11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦构成空间几何体的基本元素，从鸟巢、水立方等生活实例引入，以长方体为载体，系统梳理点线面的运动关系、空间位置关系（点与线、线与线、线与面、面与面）及平面无限延展性，构建从具体模型到抽象概念的学习支架。 资料特色在于融合直观想象与数学抽象，通过思考辨析（如异面直线定义）、正方体模型分析线面关系引导学生抽象空间位置，例题与分层作业结合，课中助教师直观教学，课后帮学生巩固距离计算等难点，提升逻辑推理能力。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(直观想象) 2．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．(数学抽象) 3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(数学抽象) 国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？ 知识点1　空间中的点、线、面 1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系 (3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 2．构成空间几何体的基本元素 点、线、面是构成空间几何体的基本元素． 1．(1)生活中的平面有大小之分吗？ (2)几何中的“平面”是怎样的？ [提示]　(1)有． (2)从物体中抽象出来的，平面是无限延展的，无大小之分． 知识点2　空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1．空间中点与直线的关系 点A在直线l上，记作A∈l；点A不在直线l上，记作A∉l． 2．直线与直线的位置关系 (1)直线a与直线b平行，记作a∥b． (2)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A． (3)直线a与直线b异面． 3．异面直线的定义 空间中的两条直线，既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面． 2．为何点与直线、平面的关系用“∈”或“∉”表示？ [提示]　因为直线与平面都看作是点构成的集合，而点是元素，因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系，所以用“∈”或“∉”表示． 知识点3　空间中点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系 1．点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外．点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作A∉α． 2．空间中直线与平面的位置关系 (1)直线l上的所有点都在平面α内，称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α． (2)直线m上至少有一个点不在平面α内，称直线m在平面α外，记作m⊄α．直线m与平面α有且只有一个公共点，称为直线m与平面α相交，记作m∩α＝B． (3)直线l与平面α满足l∩α＝∅时，称为直线l与平面α平行，记作l∥α． 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)平面α与平面β有公共点，称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅． (2)如果α与β是空间中的两个平面，当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β． 3．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ [提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行． 知识点4　直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足． 2．点到平面的距离 给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离． 3．直线到平面的距离与两平行平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是平行直线． (　　) (2)互相垂直的两条直线是相交直线． (　　) [答案]　(1)×　(2)× [提示]　异面直线既不平行，也不相交，故(1)错误；互相垂直不一定相交，可能异面垂直，故(2)错误． 2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．] 3．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条． 1或3　[空间三个平面两两相交，则有一条交线或三条交线，三条交线平行或相交于一点．] 4．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的序号是________． ①EF与BB1垂直； ②EF与BD垂直； ③EF与CD异面； ④EF与A1C1异面． ①②③　[连接A1B(图略)，因为E是AB1的中点，所以E也是A1B的中点，又F是BC1的中点， 所以EF是△A1BC1的中位线， 所以EF∥A1C1，故①②③正确，④错误．] 类型1　图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 【例1】　(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为________． (2)如图所示，填入相应的符号： A________平面ABC，A______平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________． (3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN． (1)M∈a，a⊂α，M∈α　(2)∈　∉　⊄　AC (3)[解]　如图所示． 　(1)正确理解点、线、面之间的位置关系． (2)能够用正确的符号表示点、线、面之间的位置关系． (3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系． (4)根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别． [跟进训练] 1．(源自人教A版教材)如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系． [解]　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B． 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P，a∩b＝P． 类型2　空间两直线的位置关系 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________． (1)平行　(2)异面　[(1)因为A1D1綉B1C1，B1C1綉BC，所以A1D1綉BC，即四边 形A1D1CB为平行四边形，所以A1B∥D1C． (2)因为直线A1B⊂平面A1B，B1∈平面A1B，且B1∉直线A1B，直线CB1⊄平面A1B，所以直线A1B与直线CB1为异面直线．] 　空间两条直线位置关系的判断方法 两直线位置关系分为共面(平行和相交)和异面，其中共面时用平面几何知识处理即可，现在关键是把握异面的理解与直观想象，两直线不同在任何一个平面内，既不平行也不相交． [跟进训练] 2．(1)设空间两直线a，b满足a∩b＝∅(空集)，则直线a，b的位置关系为________． (2)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几种说法： ①若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．其中不正确的是________(填序号)． (1)平行或异面　(2)①②③　[(1)因为a∩b＝∅，则直线a，b没有交点，故直线a，b平行或异面． (2)对于①，如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 令AB所在直线为b，AA1所在直线为a． 若BC所在直线为c， 则a与c异面． 若AD所在直线为c，则a与c相交， 若BB1所在直线为c，则a∥c，故①不正确． 对于②，若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、异面、相交，故②不正确． 对于③，a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行、相交、异面，故③不正确．] 类型3　直线与平面、平面与平面的位置关系 【例3】　在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中， (1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？ (2)与平面BC′平行的平面有哪几个？ (3)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？ (4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？ (5)与棱A′D′相交的棱有哪几条？它们与棱A′D′所成的角是多少？ [解]　(1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′． (2)与平面BC′平行的平面为平面AD′． (3)有平面AB′，平面CD′． (4)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC． (5)有A′A，A′B′，D′D，D′C′． 由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A′D′所成角都是90°． 　 1．平行关系的判定(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行． (2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及6个表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行． (3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行． 2．垂直关系的判定 (1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直． (2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直． [跟进训练] 3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，试判断： (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系； (4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系． [解]　(1)AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交． 类型4　求点面距、线面距、面面距 【例4】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　) A．1 B． C．2 D．2 B　[如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1， 易知CO即为点C到平面BDD1B1的距离．又CO＝AC＝＝，所以点C到平面BDD1B1的距离为．] 　求点面距、线面距、面面距的方法 (1)点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距． (2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取． [跟进训练] 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，求MN到平面BCC1B1的距离． [解]　如图，MN∥平面BCC1B1， 所以MN到平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2， 所以MN到平面BCC1B1的距离为2． 1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一平面的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 D　[由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行．] 2．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是(　　) A　　　B　　　　　C　 　　　D C　[选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l在平面α外．故选C．] 3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．a∥c　　　　　　 B．a和c异面 C．a和c相交 D．a和c平行、相交或异面 D　[如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b． 若令B′C′所在直线为c，则a和c平行． 若令C′C所在直线为c，则a和c异面． 若令D′D所在直线为c，则a和c相交．] 4．下列命题： ①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β． 其中错误命题的序号为________． ①②　[对于①，两个平面相交，也有无数个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？ [提示]　不一定．如图所示，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线． 2．在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面有怎样的位置关系？ [提示]　直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 课时分层作业(十)　构成空间几何体的基本元素 一、选择题 1．如图所示，用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n A　[根据点、线、面的位置关系的符号表示可得α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选A．] 2．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有(　　) A．0个 B．0个或1个 C．无数个 D．0个或无数个 D　[由题意知，两个平面可能平行，也可能相交，若α∥β，则它们没有公共点，若α与β相交，则它们有无数个公共点．] 3．下列说法中，正确的说法是(　　) A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α B．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行 C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点 D．若a⊄α，则a与α没有公共点 C　[AD中，a与α可相交；B中a与α内的直线可异面．故ABD不正确，C正确．] 4．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是(　　) A．c与a，b都相交 B．c至少与a，b中的一条相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条平行 B　[∵a⊂α，c⊂α， ∴a与c相交或平行． 同理，b与c相交或平行． 若c∥a，c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾． ∴a，b不能都与c平行，即直线a，b中至少有一条与c相交．] 5．已知如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　) A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线 B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线 C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线 D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线 C　[设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝， GH＝＝ ＝， 所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面，所以EF与GH是共面直线，且EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．] 二、填空题 6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在直线中，与直线AB1是异面直线的棱的条数是________． 6　[长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中，与直线AB1异面的有A1D1，D1C1，DC，BC，CC1，DD1，共6条．] 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________． 2　[如图，平面ABCD∥平面EFGH， 又因为AA1⊥平面ABCD，E为AA1的中点， 所以平面ABCD与平面EFGH的距离为AA1＝×4＝2．] 8．下列说法： ①若直线a不与平面α相交，则a∥α； ②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α； ③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中说法正确的为________．(填序号) ③　[对于①，直线a不与平面α相交包括两种情况：a∥α或a⊂α，所以a和α不一定平行，所以①说法错误；对于②，因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以②说法错误；对于③，因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a与平面α内的无数条直线平行，所以③说法正确．] 三、解答题 9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，请写出： (1)三对平行的平面； (2)三对垂直的平面； (3)直线AD1与平面BC1的位置关系； (4)直线AD与平面AB1的位置关系． [解]　如图， (1)平面AB1与平面DC1，平面AD1与平面BC1，平面AC与平面A1C1分别平行． (2)平面AB1与平面AC，平面AB1与平面AD1，平面AC与平面BC1分别垂直(答案不唯一)． (3)直线AD1平行于平面BC1． (4)直线AD垂直于平面AB1． 10．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的有 (　　) A．AD1∥平面BCC1B1 B．AC与BC1相交 C．点A1，D1到平面BCC1B1的距离相等 D．与AB平行的平面只有一个，与AB垂直的平面有两个 AC　[B中，AC与BC1既不平行也不相交；D中，与AB平行的平面有两个，分别为平面A1B1C1D1和平面CDD1C1．] 11．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 D　[如图，构建长方体ABCD-A1B1C1D1，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4； 若l4＝C1D，则l1与l4相交；若取l4＝BA，则l1与l4异面；若取l4＝C1D1，则l1与l4相交且垂直，因此l1与l4的位置关系不能确定．] 12．已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交． 其中正确的序号是________．(将你认为正确的序号都填上) ③　[因为在两个平行平面内的两条直线没有公共点，所以可能平行，也可能异面，所以③正确，①②错误；④中a与β也可能平行．] 13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则点B到平面ADD1A1的距离为________，直线AC与平面A1B1C1D1的距离为________，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为________． 3　1　2　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1， 所以点B到平面ADD1A1的距离为AB＝3， 即点B到平面ADD1A1的距离为3． 因为AC∥平面A1B1C1D1， 所以直线AC上任意一点到平面A1B1C1D1的距离相等． 因为AA1⊥平面A1B1C1D1， 所以点A到平面A1B1C1D1的距离为AA1＝1， 所以直线AC与平面A1B1C1D1的距离为1． 平面ABB1A1与平面DCC1D1平行， 且BC与平面ABB1A1、平面DCC1D1都垂直， 所以线段BC为平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离， 故平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为2．] 14．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明． [解]　直线PQ与平面AA′B′B平行．证明如下： 连接AD′，AB′，则P是AD′的中点，在△AB′D′中， 由已知条件可得PQ是△AB′D′的中位线， 因为平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′， 所以PQ在平面AA′B′B外，又PQ在平面AB′D′内，且与直线AB′平行， 所以PQ与平面AA′B′B没有公共点， 所以PQ与平面AA′B′B平行． 15．若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　) A．48 B．36 C．24 D．18 B　[①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得2个“正交线面对”．正方体共12条棱，可得“正交线面对”为2×12＝24(个)． ②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得1个“正交线面对”．正方体共12条面对角线，可得“正交线面对”为1×12＝12(个)． ③不存在包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线垂直． 综上所述，共有24＋12＝36(个)．] 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $