数学（湘教版）-2024-2025学年高二下学期学业能力评鉴一（第一次月考）

2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高二数学（一)参考答案 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.D2.C3.C4.A5.A6.C7.C8.D 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0 分) 9.CD 10.ACD 11.ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.(0,2)([0,2][0,2),(0,2]均正确) 13.0 14.-1 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1CD1中， AB=a,AD=B,AA=c, AC=AB+BC+CC=AB+AD+A4=a+b+c; (6分) (2)AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°， AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+B+c. AG=(a+B+c) =a+b2+c+2a-b+2a.c+2b.c =25+9+16+0+2×5×4×cos60°+2×3×4×c0s60°=82. (13分) 16.(15分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第1页（共4页） :(1)由已知，得f(x)=x2-(2a+1)x+a2+a, g田-f(因-x+4+a2a-1,x≠0，“g时(d(x20)为奇西数， x ·x≠0,8(-x)+8(x)=0,即-2a-1=0,a=-1 (7分) (2)f"(x)=x2-(2a+1)x+d+a=(x-a)[x-(a+1], 当x变化时∫'(x),f(x)的变化情况如表： (-n,a) ? (a,a+1) a+1 (a+1,+∞) f'(x) 0 0 + f(x) 刀 极大值 极小值 .a+1=2,.a=1. (15分) 17.(15分) 解：（①）函数f)=-10r+3f'0血x,求导得)=2x-10+3f'0 则f")=-8+3f"),解得f)=4,于是f(x)=x2-10x+12nx,f0)=-9, 所以所求切线方程为：y+9=4(x-1),即y=4x-13; (7分) (2)由(1)知，函数f(x)=x2-10x+12nx,定义域为(0，+∞)， 求导得f()=2x-10+12-26x-20x-3) 当0<x<2或x>3时，f"()>0,当2<x<3时，f(x)<0, 因此函数f(x)在(0,2)，(3，+∞)上单调递增，在(2,3)上单调递减， 当x=2时，f(x)取得极大值f(2)=-16+12n2, 当x=3时，f(x)取得极小值f(3)=-21+12n3, 所以函数f(x)的递增区间为(0,2)，(3，+0)，递减区间为(2,3)， 极大值为-16+12n2,极小值为-21+12ln3. (15分) 18.(17分) 獬：(1)当a=0时，f(x)=e-x,f'(x)=e-l, (湖南教育)高二数学（一）参考答案第2页（共4页） 当x<0时，f"(x)<0；当x>0时，f"(x)>0. 所以函数f(x)在-e,0]上单调递减，在[0，e]上单调递增， 所以函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=e°-0=1， 知fg=e-xf©)三e-e>fe)=e+e=。+e,则最大值fe=e (8分) (2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立，即：e≥(a+1)x恒成立， 当x∈(0，+o)时，a≤c-1恒成立 令gtw=1,则g'(--e 当9'(x)>0时，x>1,g'(x)<0时，0<x<1, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增 所以x=1时，g(x)取最小值e-1,所以a∈(-o,e-1]. 当x∈(-n,0]时，若a≥-1时，e≥(a+1)x恒成立； 若a<1,取心=十不0，则e<1显然不满足题意，所以a≥-】， 综上，a∈[-1，e-1]. (17分) 19.(17分) 解：(1)因为f(x)=(x+ae,x∈R,所以f'(x)=(x+a+1)e, 令f"(x)=0,得x=-a-1 当x变化时，f(x)和f'(x)的变化情况如表： (-n,-a-1) -a-1 (a-1,+co) f'(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 故f(x)的单调递减区间为(n,-a-),单调递增区间为（←a-l,+); (8分) (2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点. (湖南教育)高二数学（一）参考答案第3页（共4页） 理由如下： 由g(x)=f(x-a)-x2=0,得方程xe“=x2, 显然x=0为此方程的一个实数解， 所以x=0是函数g(x)的一个零点. 当x≠0时，方程可化简为e-a=x. 设函数F(x)=ex-a-x,则F'(x)=ea-1,令F'(x)=0,得x=a. 当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如表： (-n,a) Q (a,+n) F(x) 0 十 F(x) 单调递减 极小值 单调递增 即F(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(-o,a). 所以F()的最小值F(x)m=F(a)=1-a 因为a<1, 所以F(x)mim=F(a=1-a>0, 所以对于任意x∈R,F(x)>0, 因此方程ea=x无实数解。 所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点， 综上，函数g(x)有且仅有一个零点. (17分) (湖南教育)高二数学（一）参考答案第4页（共4页）2024一2025学年度第二学期周期学业能力评鉴 高二数学（一) 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第[卷（选择题共58分) 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.函数f)=3x-在x=1处的瞬时变化率为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxz,则 2◆ 点B1关于坐标平面Dxz对称的点是 A.(2,2,2) B B.(-2,2,2) C.(2,-2,2) D.(-2,2,-2) 3.函数f(x)的导函数'(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.∫(x)在x=x处取得最大值 B.∫()在区间(，x2)上单调递减 C.f(x)在x=x,处取得极大值 D.(x)在区间(a,b)上有2个极大值点 4.已知画数(e)的导西数是了()，若()=了)-cox,则/任的值为 A.- B.0 c. D.V2 2 5.函数f()=2x-nx在点1,2)处的切线倾斜角为 A.45° B.609 C.120° D.135° (湖南教有)高二数学（一）第1页（共4页） 6.已知正方体ABCD-A'B'CD的中心为O,则在下列各结论中正确的共有 ①OA+OD与OB+OC是一对相反向量； ②OB-OC与OA-OD是一对相反向量； ③OA+OB+OC+OD与OA+OB+OC+OD是一对相反向量； ④OA-OA与OC-OC是一对相反向量， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若函数f(x)=x3-3.x2+x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 A.[3,+∞ B.(-m,3) C.(-0,0)U(0,3)D.（-0,0) 8.一个顶点为P,底面中心为O的圆锥体积为1，若正四棱锥O-ABCD内接于该圆锥， 平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O-ABCD 的体积的最大值是 8 A. B. c.8 8 21元 D. 27元 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选的得0分) 9.判断下列命题正确的是 A.函数的极小值一定比极大值小 B.对于可导函数f(x),若'(x。)=0,则x,为函数的一个极值点 C.函数∫(x)在(a,b)内单调，则函数∫(x)在(ab)内一定没有极值 D.三次函数在R上可能不存在极值 10.下列说法中不正确的是 A.若a.b<0,则a与b的夹角为钝角 B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 C.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D.“a="的充要条件是日=同且a/B 11.已知定义在R上的函数f(x)(f(x)≠0)，导函数为f'(x),且满足f"(x)+f'(-x)=0, f(1+x)+f(1-x)=0,则下列说法正确的是 A.f(x+4)=f(x) B.'(-1)=f'(3) C.y=f(1-x)-f'(心)一定为偶函数 D.v=I(x) f(x) 一定为奇函数 第I卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） (湖南教有)高二数学（一）第2页（共4页） 12.已知函数∫(x)=x2(x-3),则f(x)在R上的单调递减区间是 13.已知a、万、6三个空间向量，若m=a-b+c与i=xa+yb+c共线，则x+y的值 为 1n(x+1),x>0, 14.已知曲线f(x)= -n(x+),-1<x<0,过曲线上两点A,B分别作曲线的切线交于点 ,1,1 P,AP⊥BP.记A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则 X X2 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=3,AA1=4,∠DAB =90°，∠BA41=∠DAA1=60°，设AB=a,AD=D,A4=C. (1)用a,b,c表示AC1; (2)求AC1的长. 16.(15分)设aeR,西数f)号-a+r+(云+a 1)若函数(y=(四K≠0)为奇西数，求实数a的值； (2)若函数f(x)在x=2处取得极小值，求实数α的值 17.(15分)已知函数f(x)=x2-10x+3f"I)nx. (1)求函数f(x)在点(L,∫)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间和极值. (湖南教育)高二数学（一）第3页（共4页）》 18.(17分)已知函数f(x)=e-(a+l)x,其中e为自然对数的底数 (1)当a=0时，试求函数在[-e,e]上的最值； (2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围！ 19.(17分)已知函数f(x)=(x+a)e,其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a<1时，试确定函数g(x)=f(x-)-x2的零点个数，并说明理由. (湖南教育)高二数学（一）第4页（共4页）