学易金卷：高二数学下学期第三次月考01（全国通用，人教A版选二导数+选三全部计数原理、随机变量及其分布列、统计）

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学选必二导数与选必三内容，以科技（密码破解）、社会热点（新能源汽车、村BA）、文化（三人成虎）为情境，通过分层设计考查逻辑推理、数据分析与数学建模，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|二项式定理、导数切线、概率期望|第7题密码破解结合排列组合与概率，体现数学应用| |填空题|3题/15分|正态分布、导数切线、算24点|第14题算24点联系生活，培养应用意识| |解答题|5题/77分|独立性检验、导数应用、概率分布列|第19题营养餐选择融合概率与数列，考查数学建模与逻辑推理|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选必二导数+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出第四项即可. 【详解】二项式的展开式中，第四项为， 所以所求系数为. 故选：A 2．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 3．某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据题意可知， 得到，，故B正确. 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 【答案】A 【分析】先求出新增数据后的样本中心点，从而得到修正后的回归直线，得到的估计值为即可求出残差. 【详解】因，则，则， 则新增数据后，，， 因新的回归直线过点，且修正后的回归直线的斜率为2.1， 则，则修正后的回归直线为：， 则的估计值为，则数据的残差为. 故选：A 5．现有6本不同的书，分给甲､乙每人各2本，分给丙､丁每人各1本，分配方法数有（    ）种 A．2160 B．1080 C．360 D．180 【答案】D 【详解】先给甲选2本书：从6本中选2本，方法数为 ， 再给乙从剩余4本中选2本，方法数为 ， 最后剩余2本分给丙、丁各1本，方法数为 ， 根据分步乘法计数原理，总分配方法数为. 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，函数在区间上单调递增，等价于在区间上恒成立，然后构造新函数，求导判断单调性，求出最小值，即可得出结果. 【详解】对函数求导得， 函数在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，求导得， 所以在区间上单调递增， 所以，所以要使得在区间上恒成立， 则，所以的最大值为. 7．科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得成功破解该密码的概率. 【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种， 排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共 种； 补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共 种； 排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共 种； 根据容斥原理，符合条件的密码数为. 所以能成功破解该密码的概率为. 故选：B. 8．定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集 【详解】为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求， 当时，设，， 所以为偶函数，， 时，，， 故在上单调递增， 当时，， 又，故，所以，故， 为偶函数，故在上单调递减， 时，， 又，所以，故， 所以不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则， 令，则，所以，故D不正确. 10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？ 假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设事件表示“真有老虎在集市上”，则 ，， 设事件表示“第 人说看见一只老虎在集市上”，， ，． 选项A：，A正确； 选项B：由全概率公式：，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，， ， ，D错误． 11．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得点为曲线的对称中心 D．存在，使得过点可作曲线的切线有三条 【答案】BC 【分析】先求导分析三次函数的单调性与极值，判断A，B选项，再根据中心对称定义验证C选项，最后设切点并代入点的坐标，转化为方程解的个数问题判断D选项，完成所有选项的正误判断． 【详解】对于A，，， 令，得或， 若，则， 令，得或，令，得， 当时，取极大值， 当时，取极小值， 因为在时趋向，在时趋向，且两个极值点的函数值都小于， 所以只有一个零点，A错误； 对于B，根据已有分析可知若，令，得或，令，得， 所以是极大值点，B正确； 对于C，若为曲线的对称中心，则， ，， ， 所以，化简得， 要使对任意都成立，需使． 当时，， 此时，满足中心对称条件， 故为曲线的对称中心，C正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 所以切线方程为， 将点代入切线方程， 所以， 化简得， 令，则， 在上单调递增，方程只有一个解，即切线只有一条，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 【答案】 【详解】因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布， 所以 . 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 14．用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据不同牌组的组合数进行分类讨论即可. 【详解】题目要求只考虑点数、不考虑花色，点数共种， 我们需要计算从种点数中选取张的不同组合数，按点数重复情况分类计算： 张点数全不同：从种点数选种，共 组； 恰好对点数相同，其余个点数不同：先选相同的点数（种选）， 再从剩余种选个不同点数，共组； 恰好两个不同点数各出现次（两对）：从种选个点数，共组； 恰好张点数相同，剩余张不同： 先选张相同的点数，再选个不同点数，共组； 张点数全相同：共 组. 将所有情况相加得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2) 【分析】（1）根据题设数据完善表格，然后根据公式计算卡方统计量即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，， 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. 16．（15分） 已知函数，． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导后，根据极值点的定义可得，进而可得，再进行验证即可得答案. （2）根据定义域，按照和两种情况分类讨论，可得的单调区间. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为在处取得极值， 所以，解得. 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，故. （2）因为，， 所以当时，，则在上恒成立， 所以在单调递减； 当时，令，解得，（舍去）， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 综上：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为. 17．（15分） “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在上的最值； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）当时，可得的解析式，令，利用导数求出的单调性和边界值，可得，即在上恒成立，即可得的单调性，代入数据，即可得答案. （2）令，可得，令，则原题等价于讨论与的图象交点的个数，利用导数求出的单调性和极值，作出图象，数形结合，分析即可得答案. （3）分别分析和两种情况，利用导数求出函数的单调性和最值，综合分析，即可得证. 【详解】（1）当时，， 则 ， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 又， ， 所以，即在上恒成立， 故在上单调递减， 则 ， . （2）因为，令，得，解得. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，，当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，在取得极大值也是最大值， 作出与的图象，如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2. （3）证明：①当时，， 令 ，则， 因为，所以，而，即， 则，即，故在区间上单调递增， 则，即， 所以在区间上单调递增． 所以； ②当时，令，则， 所以单调递增，所以，即. 又因为， 令 ，则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，． 19．（17分） 为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)证明见解析，； (3)10，5. 【分析】（1）求出第二天选择水果的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出递推公式，再构造并证明求出. （3）由（2）得，由此求出求出分发水果和牛奶的人数. 【详解】（1）依题意，第二天选择水果的概率为， 第二天选择牛奶的概率为， 第二天选择水果的人数X的可能值为， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 期望为. （2）依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列的通项公式为. （3）由（2）知，，当时，非常小，趋近于0，， ，即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的， 所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶的人数分别为. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： ①根据题中条件确定随机变量的可能取值； ②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； ③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选必二导数+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 2．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 5．现有6本不同的书，分给甲､乙每人各2本，分给丙､丁每人各1本，分配方法数有（    ）种 A．2160 B．1080 C．360 D．180 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？ 假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得点为曲线的对称中心 D．存在，使得过点可作曲线的切线有三条 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14．用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 16．（15分） 已知函数，． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)求的单调区间． 17．（15分） “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在上的最值； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 19．（17分） 为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选必二导数+选必三全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二项式的展开式中，第四项的系数为（   ） A． B． C．30 D． 2．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1 5．现有6本不同的书，分给甲､乙每人各2本，分给丙､丁每人各1本，分配方法数有（    ）种 A．2160 B．1080 C．360 D．180 6．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？ 假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在，使得点为曲线的对称中心 D．存在，使得过点可作曲线的切线有三条 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14．用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 16．（15分） 已知函数，． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)求的单调区间． 17．（15分） “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求曲线在上的最值； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 19．（17分） 为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为. (1)记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A D B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABC BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 （3分） 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ，（6分） 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响；（7分） （2）记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，，（11分） 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. （13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为，， 所以，，（1分） 因为在处取得极值， 所以，解得.（3分） 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意，故.（6分） （2）因为，，（7分） 所以当时，，则在上恒成立，（9分） 所以在单调递减；（10分） 当时，令，解得，（舍去），（12分） 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减.（14分） 综上：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，；（3分） 所以 （6分） （2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15（7分） 则， ， ， ，（13分） 所以的分布列为： 1 8 15 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，， 则，（1分） 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，（2分） 又， ， 所以，即在上恒成立， 故在上单调递减，（3分） 则 ， .（5分） （2）因为，令，得，解得.（6分） 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，，当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，在取得极大值也是最大值，（8分） 作出与的图象，如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2.（10分） （3）证明：①当时，， 令 ，则， 因为，所以，而，即， 则，即，故在区间上单调递增，（12分） 则，即， 所以在区间上单调递增． 所以；（13分） ②当时，令，则， 所以单调递增，所以，即.（14分） 又因为， 令 ，则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；（15分） 当时，的极小值为． 若，即，则，所以．（16分） 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）依题意，第二天选择水果的概率为，（1分） 第二天选择牛奶的概率为，（2分） 第二天选择水果的人数X的可能值为，（3分） ，（6分） 所以X的分布列为： 0 1 2 期望为.（7分） （2）依题意，，（10分） 由，而，（11分） 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，， 数列的通项公式为.（13分） （3）由（2）知，，当时，非常小，趋近于0，，（15分） ，即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的，（16分） 所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果和牛奶的人数分别为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $