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2x+2-(&-3)=5 (5分) 2x+4-x+3=5 x+7=5 8=-2 (8分) 经检验，x=2使分母为零(x+2=0),是增根，故原方程无解。 (10分) 21.(10分) 【解析】1)解：：BD=2CD,A='B元=6' :Bi=6,A元=A成+B元=-a+6 (3分) :四边形AEDF是平行四边形， :丽=函+A函=+庙=（冠-）+()=-6 (5分) (2)解：如图所示成，示即为元在三，方向上的分向量 (10分) 22.(10分) 【解析】解：(1)由题意可得：180≤50x10sina≤220， (2分) ∴.0.36≤sin≤0.44， ∴.小海选择25°档位能达到锻炼的目的 (4分) (2)由题意可知，∠CBD=30°，CD⊥BC, .CD=-BD=15cm, (5分) .BC=3CD =3x15=153cm, .此时支撑杆下端点C与铰链B点的距离为15√3cm: (7分) (3)过点D作D,G⊥BC,于点G,如图： 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A D A B CG CM .D,G=BD·sin20°=30×0.34=10.2cm, .15-10.2=4.8cm, (9分) ∴.支撑杆CD的端点D在竖直方向下降约为4.8cm. (10分) 23.(12分) 【解析】1)证明：∵AB=AC, ∴.∠B=∠ACB, ,∠DAE=∠BAC, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, (2分) 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .∴.△ABD≌△ACE(SAS), (4分) ∴.∠B=∠ACE, ∴.∠ACB=∠ACE, ∴.CA平分∠DCE: (6分) (2)证明：，AB2=BDBC, 怨=BD BC AB 又∠B=∠B, .△ABD∽△CBA, ∴.∠BAD=∠ACB, (8分) .△ABD≌△ACE, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.∠CAE=∠ACB, ..AE∥BD, ,AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC, 3/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠ACB=∠ADE, (10分) ∴.∠BAD=∠ADE, .AB∥DE, ,∵AE∥BD,AB∥DE, .四边形ABDE是平行四边形.(12分) 24.(12分) 【解析】(1)解：根据题意得喷水口(16,4)在抛物线上， 代入y=ax-6+29中得， 4=a(16-6)2+29 解得：a=-: (4分) (2)解：不能，理由如下： “a=- “抛物线解析式为：y=x-6+29 (6分) ,该楼距离地面21米处出现一个起火点， y=21代入抛物线中， 得：21=x-62+29 整理：x-62=32 解得：x=6士42， (7分) 六16-(6-4V2)=10+4y2'16-(6+4V2)=10-4W2 一消防车需要再向前行进10十4W巨米或10-45米才能灭掉该起火点：(8分) (3)解：，伸缩臂与水平方向的夹角为c,且tan=2, 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移t米，再向上平移2t米. 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：y=x-6+t)+29+2无' (10分) 根据题意得： 4/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x=0时，y=36,即36=0-6+t)+29+2t' 解得：t1=4,t2=16, 当t=4时，2t=8,伸缩臂长为42+82=4V5米， “45<10,符合题意. 当t=16时，2t=32,伸缩臂长为162+322=165米， “165>10,不符合题意，舍去. 故伸缩臂应伸长45米. (12分) 25.(14分) 【解析】(1)解：如图，过点B作BD⊥AC于点D, AB=AC=6, ∠ABC=∠ACB,∠BAC=180°-2LABC, :0A=0P, ∠0AP=∠0PA,∠A0P=180°-2∠0PA, OP∥BC, :∠ABC=∠OPA, .ZABC ZACB ZOPA=ZOAP, :∠BAC=∠AOP, 设AD=x,则CD=6-x, 在RtABD中，BD2=AB2-AD2, 在RtABCD中，BD2=BC2-CD2, .AB2-AD2 BC2-CD2, 62-x2=42-(6-x)2, 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：x= ,即AD=14 14 , cos∠BAC=AD_7 AB 9' cos∠AOP=: (4分) (2)解：如图，记PO与AC的交点为K,过点B作BD⊥AC于点D, 结合(1)可得：AD= 3 B ,P0⊥AC,AC=6, .AK=CK=3,LAKP=∠CKP=90°，BD∥P0, ∴.△APK∽△ABD, AP AK AB AD AP--4B0K-6x327 AD147, BP=6-27=15 7=7 (7分) (3)解：如图，当0在边AC上时，过0作0G⊥AB于G, ..AG=PG, B .AC=AB=6, ∴.0A=0C=3, :cos∠BAC=AD_7 AB 9' 4G-4G、7 A039’ 6/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 ·AP=2AG= 3, BP=6-144 33 (9分) 如图，当O在边AB上时， P ,AP为⊙O的直径， ∴.∠ACP=90°， ∴coS∠BAC= AC 7 AP9' AP=54 7， 7~612 BP=5 (11分) 如图，当O在直线BC上时，过A作AJ⊥BC于J,过O作OQ⊥AP于Q, ∴.AQ=PQ, .AB=AC=6,BC=4, ∴.BJ=CJ=2,∠ABC=∠ACB, ·sin∠BAU=B/=1 AB3' .∠ABJ=∠OBQ, .∠BOQ=∠BAJ, .sin∠BOg= BO 1 OB 3' ,0A=0C, 7/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .L0AC=∠0CA, .∠OAC=∠OCA=LABC, ∴.△CBA∽△CA0, CB CA CA CO 0-的-9 ∴.0B=9-4=5, ÷0 P0=A0=6+5=23 33 23,528 ∴.BP=PQ+BQ= (13分) 333 综上：即为安号 43 (14分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2． （热点） 2026年4月，国家航天局在嫦娥五号月球样品中发现了两种月球新矿物“镁嫦娥石”和“铈嫦娥石”，这是继2022年嫦娥石之后，中国科学家发现的第二和第三种月球新矿物。已知一个“镁嫦娥石”晶体的微观尺寸约为0.000000028米，将该数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3．下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 4．（新情境） 2026年5月，首届上海国际花卉节在沪举办，短短23天内共吸引超过2445万人次打卡。据统计，开幕式当天参观人数为万人，此后每天参观人数较前一天增加相同的百分比。已知第三天参观人数为开幕式当天的1.44倍，则该百分比为（　　） A. B. C. D. 5．（热点）2026年2月，上海市政府明确提出将低空经济作为万亿级产业新赛道。某区进行的一次无人机运力大数据采样分析显示，在300次飞行任务中，平均单架次配送时长数据如下表所示。小杨从中随机抽取了一次任务，则该次任务配送时长“不超过10分钟”的概率约为（　　） 配送时长（分钟） 小于5 5—10 10—15 15—20 频数（次） 42 108 90 60 A. B. C. D. 6．如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 2、 填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7.分解因式：________． 8．不等式组解集是_____． 9．如果关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 10．函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 11．方程的解是______． 12．我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 13．在数字2，3，9，11，87中随机抽出一个，抽中素数的概率为____． 14.某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水彩画（分别记为、、、）这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两张不完整的统计图．已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有__________人． 15.（新情境）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 16.将二次函数 的图像绕原点旋转 后，新函数的解析式为 _______。 17．（新定义）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 18．如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（热点）2026年4月，中国科学技术大学成功研制出新型“九章四号”光量子计算原型机，在处理特定问题时的运算速度比目前全球最快超级计算机快亿亿倍。量子计算中常用到一些数学运算。 请计算： 20. 解方程： 21.如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 22.（新情境）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性．    拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板可绕底座铰链转动，支撑杆的上端位于脚踏板的点处．通过移动支撑杆下端点的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力的大小可用公式表示为，其中（单位：千克）为体重，牛/千克．是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足．    如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角度数分别为．已知． （1）小海的体重是50千克，如果拉伸力在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为时，支撑杆恰好与底座垂直，求此时支撑杆下端点与铰链点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从调到，即支撑杆的位置变化到时，支撑杆的端点在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到）： 23.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结EC． （1）求证：CA平分∠DCE； （2）如果AB2＝BD•BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．    24.（生活情境）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 25．已知：中，已知，点在射线上，的外接圆的圆心为，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，求的值； (2)如图2，当时，求的长； (3)如果点在的某一条边所在的直线上，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列运算正确的是() A.x+3y=3xyB.(x+32=x2+9C.(x2y=xyD.2÷3=x4 2.(热点)2026年4月，国家航天局在嫦娥五号月球样品中发现了两种月球新矿物“镁嫦娥石”和“铈 嫦娥石”，这是继2022年嫦娥石之后，中国科学家发现的第二和第三种月球新矿物。已知一个“镁嫦娥石” 晶体的微观尺寸约为0.000000028米，将该数据用科学记数法表示为() A.2.8×10-8 B.2.8×10-9 C.2.8×108 D.2.8×10 3.下列说法中，正确的是() A.表示x,y,3的积的代数式为3y B.a-3的意义是a减去3的差除以b的商 b C.1不是代数式 D.a、b两数平方的和的4倍用代数式表示为4(a+b) 4.(新情境)2026年5月，首届上海国际花卉节在沪举办，短短23天内共吸引超过2445万人次打卡。 据统计，开幕式当天参观人数为万人，此后每天参观人数较前一天增加相同的百分比。已知第三天参观人 数为开幕式当天的1.44倍，则该百分比为() A.10% B.12% C.20% D.22% 5.(热点)2026年2月，上海市政府明确提出将低空经济作为万亿级产业新赛道。某区进行的一次无人机 运力大数据采样分析显示，在300次飞行任务中，平均单架次配送时长数据如下表所示。小杨从中随机抽 117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 取了一次任务，则该次任务配送时长“不超过10分钟”的概率约为( 配送时长（分钟) 小于5 5-10 10-15 15-20 频数（次） 42 108 90 60 A.0.14 B.0.36 C.0.50 D.0.86 6.如图，己知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3√2，半径为1的⊙O经过点A,且在边AB、AC上 截得的弦长相等，点P在边BC上，如果以PB为半径的OP与OO相交，那么PB的长可能是() A A.1 B.2 C.3 D.4 第I卷 二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7分解因式：x+2xy-y= 3 3 31 2x+1x 8.不等式组32解集是· 4x<3x+2 9.如果关于x的一元二次方程x2-2x+k=0（k为常数)有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10.函数y=3张，二的图像在每个象限内y的值随x的增大而增大，那么k的取值范围是 11.方程√2x-3=3-x的解是 12.我们知道抛物线L:y=x2+2x+4与L2:y=x2+4x+2通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线 平移后重合，平移的距离至少是 13.在数字2,3,9,11,87中随机抽出一个，抽中素数的概率为 14.某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水 彩画（分别记为A、B、C、D)这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两 张不完整的统计图.已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有 个人数 100 % 80 40% 60 B 60 40 40 20 D 0 A D课程 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15.(新情境)如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB,腹部看成线段BC,则蜻蜓的腹部长BC与全身长AB 之比等于头部、胸部总长AC与腹部长BC之比（即BC=4C 这个比值就是黄金比).若蜻蜓的全身长4AB AB BC 是&cm,则蜻蜓的腹部长BC是cm,(结果保留根号) C B 16将二次函数y=x2-4x+3的图像绕原点旋转180°后，新函数的解析式为 17.(新定义)定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有 一个正方形，边长为3，中心为O,在正方形外有一点P,OP=4,当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方 形的最短距离d的取值范围为一· P 18.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点O在边AB上，如果OO与△ABC的一边所在的直线相切， 且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是 B 0 三、解答题：（本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤) 19.(热点)2026年4月，中国科学技术大学成功研制出新型“九章四号”光量子计算原型机，在处理特定 问题时的运算速度比目前全球最快超级计算机快亿亿倍。量子计算中常用到一些数学运算。 请计算：9+-V2+1-()-2+2sin45 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.解方程： 21 5 x-3x+2x2-x-6 21.如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的点，已知BD=2CD,且四边形AEDF是平行四边 形.设BA=a,B元=b. B D (1)用向量d、分别表示下列向量： BD=」 _AC= EF= (2)连接BE交DF于点G,在图中求作BG分别在à、方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表 示结论的分向量) 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(新情境)阅读下列材料，回答问题. 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用.从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范 围，提升身体的灵活性和协调性 拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）.脚 踏板AB可绕底座铰链B转动，支撑杆CD的上端位于脚踏板的点D处.通过 移动支撑杆CD下端点C的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸 强度.当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉 伸力F,这个力的大小决定了拉伸的强度.拉伸力F的大小可用公式表示为 F=g·sina,其中m(单位：千克)为体重，g≈10牛/千克.a是脚踏板 与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度 拉伸或拉伸不足。 如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角“度数分别为 20°、25°30°.已知BD=30cm.(1)小海的体重是50千克，如果拉伸力F在 180牛至220牛可以达到锻炼的目的.结合计算说明，在这三档之中，小海选 择哪个档位能达到锻炼的目的. (2)当档位夹角为30°时，支撑杆CD恰好与底座BM垂直，求此时支 A D A 撑杆下端点C与铰链B点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ (3)当档位夹角从30°调到20°，即支撑杆的位置变化到DC1时，支撑 B 杆CD的端点D在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到0.01）： a 20° 250 sina 0.34 0.42 cosa 0.94 0.91 517 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，联结AD,以AD为一边作△ADE,满足AD=AE, ∠DAE=∠BAC,联结EC. (1)求证：CA平分∠DCE; (2)如果AB?=BDBC,求证：四边形ABDE是平行四边形. E D 24.(生活情境)综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练：以大楼起火侧面所在直线为y 轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4 米的点G处，喷出的水流形状是抛物线y=a(x-62+29的一部分. H、 伸缩臂 G 消防车 16 (1)求a的值 (②)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂GH的方法灭火，阻止火势进一步蔓延， 已知伸缩臂与水平方向的夹角为a,且tan=2,伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样， 则伸缩臂应伸长多少米？ (提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移) 617 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.已知：△ABC中，已知AB=AC=6,BC=4,点P在射线AB上，△APC的外接圆的圆心为O,连接OP. B 图1 图2 备用图 备用图 (I)如图1，当点P在线段AB上，且OP∥BC时，求cos∠AOP的值： (2)如图2，当PO⊥AC时，求BP的长； (3)如果点O在△ABC的某一条边所在的直线上，求BP的长， 717 11 2026年中考考前最后一卷【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $