专题11.1.2 构成空间几何体的基本元素（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.1.2 构成空间几何体的基本元素 教学目标 1．理解平面的概念、表示与画法，掌握点、直线、平面间位置关系的符号表示。 2．掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、相交、异面关系。 3．理解直线与平面垂直的定义，会判断线面垂直并识别垂足与射影。 4．掌握点到平面、线面、面面距离的概念，能准确识别与表述相关距离。 教学重难点 重点：平面的表示与符号语言、空间位置关系判断、直线与平面垂直定义。 难点：异面直线的理解、线面垂直定义辨析、三类距离概念的区分与应用。 知识点01 平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用________来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成________，且横边长等于其邻边长的________倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成________线 图示 平面的特点 ①平面是________的； ②平面是________延展的没有边界的； ③平面是没有________的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“________”或“________”； ②直线与平面的位置关系只能用“________”或“________” 【即学即练】 1．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 2．现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 知识点02 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b ________ 相交关系 图示 符号 语言 ________ ________ 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 ________ 【即学即练】 3．两个平面最多可以将空间分成__________部分. 4．用集合符号表示：直线在平面上________． 知识点03 直线与平面垂直 1．线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有________，则称直线与平面垂直（或是平面的一条________，是直线的一个________），记作，其中为________。 2．点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的________。 3．线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上________到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上________到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 【即学即练】 5．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 6．若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（    ）． A． B． C． D．无数 题型01 空间几何体的基本元素 【例1】构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【例2】试指出下列各几何体的基本元素（如图）． 【变式1-1】给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】指出构成如图所示的各几何体的基本元素. 先明确平面、直线、点是空间几何体的三大基本元素，牢记平面无限延展、无厚度、平整的三大特征。掌握平面的平行四边形画法与四种表示方式，能准确识别图形中的基本元素构成。 题型02 文字、图形、符号语言之间的转化 【例3】（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面外，但点B在平面内； (2)直线既在平面内，又在平面内． 【变式2-1】如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    【变式2-2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【变式2-3】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 牢记符号规则：点用∈/∉，线面用⊂/⊄，平行用∥，相交用∩，严格对应文字描述。转化时先提取文字中的位置关系，再对应符号，对照图形核对关系是否一致。 转化遵循先点线、再线面、最后面面的顺序，图形中实线可视、虚线不可视，符号书写规范不混淆，保证三种语言准确互译不出错。 题型03 平面分空间区域数量 【例5】三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 【例6】四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式3-1】空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【变式3-2】（多选）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 按平面数量逐步推导：1个平面分2部分，2个平面分3或4部分，3个平面分4、6、7、8部分，结合平行、相交状态判断。相交平面越多，分割区域越多，平行会减少区域数。 题型04 空间点、线、面的位置关系 【例7】用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【例8】在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①与________；            ②与________； ③与平面________；    ④与平面________； ⑤平面与平面_________；     ⑥平面与平面________. 【变式4-1】在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】在长方体中，请写出： （1）三对平行的平面； （2）三对垂直的平面； （3）直线与平面的位置关系； （4）直线与平面的位置关系. 【变式4-3】如图，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中： （1）与直线不平行也不相交的直线有哪几条？ （2）与直线平行的平面有哪几个？ （3）与直线垂直的平面有哪几个？ （4）与平面平行的平面有哪几个？ （5）与平面垂直的平面有哪几个？ 先分类判断：线线有平行、相交、异面；线面有平行、相交、在面内；面面有平行、相交。对照定义与图形，用符号准确表示，不遗漏异面、在面内等特殊关系。 题型05 异面直线的判定 【例9】在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【例10】如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 【变式5-1】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【变式5-2】已知如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（    ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是相交直线 D．，且直线，是异面直线 【变式5-3】（多选）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 题型06 点、线、面的距离问题 【例11】已知长方体的、、的长分为3､4､5，则点到棱的距离为______________. 【例12】在正方体中，下列说法正确的是_________. ①平面；②与相交；③点、到平面的距离相等；④与平行的面只有一个，与垂直的面有两个. 【变式6-1】在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________. 【变式6-2】线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′. （1）该长方体的高为________cm； （2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm； （3）点A到平面BCC′B′的距离为________cm. 【变式6-3】如图所示，在长方体中，，，， (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 明确距离定义：点到平面的距离是垂线段长度；线面、面面距离是平行时的垂线段长度。解题先找垂线，确定垂足，再计算垂线段长度。 一、单选题 1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 2．以下结论不正确的是（    ） A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线 C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线 3．如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 4．“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列图形中，满足，，，，的图形是（    ） A． B． C． D． 7．在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 8．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 10．若点A在直线b上，直线b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．空间中构成几何体的基本元素是_________. 12．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 13．根据如图所示的棱柱中，回答下列问题： （1）6个顶点可表示为____________________； （2）9条棱可以表示为____________________； （3）5个平面可以表示为___________________； （4）棱柱可以表示为______________________． 四、解答题 14．用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 15．已知如图所示的长方体. （1）与直线异面的棱所在的直线有哪几条？ （2）与直线平行的平面有哪几个？与直线相交的平面有哪几个？ 16．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1.2 构成空间几何体的基本元素 教学目标 1．理解平面的概念、表示与画法，掌握点、直线、平面间位置关系的符号表示。 2．掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、相交、异面关系。 3．理解直线与平面垂直的定义，会判断线面垂直并识别垂足与射影。 4．掌握点到平面、线面、面面距离的概念，能准确识别与表述相关距离。 教学重难点 重点：平面的表示与符号语言、空间位置关系判断、直线与平面垂直定义。 难点：异面直线的理解、线面垂直定义辨析、三类距离概念的区分与应用。 知识点01 平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 【即学即练】 1．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 2．现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确． 故选：A． 知识点02 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 【即学即练】 3．两个平面最多可以将空间分成__________部分. 【答案】4 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 4．用集合符号表示：直线在平面上________． 【答案】 【详解】若直线在平面上，则. 故答案为：. 知识点03 直线与平面垂直 1．线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 2．点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 3．线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 【即学即练】 5．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误. 故选：C 6．若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（    ）． A． B． C． D．无数 【答案】A 【详解】过直线外一点与直线垂直的平面有且仅有1个. 故选：A 题型01 空间几何体的基本元素 【例1】构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 【例2】试指出下列各几何体的基本元素（如图）． 【答案】答案见解析 【详解】①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面； ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面； ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面； ④中几何体有2条曲线，3个面（2个圆面和1个曲面）． 【变式1-1】给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 【变式1-2】已知四棱锥有条棱，个顶点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】四棱锥有8条棱，5个顶点，所以. 故选：B. 【变式1-3】指出构成如图所示的各几何体的基本元素. 【答案】（1）几何体有12个顶点、18条棱和8个面；（2）几何体有2条曲线、3个面（2个平面和1个曲面）. 【解析】（1）为正六棱柱，（2）为圆柱，直接可以得到它们的基本元素， 【详解】(1)为正六棱柱，有12个顶点、18条棱、8个面 . (2) 为圆柱, 有2条曲线(圆), 3个面（2个平面和1个曲面）. 【点睛】本题考查构成几何体的基本元素的, 考查基本概念等基础知识，属于基础题． 先明确平面、直线、点是空间几何体的三大基本元素，牢记平面无限延展、无厚度、平整的三大特征。掌握平面的平行四边形画法与四种表示方式，能准确识别图形中的基本元素构成。 题型02 文字、图形、符号语言之间的转化 【例3】（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 【例4】用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面外，但点B在平面内； (2)直线既在平面内，又在平面内． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【详解】（1） （2） 【变式2-1】如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析. 【详解】如图所示.连接，再连接A、、C，确定平面．最后连接，其与交点为O，O即为与A、、C所确定的平面的交点. 证明：由于与平面相交，则交点只能一个. ,,平面， 则平面.则O即为与A、、C所确定的平面的交点.    【变式2-2】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 【变式2-3】请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形． 【答案】作图见解析 【详解】解：图①可看成平面被挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可． 如图． 牢记符号规则：点用∈/∉，线面用⊂/⊄，平行用∥，相交用∩，严格对应文字描述。转化时先提取文字中的位置关系，再对应符号，对照图形核对关系是否一致。 转化遵循先点线、再线面、最后面面的顺序，图形中实线可视、虚线不可视，符号书写规范不混淆，保证三种语言准确互译不出错。 题型03 平面分空间区域数量 【例5】三个平面把空间分成m部分，m的所有可能取值组成集合Q，则Q中所有元素之和为（   ） A．18 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【详解】当3个平面互相平行时：空间被分成4部分，即， 当2个平面互相平行时：第3个平面与这2个平面相交， 此时空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于同一条直线时：空间被分成6部分，即， 当3个平面相交于3条直线时：这3条交线互相平行， 此时空间被分成7部分，即， 当3个平面相交于1点时：此时空间被分成8部分，即， 所以， 所以Q中所有元素之和为. 故选：. 【例6】四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】将四面体的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间， 也就是说平面对应一个空间， 同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间， 同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将四面体的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间， 同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 故选：C    【变式3-1】空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【变式3-2】（多选）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【详解】三个平面两两平行，分成4个部分，如图1 三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2 三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3 三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4 三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5 综上可知，可能是4，6，7，8.A错误，BCD正确. 【变式3-3】三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【详解】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 按平面数量逐步推导：1个平面分2部分，2个平面分3或4部分，3个平面分4、6、7、8部分，结合平行、相交状态判断。相交平面越多，分割区域越多，平行会减少区域数。 题型04 空间点、线、面的位置关系 【例7】用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【详解】因为直线在平面内， 所以直线平面. 故答案为： 【例8】在正方体中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①与________；            ②与________； ③与平面________；    ④与平面________； ⑤平面与平面_________；     ⑥平面与平面________. 【答案】 平行 异面 平行 相交 平行 垂直 【解析】根据图形可得答案. 【详解】由图可知，四边形是平行四边形，所以与平行； 与异面； 因为，平面，平面，所以与平面平行； 与平面相交； 平面与平面平行； 平面与平面垂直. 故答案为：平行，异面，平行，相交，平行，垂直. 【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，较简单. 【变式4-1】在长方体的六个面中，与平面平行的面有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】根据长方体的结构性质，长方体中相对的两个不同平面互相平行，共三组平行对面， 平面是长方体的一个侧面，仅它的对面与它平行， 余四个面都和平面相交（存在公共交线），不平行. 符合要求的面只有1个. 【变式4-2】在长方体中，请写出： （1）三对平行的平面； （2）三对垂直的平面； （3）直线与平面的位置关系； （4）直线与平面的位置关系. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）平行；（4）垂直相交. 【解析】作出图形进行观察可得. 【详解】如图， （1）平面与平面，平面与平面，平面与平面分别平行. （2）平面与平面，平面与平面，平面与平面分别垂直（答案不唯一）. （3）直线平行于平面. （4）直线垂直于平面. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，结合正方体的图形，很容易得出平行关系和垂直关系，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养. 【变式4-3】如图，在长方体中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中： （1）与直线不平行也不相交的直线有哪几条？ （2）与直线平行的平面有哪几个？ （3）与直线垂直的平面有哪几个？ （4）与平面平行的平面有哪几个？ （5）与平面垂直的平面有哪几个？ 【答案】（1）直线、直线、直线AB、直线DC（2）平面、平面AC（3）平面、平面（4）平面（5）平面、平面、平面、平面AC 【解析】根据长方体中棱与棱，棱与面，面与面的位置关系可判断得出答案. 【详解】解：（1）与直线不平行也不相交的直线：直线、直线、直线AB、直线DC. （2）与直线平行的平面：平面、平面AC. （3）与直线垂直的平面：平面、平面. （4）与平面平行的平面：平面. （5）与平面垂直的平面：平面、平面、平面、平面AC. 【点睛】本题考查长方体中平行和垂直关系，属于基础题. 先分类判断：线线有平行、相交、异面；线面有平行、相交、在面内；面面有平行、相交。对照定义与图形，用符号准确表示，不遗漏异面、在面内等特殊关系。 题型05 异面直线的判定 【例9】在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】对于，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 因为直线都在平面内且不平行，所以直线相交，正确. 故选：. 【例10】如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 【答案】A 【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行， 故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面. 故选：A. 【变式5-1】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线， 根据异面直线的定义可得： 可以是异面直线，如下所示：    也可以相交    也可以平行    故选：. 【点睛】本题考查空间中直线之间的位置关系，属简单题. 【变式5-2】已知如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（    ） A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是异面直线 C．，且直线，是相交直线 D．，且直线，是异面直线 【答案】C 【解析】利用特殊值法，设正方体的棱长为2即可计算出相应的长度，再根据正方体的性质即可得出答案。 【详解】设正方体的棱长为2，则，，所以，设，分别为和的中点，则六边形是过四点的平面截正方体的截面，所以与是共面直线，且与不平行，所以与是相交直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正方体简单的几何性质，属于基础题。 【变式5-3】（多选）正方体中，与棱异面的棱有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】如图，我们作出符合题意的正方体，    由正方体的性质得与棱异面的棱有，，，，共4条， 而本题中符合题意的有和，故C，D正确. 故选：CD 题型06 点、线、面的距离问题 【例11】已知长方体的、、的长分为3､4､5，则点到棱的距离为______________. 【答案】5 【详解】由长方体的性质可得，所以面，面，所以， 所以是点到棱的垂线段，又，，所以. 故答案为：5.    【点睛】本题考查点到线段的距离，关键在于运用长方体的性质找到点到线段的垂线段，属于基础题. 【例12】在正方体中，下列说法正确的是_________. ①平面；②与相交；③点、到平面的距离相等；④与平行的面只有一个，与垂直的面有两个. 【答案】①③ 【解析】作出图形，结合空间中线线、线面的位置关系以及点到平面距离的定义可判断出各命题的正误. 【详解】如下图所示： 对于①，平面平面，平面，平面，命题①正确； 对于②，与异面，命题②错误； 对于③，平面，平面，且， 所以，点、到平面的距离相等，命题③正确； 对于④，与平行的平面有平面和平面，与垂直的面有平面和平面，命题④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查正方体中线线、线面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 【变式6-1】在长方体中，，，，则直线BC到面的距离为________；直线到面的距离为________；面与面的距离为________. 【答案】 5 4 3 【解析】直线BC到面的距离为,直线到面的距离为,面到面的距离为可解. 【详解】如图 直线BC到面的距离为； 直线到面的距离为； 面到面的距离为. 故答案为：5；   4；   3. 【点睛】本题考查线面距离和面面距离，属于基础题. 【变式6-2】线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′. （1）该长方体的高为________cm； （2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm； （3）点A到平面BCC′B′的距离为________cm. 【答案】 3 4 5 【详解】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm， ∴长方体的高为3 cm； 平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm； 点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. 故答案为：；；. 【点睛】本题考查几何体的构成要素，涉及长方体的几何特征，属简单题. 【变式6-3】如图所示，在长方体中，，，， (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1)4 (2)1 (3)1 【详解】（1）点到平面的距离为． （2）直线与平面的距离为． （3）平面与平面的距离为． 明确距离定义：点到平面的距离是垂线段长度；线面、面面距离是平行时的垂线段长度。解题先找垂线，确定垂足，再计算垂线段长度。 一、单选题 1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【答案】D 【解析】空间中的几何体是由点、线、面构成的,进而判断选项即可 【详解】空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,只有多边形（不包括内部的点）不属于构成空间几何体的基本元素, 故选:D 【点睛】本题考查空间几何体的基本元素,属于基础题 2．以下结论不正确的是（    ） A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线 C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线 【答案】C 【详解】圆柱的侧面是曲面，但圆柱的母线所在的线是直线，故C错误， 易判断得A、B、D正确. 故选：C 3．如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 4．“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：因为点在直线上，在平面内。 所以符号语言为：， 故选：B 5．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】根据长方体中的棱与面的垂直关系，可判断与平面ABCD垂直的平面. 【详解】如图 在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直. 平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直. 故选：D 【点睛】本题考查长方体中的侧面与底面的垂直关系，属于基础题. 6．下列图形中，满足，，，，的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据选项对图形表达的意思逐一分析，得到答案. 【详解】可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断. 对A不满足，故错误, 对B不满足，故错误, 对C满足条件，正确. 对D不满足，，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对图形的认识，考查线在面内，线线平行的图形画法，属于基础题. 7．在长方体中，下列结论错误的是（   ） A．直线AB与平面平行 B．直线与平面垂直 C．平面与平面平行 D．平面与平面垂直 【答案】B 【详解】对于A，在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若矩形不是正方形，则与不垂直， 直线与平面也不可能垂直，故B错误； 对于C，在长方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又，且平面， 所以平面平面，故C正确； 对于D，在长方体中，平面平面，故D正确. 故选：B. 8．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】 A选项，E、F分别为、的中点，所以，即，所以四点共面，因为，所以与相交，故A正确. B选项，因为平面，平面，所以与无交点，故B错误. C选项，因为平面，不过点，所以与异面，无交点，故C错误. D选项，因为平面，平面，所以与无交点，故D错误. 故选：A. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【答案】AB 【详解】平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 故选：AB 10．若点A在直线b上，直线b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：因为点A在直线b上，所以，故A正确； B：因为直线b在平面内，所以，故B正确； C、D：由AB及点面关系的表示方式知，故C正确；D错误； 故选：ABC. 三、填空题 11．空间中构成几何体的基本元素是_________. 【答案】点、线、面 【详解】根据空间几何体的结构特征知，构成几何体的基本元素为点、线、面. 故答案为：点、线、面. 12．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有____________条． 【答案】6 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有共6条， 与直线异面的棱有，共6条. 故答案为：6 13．根据如图所示的棱柱中，回答下列问题： （1）6个顶点可表示为____________________； （2）9条棱可以表示为____________________； （3）5个平面可以表示为___________________； （4）棱柱可以表示为______________________． 【答案】 平面 三棱柱 【解析】根据三棱柱的定义和图示可得答案. 【详解】（1）6个顶点可表示为点； （2）9条棱可以表示为； （3）5个平面可以表示为平面； （4）棱柱可以表示为三棱柱. 故答案为：；；平面；三棱柱. 【点睛】本题考查棱柱的点、线、面、体基本要素的称呼，属于基础题. 四、解答题 14．用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点不在平面内． (2)直线与直线相交于点． (3)直线与平面相交于点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据点与平面的位置关系，点不在平面内，可表示为； （2）解：根据直线与直线的位置关系，直线与直线相交于点，可表示为； （3）解：根据直线与平面的位置关系，直线与平面相交于点，可表示为. 15．已知如图所示的长方体. （1）与直线异面的棱所在的直线有哪几条？ （2）与直线平行的平面有哪几个？与直线相交的平面有哪几个？ 【答案】（1）； （2）平面；平面，平面，平面，平面. 【解析】两条直线异面即没有公共点且不平行；直线与平面相交则只有一个公共点,与平面平行则没有公共点,由此根据图形进行判断即可 【详解】（1）与直线异面的棱所在的直线有6条,分别为； （2）与直线平行的平面只有1个,为平面；与直线相交的平面有4个,分别为平面,平面,平面,平面 【点睛】本题考查异面直线的判定,考查线面平行的判定,考查长方体的特征 16．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【详解】 还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得， AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为： 直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $