广东茂名市2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025一2026学年度第二学期期中考试 高一数学参芳答案和解析 题号 P 9 10 11 答案 B D D B ACD ACD BC 12.(-4,-7). 13.2 14.20 5.【详解】解法-因为△=2-4ac=1-4=-3<0,由2=-b±-(2-4ac2 2a 释出面号±.所划好+子 +3 22-2 解法二设z=a+bi(a,beR),则(a+bi2+a+bi+1=0, 计算可得a2-b2+a+1+(2ab+b)i=0, 1 a=- 2ab+b=0 所以 a2-b2+a+1=0' 计算可得 2 所以=Va2+b-1. 6.【详解】b在a方向上的投影向量为 ab a 6÷3- -a=-a 1a1a168 8.【详解】 如图所示 PA.PC=(PM+MAPM+MC)=PM'+PM.MC+MA.PM+MA.MC =1+PM.(MC+MA)+0 由图像可知MC+MA=+(V3'=2,MC+MA与PM夹角的范围为[0，， 高一数学期中考试参考答案和解析第1页共6页 所以PM·(MC+Md=PMMC+Mcos<PM,MC+MA>∈【2,2] 所以PA·PC∈[-1,3] 故选：A. 10.【详解】对于选项A,设=a+bi,a,b∈∈R,则z2=Z=a-bi,那么乙2=a2+b2, 且2=a2+b2,所以z2=,故A正确. 对于选项B,举反例：21=1，z2=i,模都是1，但z1≠z2,故B错误. 对于选项C,设，=reR,且r≠0，则名=eR故C正确 对于选项D,21=a+bi,22=x+yi,则 Iz22(ax-by)+(ay+bx)i=(ax-by)2+(ay+bx)2=(a2+b2)(x2+y2)= |21‖z21故D正确. 11.【详解】由题可知小球运动的周期T=2s,又0>0，所以2红=2，解得0=元， 0 当t=0s时，Asinp=-A,即sinp=-1,回<元，所以p=-元， 2 则h()=Asin元t- =-ACosπt,故A错误； 2 5 因为h(9)=-Acos9π=A, A, 2 A =2 所以1=9秒与1秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为4 故B正确： 若0<t<t。,则0<πt<πt。,又当0<t<t,时，小球有且只有三次到达最高点， 所以5π<πt≤7π，解得5<t。≤7，即t∈(5,7]，故C正确： 3 因为h()=-Ac0st,令4=46=4， 则6)=-Acos交=-5A,i)=-Aos 3元V2 A, 42 42 满足0<t<t,<2且，，时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时sin π =sinπ=0，故D错误. h+h, 故选：BC. 12.【详解】设P的坐标为，)，由题知点P分有向线段PP2的比为 x=当+ 11 ×2 -1-1x5 由 1+2 得x=一 2 -=-4,y= =-7 y1+y2 1 1 y= 1+元 11 1- 2 2 高一数学期中考试参考答案和解析第2页共6页 所以点P的坐标为(-4，-7). 13.【详解】解法一：设A(-1,0),B(1,0),C(0,m),则 AB=(2,0),AC=(1,m),AB·AC=2 解法二：作CD⊥AB交AB于D,则AD上AB=1,coSA= AD ACAC1c0s4=2 AC40-2 14.【详解】设=a+bi,β=a-bi,则a+B=2a=-4,所以a=-2, 不妨设a,B,2在复平面内对应的点依次为A,B,C, 若，B,2在复平面内对应的点构成直角三角形， 则∠ACB=受由A、B关于x轴对称，得∠ACD牙 4 AD=CD=4, 所以b=±4，故c=0B=a2+b2=4+16=20 15.【详解】(1)因为向量a与万的夹角为子，且园=25=v2, 则a-6a川61cos<a,62x2×2 =2 。。3分 (2)la=2,l=V2,且a万=2. 可得a-万=Va-列=va2+b2-2i-万-Va+-2a.i=4+2-4=2.8分 (3)设向量a-b与向量a的夹角为6， 可得cos0=a-6-a-a-a-6_@-a-64-2-V2 a-aa-da-a2x22’ 因为0∈[0，元]，可得0=元，所以向量a-方与向量ā的夹角为乙 13分 4 16.【详解】 (1)由正弦定理得b=2 R sin B,a=2 Rsin A, 代入bsin A=V3 a cos B,得sin Bsin A=V3 sin Acos B,因为sinA≠0，所以 sinB=V3cosB,得tanB=3,因为B∈(0，π)，所以B= 3 00000000000000.4分 (2)在A4BC中，a=2,b=7,B=于由余弦定理得B2=a2+c2-2 aecosB 故7=4+c2-2c,解得c=3,或c=-1(舍去》 由三角形面积公式得S似=)csi加B=×2×3x5_3 2 22 。00000000000000000.9分 (3)在AMBC中，b=万，B-胥由余张定理6=a2+c2-2ac0sB得 高一数学期中考试参考答案和解析第3页共6页 。+c2-2acos写-7整理得(a+oP-3ac+7,所以a+e≤3x2+7 3 解得a+c≤2√7，a+b+c≤3v7当且仅当a=c=V7时等号成立， 又因为a+c>b,所以，a+c+b>2b=2√7 所以，若b=√7，△ABC周长的取值范围是(2√7,3√7]。 0.9000000000.15分 17.【详解】(1)设名，=a+b1a,b∈R,b≠0)，则 =+片a0+o哈M6, 因为-1≤，≤1，所以z2是实数，得b1-,1 +)=0,因为b≠0，所以1J a2+b2=0 得a+b=1,所以a1,2=2a,所以-1s2as1,得-1≤ .1 三≤a≤二。即z,的实部 的家省置时内号为： 。0000000000000000000000000000000000000000000000.5分 (2)0= 1-a1_1-a-bi_1-a-bi)1+a-bn_1-(a2+b2)-2bi_-b ,因为 1+2 1+a+bi (1+a)2+b2 1+a2+2a+b21+a b≠0，所以o是纯虚数。 0000000000000000000000000000000000000000010分 (3)2,-m2=2a-(-b2=2a -b2 1+a 1+aj=2a+ 1-a2 1-a +a2-2a+ +a =2a-1+2=2a+0+ 2 1 1 ,a+1>0,所以当 a+1 -3，因为-≤a≤2 a+1 2 2 2a+1》=2即4=0时，，-0取得最小值1 a+1 0000.00000.00。000000.15分 18.【详解】4）设0的最小正周期为T,则T=2×8-2》=2证，解得@-若。 0 A+B=70 A=30 由题意得 A+B=10'得 B=401 由上面解答过程知0)=30sim。+P十40，令1=2， 可得30sin +0+40=70, 3 即sm+9，又 解得p-名 000000000000000000000000000000000000000000000008分 (2)因为h0=30sinz1+ +40,所以h(0)=55m,故入口处M离地平面的高度为55m. 66 。0000000000000000000000000000000000000.11分 高一数学期中考试参考答案和解析第4页共6页 (3)由30sin 1++40≤25， 得sin 、66 所以7πs π1lπ 一t+ 6666 解得6≤t≤10,10-6=4，所以一个周期内过山车距离地平面的高度不大于25m的时长为 4s. 00000000000000000000000000000000000017分 19.【详解】(1)由题意可知，G、马的夹角为7， 4 由平面向量数量积的定义可得e,·e2=e,lle2 Icos 42 若a=(1,2),则a=e+√2e,, 则a=(g+2G-g+2g+2w2ee,-1+2+2V2× +2 2 所以a=V5. 0.00000000000.000000000000000000000000000000000000004分 (2)由a=(-1,3),b=(-3,),得a=-g+36,6=-3g+6, 且g·e2=1x1×cosa=cosa, 所以a2=(-+38=G-6e6+9g2=10-6cosa, →2 6=(-3g+g°=9g-6e6g+6=10-6osa, 则l向=5=0-6cosa,a6=(g+3e}(←3+e) =3e+3e,-10e·e,=6-10cosa, 因为a与万的夹角为行，所以o 元-a-6_6-10cosa=1 3同10-6osa-2,解得cosa= ·。00.10分 (3)依题意，设B(m,0、C(0川(m>0,n>0,且∠B0C=子8C=1, mgx- 因为F为BC的中点，则OF=O丽+BF=O丽+8C =0丽+oc-0例-oc+0=g+2g, B 高一数学期中考试参考答案和解析第5页共6页 因为E为BD中点，同理可得O正=OD+OB=me 。me 38g, 1 由题意知g=6,=1,G6=Pxco832' +2 42 ,π1 则际o际-+6r(m4r+r品 7m101_1 .13 , 在△OBC中，依据余弦定理得m2+n2-mn=1,所以mn=m2+n2-1, 代)元半月0E.0F=8m+n2-=(8m2+5n2-5： 19 19 7619 BC OB OC 在△OBC中，由正弦定理得sin sin∠COB sin.∠BC0, 3 设∠C0=0,则sn∠CB0=sm0+)且0<0< 2π 3 所以=行血0， sin0+。 （3 3 32.1-cos20 3 3 2 81-c20+51+nws20+9n29 2sin2a。 o20-[3+7sn0-o月，9为锐角，且mp 11 5v5 因为0<0< 20,则-0<20-9< 3 -, 故当20-9-时，8m+5x取极大值和3+7列-0. 3 则o死0丽-m4s)号6智号器 。000.0000000.000000.000.17分 高一数学期中考试参考答案和解析第6页共6页2025一2026学年度第二学期期中考试 高一数学 (考试时间：120分钟，总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知复数=cos答十iin否，4=cos答+iin写，则|z=() A号 B.1° C.2 n号 2.为了得到函数y=02x的图象，只需把函数y=os(2x一受)的图象上所有点（ ) A向右平移号个单位长度 B.向左平移弩个单位长度 C.向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度 3.在△ABC中，BC=2,AC=1十√3，AB=√6，则角A=() A.135° B.120° C.60° D.45° 4.已知a=(-2,4),i=(1,m),(2a+)∥a,则a-i=() A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(6,3) 5.已知复数之满足z2+之十1=0，则|z的值为(·) A号 B号 C.1 D.2 6.已知a=4,|=3,a·方=6，则方在a方向上的投影向量为( ) A号8 c号五 D.i 7.函数f(x)=Acos(x十)(A>0,u>0,p<)的部分图象如图所示，将函数y=fx) 高一数学期中试卷第1页（共6页) 的图象向右平移苓个单位长度得到函数)y一g()的图象，则g()=() A司 B.1 C.√2 D.3 5 8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径， 若点P为圆M上一动点，则P才·P心的取值范围为() A.[-1,3] B.(-1,3) C.[-2,2] D.(-2,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9.在下列各组向量中，不可以作为基底的是() A.a=(0,0),i=(1,-2) B.a=(-1,2),i=(5,7) C.a=(3,5),i=(6,10) D.a=(2,-3),i=(分，-) 10.已知名，2是复数，则下列说法正确的有() A若z2=,则12=|22 B.若引z=|z2|,则=z2 C.若∈R,则z∈R D.|z1z21=|a1llz2 11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关 系式h(t)=Asin(at十p)确定，其中A>0,a>0,|p<π.小球从最低点出发，经过 2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是() h>0 h=0 h<0 高一数学期中试卷第2页（共6页） A.h(t)=Asin() B.1=9秒与=号秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C.当0<t<o时，若小球有且只有三次到达最高点，则∈(5,7门 D.当0心<a<2时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相胴，则，干)=1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设点R(-1,-1),P,(2,5),P是直线P1P上一点，当P市=-2P呼时，点P的 坐标为 13.如图，在⊙C中，已知弦|AB引=2，则AB.AC= 14.设a,B是关于x的方程x2十4x十c=0的两个虚数根，若a,B,2 在复平面内对应的点构成直角三角形，则c= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(满分13分)已知向量a与方的夹角为牙，且1a1=2,1=2. (1)求a·b的值； (2)求a-的值； (3)求向量a一与向量a的夹角的大小 高一数学期中试卷第3页（共6页） 16.(满分15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsnA=√3 acosB (1)求角B的大小； (2)若a=2,b=√7，求△ABC的面积； (3)若b=√7，求△ABC周长的取值范围。 17.(满分15分)尼知是虚数o导么+名且-1长≤1 (1)求|1|的值和1的实部的取值范围； (2)求证：w为纯虚数； (3)求2一w2的最小值。 高一数学期中试卷第4页（共6页) 18.(满分17分)图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直 角坐标系，如图2，h(单位：m)表示在时间1（单位：s)时，过山车（看作质点）离地平 面的高度，轨道最高点P距离地平面70m,最低点Q距离地平面10m,当=2s时， 过山车到达最高点P,当t=8s时，过山车到达最低点Q,设 h(t)=Asin(@t+p)+B(A>0,@>0,lpl<). M 8 图1 图2 (1)求A,B,w,p的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于25m的时长。 高一数学期中试卷第5页（共6页） 19.(满分17分)如图，设Ox、Oy是平面内相交成角a(0<a<π)的两条数轴，e1、2分 别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy仿射坐标 系，在2Oyo仿射坐标系中，若O=xC1十ye2,则记O=(x,y). D B (1)在x0y仿射坐标系中，若a=(1W②)，求1a; (2)在x0%仿射坐标系中，若a=(-1,3),石=(-3,1)，且a与石的夹角为5，求coa (3)如图所示，在Oy,仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，1B心=1， O市=0花，E,F分别为BD,BC中点，求O.O的最大值 高一数学期中试卷第6页（共6页）