7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章　复数 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 目 标 素 养 1.通过方程的解,认识复数,提升逻辑推理素养. 2.理解复数的代数表示,提升数学抽象素养. 3.理解两个复数相等的含义,提升数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.复数的有关概念 (1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做　虚数单位　.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做　 复数集　.  (2)复数通常用字母　z　表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.  2.复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di当且仅当 a=c且b=d .  微探究1 由3>2能否推出3+i>2+i?两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗? 提示：由3>2不能推出3+i>2+i.当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数不全是实数时,不能比较大小. 微探究2 若复数z=a+bi=0(a,b∈R),则实数a,b的值为多少? 提示:若复数z=a+bi=0,则实数a,b满足a=0,且b=0. 3.复数z=a+bi(a,b∈R)的分类 微探究3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系,请画图表示. 提示： 课堂·重难突破 一 复数的概念 典例剖析 1.(多选题)给出下列说法正确的是(　　) A.复数2+3i的虚部是3i B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数 D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数 答案:CD 解析:复数2+3i的虚部是3,A错误;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,B错误;当a∈R,a+3≠0时,(a+3)i是纯虚数,C正确;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,D正确.故选CD. 规律总结 利用复数的概念时的注意点 (1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可. 学以致用 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0 C.若x≠0,则复数z=x+yi(x,y∈R)一定不是纯虚数 D.若x2+y2=0,则x=y=0 答案:BC 解析:选项A错误,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数;选项B正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0;选项C正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数,则必有x=0,y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错误,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立.故选BC. 二 复数的分类 典例剖析 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 规律总结 解决与复数分类有关的问题的关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式. 设复数z=a+bi(a,b∈R),则:①z为实数⇔b=0,②z为虚数⇔b≠0,③z为纯虚数⇔a=0,b≠0,④z=0⇔a=0,且b=0. 学以致用 2.已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时, (1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数? 三 复数相等的充要条件 典例剖析 3.(1)已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数x,y的值. (2)已知关于x的方程x2+x+3m=(2x+1)i有实根,求实数m的值. 解:(1)∵2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i, 规律总结 求解复数相等问题的解题技巧 (1)将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,应用方程思想求解,同时这也是复数问题实数化思想的体现. 提醒:若两个复数能比较大小,则这两个复数必为实数. 3.已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值. 随堂训练 答案:B 2.设i是虚数单位,若x,y∈R且x-2i=(x+y)i,则(　　) A.x=0,y=2 B.x=0,y=-2 C.x=2,y=2 D.x=2,y=0 答案:B 3.(多选题)设z=a+bi(a,b∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若a=0,则z是纯虚数 B.若b=0,则z是实数 C.若ab=0,则z=0 D.z的平方可能为-1 答案:BD 解析:当a=0,且b≠0时,z是纯虚数,故A错误;当b=0时,z是实数,故B正确;当ab=0时,z不一定为0,故C错误;当a=0,b=1时,z=i, z2=-1,故D正确. 4.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=　　　　　.  答案:-2 5.设i为虚数单位,若关于x的方程x2-2x-xi=-1-mi(m∈R)有一实根为n,则m=　　　　　.  答案:1 解析:由关于x的方程x2-2x-xi=-1-mi(m∈R)有一实根为n,可得n2-2n-ni=-1-mi, $