11.1.3 多面体与棱柱-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“多面体与棱柱”核心知识点，先梳理多面体的定义、面/棱/顶点等概念及凸多面体特征，再深入棱柱的结构特征、分类（如平行六面体、正棱柱）、表面积计算及侧面展开最短距离问题，构建从一般到特殊的学习支架。 资料以情境引入抽象空间几何体，通过概念辨析例题（如多面体类型判断）、变式训练（如棱柱结构特征多选题）培养数学抽象与直观想象素养，配套图示辅助空间认知，课中助力教师引导建模，课后自测题与解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.1.3　多面体与棱柱 课程标准 素养解读 1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类． 2．认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面积. 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱的结构特征，培养学生的数学抽象素养，提升直观想象素养. [情境引入] 　在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体． [知识梳理] [知识点一]　多面体　 1．定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体． 2．多面体中涉及的概念(如图所示) (1)多面体的面、棱与顶点：围成多面体的各个多边形称为多面体的　面　，相邻两个面的公共边称为多面体的　棱　，棱与棱的公共点称为多面体的　顶点　. (2)多面体的面对角线与体对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的　面对角线　；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的　体对角线　.如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线． (3)多面体的截面与表面积：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一　个截面　，如上图中多面体的一个截面ACE. 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)． 3．凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为　凸多面体　. [知识点二]　棱柱　 1．棱柱的定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且　相邻两个四边形的公共边都互相平行　，由这些面所围成的多面体叫作　棱柱　. 2．棱柱的相关概念 (1)棱柱的底面：棱柱中，两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形． (2)棱柱的侧面：除底面以外的其余各面叫作棱柱的侧面，它们都是平行四边形． (3)棱柱的棱：两个面的公共边叫作棱柱的棱． (4)棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱． (5)棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点． (6)棱柱的对角线：棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫作棱柱的对角线． (7)棱柱的对角面：过不相邻的两条侧棱的截面叫作棱柱的对角面． 3．棱柱的表示方法：棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′. 4．棱柱的高与侧面积：过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 5．棱柱的分类： 特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱． 6．平行六面体与直平行六面体：底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体． 按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？ [提示]　{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直平行六面体}⊆{平行六面体}⊆{四棱柱}． [预习自测] 1．(多选题)棱柱的侧面都是(　　) A．三角形　　　　　 B．四边形 C．平行四边形 D．矩形 解析：BC　[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形，且都是平行四边形．] 2．下列关于棱柱的说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 解析：D　[棱柱底面是平行四边形时为平行六面体，故A错；当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作为棱柱的高，故B错；长方体有3对互相平行的平面，故C错．] 3．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为　________　 cm. 解析：由已知，该棱柱为5棱柱，所以每条侧棱长为60÷5＝12(cm)． 答案：12 对多面体概念的理解和应用 [例1]　根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． [思路点拨]　根据多面体的概念求解． [解]　(1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱(也称平行六面体)． (2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角形面是侧面． (3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底面，其余三个梯形面是侧面． 紧扣多面体的定义，以形状，侧面及它们的位置关系判断． [变式训练] 1．如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． 解：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E－CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′－DCFD′，其中平面ABEA′和DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱 棱柱的结构特征 [例2]　(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 [思路点拨]　概念辨析题常用方法：①利用常见几何体举反例；②从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系，侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义判断． [解析]　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的是C，D. [答案]　CD 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形． ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． [变式训练] 2．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D．棱柱至少有五个面 解析：ABD　[对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．] 直棱柱的有关计算 [例3]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积． [思路点拨]　直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和，S表＝S侧－2S底； [解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. S表＝S侧＋SABCD＋＝160＋2×BD·AC＝160＋40. 棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面积之和，表面积是各个面的面积之和，计算面积时，需要将几何体展开为平面图形求解． [变式训练] 3．(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．30 　　　　　　 B．60 C．30＋135 D．135 (2)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为　________　 cm2. 解析：(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30. (2)由题意知棱柱的侧面积 S侧＝3×6×4＝72(cm2)． 答案：(1)A　(2)72 侧面展开计算表面最短距离 [例4]　如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离． [思路点拨]　几何体表面距离最短问题，常通过展开侧面转化为计算平面内两点间的距离． [解]　将三棱柱沿AA′展开，如图所示． 则线段AD′的长即为最小距离，最小距离为AD′＝＝＝. 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果． [变式训练] 4．长方体AC1的长、宽、高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为　________　. 解析：结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的长分别是＝，＝＝3，＝，显然最小值为3. 答案：3 1．下面没有体对角线的一种几何体是(　　) A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析：A　[三棱柱只有面对角线，没有体对角线．] 2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是(　　) A．Q⊇N⊇M⊇P B．Q⊇M⊇N⊇P C．P⊇M⊇N⊇Q D．P⊇N⊇M⊇Q 解析：D　[正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故P⊇N⊇M⊇Q.] 3．在如图所示的7个几何体中，有　________　个是棱柱． 解析：①③⑤是棱柱． 答案：3 4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，则用过点M，N，P的平面截正方体所得的截面面积为　________　. 解析：依题意，M，N，P分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C和正方形ABB1A1的中心，即M，N，P分别为AC，B1C，AB1的中点，所以用过点M、N、P的平面截正方体所得的截面为△AB1C，如图所示，因为正方体的棱长为a，所以△AB1C的边长为a，所以△AB1C的面积S＝(a)2＝a2. 答案：a2 5．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中． (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？ 解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形． (2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台和棱锥． (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台． 1．棱柱的侧面都是(　　) A．三角形　　　　　　　 B．四边形 C．五边形 D．矩形 解析：B　[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．] 2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　) A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 解析：C　[四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．] 3．一个长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为24，则长方体的一条对角线长为(　　) A．5 B. C．3 D．4 解析：A　[设从一个顶点引的三条棱长分别为a，b，c，则由2(ab＋bc＋ac)＝11，且4(a＋b＋c)＝24，得a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝25，∴对角线长l＝＝5.] 4．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积是(　　) A．48(3＋) B．48(3＋2) C．28 D．20＋8 解析：A　[底面正六边形面积为S1＝6××42＝24，侧面为矩形，侧面面积为S2＝6×4×6＝144，所以S表＝144＋24×2＝48(3＋)．] 5．(多选题)下列说法错误的是(　　) A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 解析：ABD　[斜棱柱的侧棱与底面不垂直，正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故A、B、D都错．] 6．下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个　　B．4个　　　C．5个　　　D．6个 解析：C　[①②③④⑤是棱柱．] 7．如图所示，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是　________　(填序号)． 解析：解析：原正方体有8个顶点，(1)有10个顶点，(2)有9个顶点，(3)有7个顶点，(4)有8个顶点． 答案：(3) 8．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　________　 cm. 解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点边成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 9．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有　________　条． 解析：共有4×5＝20条对角线． 答案：20 10.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，且各顶点都在这两个面上，其余各面都是矩形(作侧面)，符合棱柱的定义． (2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 11.正四面体(由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等)的棱长为4 cm，如图． (1)写出正四面体的顶点数、棱数； (2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置关系，用符号表示，并判断AB与CD所在直线的位置关系； (3)求这个正四面体的表面积． 解：(1)正四面体有4个顶点，6条棱． (2)直线AB与△ACD所在平面有一个交点，即相交，表示为AB∩平面ACD＝A. AB与CD所在直线既不平行也不相交，是异面直线； (3)正四面体每个面都是边长为4 cm的正三角形，每个面的面积为S△＝×4×4×＝4，所以表面积S＝4×4＝16(cm2)． 12．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点，过D1，E，F三点的截面图形的周长为(　　) A.(25＋2＋9) B.(15＋4＋9) C.(25＋2＋6) D.(15＋4＋6) 解析：A　[如图所示，正方体的截面图形为五边形EGFD1H.由△AEH与△C1D1F相似得AH＝，所以A1H＝，由△A1D1H与△CGF相似得CG＝，所以BG＝.由勾股定理得EG＝＝，GF＝＝，FD1＝＝，D1H＝＝，HE＝＝，所以截面图形的周长为(25＋2＋9)．故选A.] 13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2.一条细线由顶点B出发沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M.求： (1)三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值． 解：沿侧棱BB1，将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B′1B′(如图)． (1)矩形BB1B′1B′的长BB′＝6，宽BB1＝2， 所以展开图的对角线长为＝2. (2)由侧面展开图知，当B，M，C1三点共线时，由点B经过点M到点C1的路程最短，即BM＋MC1≥BC1， 所以最短路线长为BC1＝＝2， 此时显然有△ABM≌△A1C1M，∴＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $