专题11.1.3 多面体与棱柱&专题11.1.4 棱锥与棱台（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.1.3 多面体与棱柱&专题11.1.4 棱锥与棱台 教学目标 1．理解多面体的定义与相关概念，能准确识别面、棱、顶点、对角线、截面及凸多面体。 2．掌握棱柱的定义、结构特征与分类，能区分直棱柱、斜棱柱、正棱柱与平行六面体。 3．掌握棱锥的结构特征，明确 “各侧面共顶点” 这一关键条件，会判断正棱锥。 4．掌握棱台的定义与性质，理解上下底面平行、侧棱延长线交于一点的核心特征。 教学重难点 重点：多面体基本概念；棱柱、棱锥、棱台的定义、结构、分类及识别判断。 难点：棱柱与棱锥特殊类型辨析、棱台形成条件与结构特征、几何体正误判断。 知识点01 多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部） 2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多面 体为凸多面体 正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。 【即学即练】 1．下列几何体为多面体的是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【答案】A 【详解】由多面体的概念可知，长方体为多面体，圆锥、圆柱、圆台都不是多面体. 故选：A. 2．如图，多面体的顶点数是______、棱数是______、面数是______． 【答案】 7 12 7 【详解】解:顶点共有7个，棱共有12条，一共有7个面. 故答案为：7,12,7 知识点02 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【即学即练】 3．（多选）下列几何体中不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱； 选项A：是三棱柱，属于棱柱； 选项B：是直四棱柱，属于棱柱； 选项C：是棱台，不是棱柱； 选项D：是三棱锥，不是棱柱 4．十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面. 【答案】 20 30 12 【详解】十棱柱的上下底面都是边形，所以每个底面有个顶点，因此总顶点数为， 上下底面各有条边，再加条侧棱，因此总棱数为， 包含2个底面和个侧面，因此总面数为 知识点03 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练】 5．如图所示的棱锥有（   ）个面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据题意，图中的棱锥为一个四棱锥，由一个底面和四个侧面组成，共有5个面. 6．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 知识点04 棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即学即练】 7．下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 【答案】D 【详解】七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体. 故选项D正确. 8．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 题型01 多面体的概念与性质 【例1】一个多面体的面至少有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】结合多面体的几何结构特征可得答案． 【解答】由多面体的几何结构特征可知，多面体底面至少有三条边，即底面是三角形， 则对应有三个侧面，即为三棱锥，所以一个多面体至少有4个面． 故选：C 【例2】多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 【变式1-1】正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【答案】 20 30 【详解】正十二面体有个面，设每个面是边形，每个顶点关联条棱，面的个数． 每个面有个顶点，每个顶点关联条棱存在于个面中，故顶点数． 每个面有条边，每条棱都存在于个面中，故棱的条数． 代入欧拉定理得，解得． 由于为大于等于的正整数，故，故或． 当时，；当时，（舍去）， 故且，得到，． 【变式1-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 【变式1-3】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为______． 【答案】 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 先牢牢抓住多面体的核心定义：由平面多边形围成的封闭几何体，再准确区分面、棱、顶点、面对角线、体对角线、截面六个基本概念。解题时先判断是否封闭、是否全由平面构成，再结合凸多面体、正多面体的特征逐一核对。 题型02 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例3】下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 【答案】B 【详解】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 【例4】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【详解】如图所示，三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥. 【变式2-1】下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 【变式2-2】在如图所示的长方体中，由OA，OB，OD和OC所构成的几何体是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】此几何体有一面ABCD为四边形，其余各面OAD，OAB，OCD，OBC为有一个公共顶点的三角形，所以此几何体是四棱锥． 故选：B 【变式2-3】（多选）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】BCD 【详解】对于A， 四棱锥是一个底面，四个侧面共五个面构成的几何体，故错误；     对于B， 五棱锥是一个底面，五个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于C， 四棱柱是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于D， 四棱台是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确； 故选：BCD.nn 棱柱抓两底面平行、侧面为平行四边形、侧棱互相平行；棱锥抓底面多边形、侧面共顶点三角形；棱台抓上下底面平行相似、侧棱延长线共点、侧面为梯形。按定义逐条对应，不漏关键特征。 题型03 棱柱、棱锥、棱台的判断 【例5】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 【例6】下列几何体是棱台的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意； B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意； D符合棱台的定义. 故选:D. 【点睛】本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题. 【变式3-1】如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号). 【答案】 ①③④ ⑥ ⑤ 【解析】根据棱柱、棱锥和棱台的定义直接判断即可. 【详解】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台. 故答案为：①③④；⑥；⑤. 【变式3-2】（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 【变式3-3】如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面. 【答案】几何体是三棱台.面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面 【解析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面． 【详解】分别是的中点，且，，， . ，且延长后交于一点. 又面与面平行， ∴几何体是三棱台. 其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面. 【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题． 判断遵循定义优先：棱柱必须有两组平行底面且侧棱平行；棱锥必须所有侧面共一个公共顶点；棱台必须由平行于棱锥底面截取，侧棱延长线交于一点。不满足任一核心条件则排除。 题型04 棱柱、棱锥的相关计算 【例7】（多选）有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】分两种情况求解： ①若正四棱柱的高为8，则底面边长为1，此时体对角线的长度为； ②若正四棱柱的高为4，则底面边长为2，此时体对角线的长度为． 故选：BD 【例8】正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【详解】如图所示的正三棱锥，过点作平面, 所以，， 解得：，由于, 所以, 即该正三棱锥的侧棱长为 【变式4-1】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 【变式4-2】在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 【答案】 【详解】分两种情况分析点的存在情况： ①若点在正方体中与无公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，再平方得，方程无解， 所以棱上不存在满足条件的点.    同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也不存在满足条件的点. ②若点在正方体中与有公共点的棱上， 设在正方体的棱上，设，则， ∵，∴，即， 两边平方，整理得，解得.所以棱上存在一个满足条件的点. 同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也分别存在一个满足条件的点；    故满足条件的点共有6个. 故答案为：. 【变式4-3】正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为. 根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体， 其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有： ，解得. 正四面体的高公式为，将代入得： . 棱柱计算先确定底面形状与侧棱关系，直棱柱侧棱等于高，斜棱柱高需另行计算；棱锥计算抓住高、斜高、底面半长构成直角三角形，用勾股定理求解。 底面周长、面积按多边形公式计算，侧面积用底面周长乘斜高或侧棱，区分侧棱与高，优先用直角三角形模型简化计算，保证数据对应准确。 题型05 棱台的相关计算 【例9】将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以. 故选：C. 【例10】四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 【变式5-1】一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为____________. 【答案】 【详解】如图：在正四棱台,分别为侧面上的高以及棱台的高， 设棱台的上下底面的边长分别为，则， 在等腰梯形中，， 所以， 故棱台的高为， 故答案为：    【变式5-2】正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________． 【答案】/ 【详解】取的中点分别为，连接，取上靠近的三等分点分别为， 连接，过作，垂足为，作图如下： 根据题意可得：，即为所求斜高； 易知四边形为平行四边形，故可得， 在△中，，在△中，， 在△中，，故. 故答案为：. 【变式5-3】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 棱台计算核心是还原成棱锥，利用上下底面相似比、棱锥高的比例关系求解高、斜高、边长。上下底面平行且相似，边长比等于对应棱锥的高之比。 计算斜高、高、侧面积时，统一用相似三角形比例，先求还原后大棱锥的参数，再减去上部小棱锥对应参数，得到棱台的结果。 题型06 棱柱、棱锥表面的最短距离 【例11】如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 【例12】如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 【变式6-1】直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 【变式6-2】如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 【变式6-3】如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 表面最短距离统一用侧面展开图法，将立体表面展开成平面图形，两点之间线段最短，直接用勾股定理计算长度。 展开时注意对应边的位置与长度，棱柱按侧面依次展开，棱锥沿侧棱展开，确保展开后边角对应正确，不出现错位导致计算错误。 题型07 正方体的截面问题 【例13】正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 【例14】在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 【变式7-1】（多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（   ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABD 【详解】A选项，画出截面图形如图1，分别是所在棱的中点， 四边形为等腰梯形，故A正确； B选项，在正方体中， 作截面（如图2所示）分别交于点， 根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且， 故四边形是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确； C选项，经过正方体的一个顶点去截可得到五边形（如图3所示）， 假设五边形为正五边形， 设正方体棱长为2，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 设，则，， 由于∽，所以，即， 设，则，故， 由勾股定理得， 令，即，化简得， 由得，故，即， 故，，， 解得，此时，两点重合，同理可得也重合，不满足要求，故假设不成立， 不可能是正五边形，故C错误； D选项，取六边形的中点， 依次连接得到六边形，其中各边长度均相等， 六边形为正六边形（如图4所示），故D正确． 故选：ABD 【变式7-2】在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．求证：四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【详解】证明： 如图，连接， ∵分别为棱的中点， ∴． 由正方体的性质可知， ，与相交， 即不平行于，平行于， ∴四边形是梯形． 【变式7-3】（多选）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（   ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】ABD 【详解】选项A，如图1，当时，可在上取到点满足， 可得截面为四边形，所以A正确； 选项B，如图2，当时，即为中点，此时，， 可得截面为等腰梯形，所以B正确； 选项C，如图3，当时，此时的截面为五边形，所以C错误； 选项D，如图4，当时，点与点重合，取的中点， 连接，可证，且， 则截面为菱形，其面积为， 即的面积为，所以D正确. 故选：ABD. 截面是平面与正方体相交所得图形，按平面经过的顶点、棱、面数量判断形状，常见为三角形、四边形、五边形、六边形。画图时按交点顺次连接，保证截面封闭。 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 2．如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为（   ） A．50 B．60 C． D． 【答案】D 【详解】如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为； 故选：D 3．已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，即，，， 由长方体，得两两垂直， 所以， 所以剩下的几何体体积． 4．