11.1.4 棱锥与棱台-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦棱锥与棱台的几何结构特征及表面积计算，从金字塔情境引入，通过定义、分类、正棱锥与正棱台特征构建知识体系，结合直角三角形与梯形模型实现相关计算，形成从直观观察到抽象应用的学习支架。 该资料以实物观察培养数学眼光，通过棱台侧棱延长交于一点等概念辨析发展数学思维，借助构造直角三角形计算斜高与侧面积提升直观想象与运算素养。课中辅助教师突破重难点，课后自测与变式训练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

11．1.4　棱锥与棱台 课程标准 素养解读 1.利用实物观察图形，认识棱锥、棱台的几何结构特征 2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，进行简单计算，会求表面积 通过利用实物归纳棱锥、棱台的结构特征及其表面积的计算，培养学生的数学抽象素养，提升学生的直观想象、数学运算素养 [情境引入] 　金字塔在埃及和美洲等地均有分布，今天的苏丹和埃及境内，也就是现在的尼罗河下游散布着约80座金字塔遗迹． 问题　从金字塔中可以看出怎样的几何体？ 提示　棱锥． [知识梳理] [知识点一]　棱锥　 1．棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．如图所示，棱锥可记作：棱锥S－ABCD或棱锥S－AC. 2．棱锥中的相关概念： 底面(底)：是多边形的那个面； 侧面：有公共顶点的各个三角形； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)； 侧面积：所有侧面的面积之和． 3．棱锥的分类： ①依据：底面多边形的边数； ②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)…… 4．正棱锥的有关概念及其特征：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高． 5．正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高． (1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC. (2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE. (3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. 1.正棱锥有什么特点？ [提示]　(1)正棱锥的侧棱都相等，底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形；(2)正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成一个直角三角形，斜高、侧棱、底边的一半组成一个直角三角形，高、斜高和斜高在底面上的射影也组成一个直角三角形． [知识点二]　棱台　 1．棱台的定义：一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．如图所示，棱台可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′. 2．棱台中的相关概念 (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的底面； (3)侧面：其余各面； (4)侧棱：相邻两侧面的公共边； (5)顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点； (6)高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)； (7)侧面积：所有侧面的面积之和． 3．棱台的分类： ①依据：由几棱锥截得； ②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 4．正棱台的有关概念及其特征： 由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高． 5．正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高， (1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1. (2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO. (3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 2.如何判断一个几何体是棱台？ [提示]　需具备两个特征：(1)上、下底面平行且相似；(2)侧棱延长线交于一点．二者缺一不可． 3．正棱台有怎样的性质？ [提示]　(1)正棱台的各侧棱都相等，侧面均为全等的等腰梯形； (2)两底面及平行于底面的截面是相似正多边形； (3)两底面中心连线、对应的两底面内切圆半径、斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆半径组成一个直角梯形；上下底面相应边长的一半，侧棱和斜高也组成一个直角梯形． [预习自测] 1．下列关于棱锥 、棱台的说法正确的有(　　) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个　B．1个　　C．2个　　D．3个 解析：A　[①错误，由五个面围成的多面体可能是三棱柱；②错误，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱；③④错误，棱台的侧棱延长线必须交于一点．故选A.] 2．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号有(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③ 解析：D　[对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于②，由棱台的定义可知只有当截面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于④，棱台的侧面不一定是等腰梯形，故错误．故选D.] 3.如图所示，下列关于这个几何体的说法正确有的　________　. ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． 解析：①正确，因为几何体有6个面，所以属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示． 答案：①③④⑤ 棱锥和棱台的概念及结构特点 [例1]　(1)下列说法正确的是　________　. ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台． (2)下列三个命题，其中不正确的是　________　. ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． [思路点拨]　依据棱锥、棱台的结构特点逐一判断． [解析]　(1)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故④错误． (2)必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确． [答案]　(1)③　(2)①②③ 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 [变式训练] 1．(1)以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．0 (2)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(　　) A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 解析：(1)如图，三棱台ABC－A1B1C1可分割成三棱锥A1－ABC，三棱锥B1－A1BC1，三棱锥C－A1BC1，共3个． (2)A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 答案：(1)C　(2)ABC 棱锥的有关计算 [例2]　已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求： (1)正四棱锥的底面边长和斜高； (2)正四棱锥的侧面积． [思路点拨]　根据棱锥的结构特征，构造直角三角形求解． [解]　(1)如图，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝， 侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝， 则△SOA为直角三角形， 在Rt△SOA中，∵OS＝，SA＝，∴OA＝2，∴AC＝4， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2. 作OE⊥AB交AB于E，则E为AB的中点，SO⊥OE.连接SE，则SE即为正四棱锥的斜高． 在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝， ∴SE＝，即正四棱锥的斜高为. 故正四棱锥的底面边长为2，斜高为. (2)由(1)知，S△SAB＝×2×＝. 所以正四棱锥的侧面积为S＝4×S△SAB＝4. 正棱锥的高是顶点与底面中心的连线，在正棱锥的计算中需要构造直角三角形，正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形；正棱锥的侧棱、底面边长的一半和斜高也组成一个直角三角形．如图所示，△VOE，△VOB和△VBE都是直角三角形，像这样的直角三角形称为正棱锥的特征三角形． [变式训练] 2．正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正四棱锥的高． 解析：作出正四棱锥如图，SO为其高，连接BO， (注AD为虚线)则在Rt△SOB中，SB＝2，OB＝∴SO＝＝，故正四棱锥的高为. 棱台的有关计算 [例3]　如图，正四棱台ABCD－A′B′C′D′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高． [思路点拨]　构造直角梯形OBB′O′，O′OEE′在直角梯形中，利用平面几何知识求解． [解]　设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E，连接O′O，E′E，OB，O′B′，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，且OO′＝17 cm. 在正方形ABCD中，BC＝16 cm，则OB＝8 cm，OE＝8 cm，在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm. 在直角梯形O′OBB′中，BB′＝＝＝ 19(cm)． 在直角梯形O′OEE′中，EE′＝ ＝＝5(cm)． 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 正棱台中两底面中心的连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心的连线、侧棱和两底面外接圆相应的半径也组成一个直角梯形． [变式训练] 3．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 解：如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，O′D′，OD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，所以DD′＝(cm)，又O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)，所以棱台的高为h＝O′O＝＝ ＝4(cm)． 在直角梯形BDD′B′中，B′D′＝10 cm，BD＝ 15 cm，DD′＝，∴BB′＝＝(cm)．故棱台的高为4 cm，侧棱长为 cm. 棱锥、棱台的展开图及其计算 [例4]　如图，在侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值． [思路点拨]　沿VA剪开，在平面图形中求解． [解]　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图． 则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，AA′＝2×2×＝6，故截面△AEF周长的最小值为6. 多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． [变式训练] 4．如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 解：图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把表面展开图还原为原几何体，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． 1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱　　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 解析：B　[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③是棱台，④不是棱锥，故B错误．] 2．具备下列条件的多面体是棱台的是(　　) A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 解析：D　[棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件：一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备．] 3．一个五棱台有　________　条对角线． 解析：五棱台ABCDE－A1B1C1D1E1的对角线有AC1，AD1，BD1，BE1，CE1，CA1，DA1，DB1，EB1，EC1共10条． 答案：10 4．如图，三棱台ABC－A′B′C′，沿A′BC截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是　________　. 解析：在图中截去三棱锥A′－ABC后，剩余的是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥． 答案：四棱锥A′－BCC′B′ 5．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高． 解：作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°，故AO＝＝.故SO＝＝3，故三棱锥的高为3. 1．下列几何体是棱台的是(　　) 解析：D　[根据棱台的定义，只有D是棱台．] 2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是(　　) A．1∶2　　　　　 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 解析：B　[由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.] 3．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为(　　) A．4∶9 B．2∶1 C．2∶3 D．2∶ 解析：B　[截得截面与底面多边形相似，故边长比为2∶3，所以侧棱上、下两部分长度之比为2∶1.] 4．一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 解析：C　[连接底面中心与底面三角形的一个顶点，则长度为3×＝，侧棱长为l＝＝3.] 5．(多选题)如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是(　　) A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 解析：ABC　[正六棱锥六个侧面等边三角形顶点处内角和为360°，在一个平面上，这是不可能的．] 6．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上(　　) A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 解析：B　[根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选B.] 7．下列说法中正确的说法的序号是　________　. ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 解析：侧棱不交于一点一定不是棱台，故①正确，②正确，③④中还需判断侧棱是否相交，故③正确，④不正确． 答案：①②③ 8．一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为　________　. 解析：底面等边三角形的中心到顶点的连线长为 4×＝，所以高h＝＝. 答案： 9．(多空题)四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1,2，侧棱长为，则该四棱台的高为　________　，侧面积为　________　. 解析：设四棱台的上、下底面中心分别为O′，O，连接OO′，A′O′，AO，则四边形AOO′A′为直角梯形，OO′为四棱台的高． ∵AB＝2，A′B′＝1， ∴A′O′＝，AO＝，又AA′＝， ∴OO′＝＝. 在侧面ABB′A′中，A′B′＝1，AB＝2，AA′＝， ∴斜高为＝，∴S侧＝4×(1＋2)×＝3. 答案：　3 10.如图所示，已知三棱台ABC－A′B′C′. (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示． 解：(1)如图(1)所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，多面体是B′C′BCC″B″. (2)如图(2)所示：三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C. 11.如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？ 解：将长方体展开，连接AB′， 因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm， AB′＝＝10 cm.根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10 cm. 12．如果正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，则它的中截面(过侧棱中点)的截面面积是　________　. 解析：正四棱台中截面边长为(3＋5)＝4，且为正方形，所以面积为16 cm2. 答案：16 cm2 13．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明． 解析：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥． 如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底． 学科网（北京）股份有限公司 $