将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 5．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【详解】如下图所示： 在五棱柱中， 若对角线的一个端点为，则满足条件的对角线为、， 同理可知，有一个端点分别为、、、的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有条. 故选：D. 6．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设该半正多面体的棱长为，则， 延长与交于点，延长交正方体棱于， 由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， ∴，∴ ∴，即该半正多面体棱长为. 故选：B 7．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 8．如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧，连接，与交于点， 则此时最小. 在中，由余弦定理可得， 所以，故的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 10．如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（    ）    A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥 B．几何体是三棱柱 C．几何体是三棱台 D．三棱锥的高与四棱锥的高相等 【答案】ACD 【详解】由正棱台的定义知四边形是正方形，是高， 则由正棱锥的定义知是正四棱锥，选项A正确； 几何体中，没有任何两个平面平行，选项B错误； 将四棱台沿轴截面分成两部分， 其中之一是三棱台，选项C正确； 三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高， 所以相等，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 12．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱． 【答案】3 【详解】由棱柱的定义；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上， 其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 所以①③⑤是棱柱，即有3个是棱柱． 13．若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 【答案】 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    四、解答题 14．如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？    【答案】直五棱柱 【详解】正方体中截去一部分，其中， 剩下的较大的几何体中， 五边形与五边形全等且所在平面平行， 侧面均为矩形， 则该几何体为直五棱柱. 15．正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积. （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高. 16．高为1的直四棱柱的底面是面积为2的菱形，若截面与截面的面积之和为5，求此直四棱柱的底面边长. 【答案】 【详解】设底面菱形的两条对角线长分别为m，n. 则 所以底面边长为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1.3 多面体与棱柱&专题11.1.4 棱锥与棱台 教学目标 1．理解多面体的定义与相关概念，能准确识别面、棱、顶点、对角线、截面及凸多面体。 2．掌握棱柱的定义、结构特征与分类，能区分直棱柱、斜棱柱、正棱柱与平行六面体。 3．掌握棱锥的结构特征，明确 “各侧面共顶点” 这一关键条件，会判断正棱锥。 4．掌握棱台的定义与性质，理解上下底面平行、侧棱延长线交于一点的核心特征。 教学重难点 重点：多面体基本概念；棱柱、棱锥、棱台的定义、结构、分类及识别判断。 难点：棱柱与棱锥特殊类型辨析、棱台形成条件与结构特征、几何体正误判断。 知识点01 多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个________多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的________称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的________称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是________的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个________上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个________相交所得到的平面图形（包括它的内部） 2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的________，称这样的多面 体为凸多面体 正多面体：各个面都是________的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。 【即学即练】 1．下列几何体为多面体的是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 2．如图，多面体的顶点数是______、棱数是______、面数是______． 知识点02 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相________，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相________的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的________，他们都是________； （3）相邻侧面的________叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的________叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向________形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱________于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是________的直棱柱． 平行六面体：底面是________的四棱柱． 【即学即练】 3．（多选）下列几何体中不是棱柱的是（    ） A． B． C． D． 4．十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面. 知识点03 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个________面叫做棱锥的侧面； （3）相邻________的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为________的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即学即练】 5．如图所示的棱锥有（   ）个面 A．3 B．4 C．5 D．6 6．关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 知识点04 棱台 1、定义：用一个________与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的________叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的________叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是________； （3）各侧棱的________交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即学即练】 7．下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 8．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 题型01 多面体的概念与性质 【例1】一个多面体的面至少有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【变式1-1】正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【变式1-2】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【变式1-3】正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为______． 先牢牢抓住多面体的核心定义：由平面多边形围成的封闭几何体，再准确区分面、棱、顶点、面对角线、体对角线、截面六个基本概念。解题时先判断是否封闭、是否全由平面构成，再结合凸多面体、正多面体的特征逐一核对。 题型02 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 【例3】下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 【例4】在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【变式2-1】下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（    ） ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-2】在如图所示的长方体中，由OA，OB，OD和OC所构成的几何体是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【变式2-3】（多选）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 棱柱抓两底面平行、侧面为平行四边形、侧棱互相平行；棱锥抓底面多边形、侧面共顶点三角形；棱台抓上下底面平行相似、侧棱延长线共点、侧面为梯形。按定义逐条对应，不漏关键特征。 题型03 棱柱、棱锥、棱台的判断 【例5】如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【例6】下列几何体是棱台的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，下列几何体中，_______是棱柱，_______是棱锥，_______是棱台(仅填相应序号). 【变式3-2】（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面. 判断遵循定义优先：棱柱必须有两组平行底面且侧棱平行；棱锥必须所有侧面共一个公共顶点；棱台必须由平行于棱锥底面截取，侧棱延长线交于一点。不满足任一核心条件则排除。 题型04 棱柱、棱锥的相关计算 【例7】（多选）有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【例8】正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 【变式4-1】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______． 【变式4-3】正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（    ）    A． B． C． D． 棱柱计算先确定底面形状与侧棱关系，直棱柱侧棱等于高，斜棱柱高需另行计算；棱锥计算抓住高、斜高、底面半长构成直角三角形，用勾股定理求解。 底面周长、面积按多边形公式计算，侧面积用底面周长乘斜高或侧棱，区分侧棱与高，优先用直角三角形模型简化计算，保证数据对应准确。 题型05 棱台的相关计算 【例9】将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【例10】四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【变式5-1】一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为____________. 【变式5-2】正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，则该正三棱台的斜高为___________． 【变式5-3】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 棱台计算核心是还原成棱锥，利用上下底面相似比、棱锥高的比例关系求解高、斜高、边长。上下底面平行且相似，边长比等于对应棱锥的高之比。 计算斜高、高、侧面积时，统一用相似三角形比例，先求还原后大棱锥的参数，再减去上部小棱锥对应参数，得到棱台的结果。 题型06 棱柱、棱锥表面的最短距离 【例11】如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例12】如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【变式6-2】如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【变式6-3】如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 表面最短距离统一用侧面展开图法，将立体表面展开成平面图形，两点之间线段最短，直接用勾股定理计算长度。 展开时注意对应边的位置与长度，棱柱按侧面依次展开，棱锥沿侧棱展开，确保展开后边角对应正确，不出现错位导致计算错误。 题型07 正方体的截面问题 【例13】正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【例14】在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【变式7-1】（多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（   ） A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【变式7-2】在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点．求证：四边形是梯形． 【变式7-3】（多选）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（   ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 截面是平面与正方体相交所得图形，按平面经过的顶点、棱、面数量判断形状，常见为三角形、四边形、五边形、六边形。画图时按交点顺次连接，保证截面封闭。 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 2．如果一个长方体的长、宽、高分别是4，5，3，则它的体对角线为（   ） A．50 B．60 C． D． 3．已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（    ） A． B． C． D．不确定 4．将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 5．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 6．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 10．如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（    ）    A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥 B．几何体是三棱柱 C．几何体是三棱台 D．三棱锥的高与四棱锥的高相等 三、填空题 11．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 12．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱． 13．若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 四、解答题 14．如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？    15．正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 16．高为1的直四棱柱的底面是面积为2的菱形，若截面与截面的面积之和为5，求此直四棱柱的底面边长. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $