广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试卷

2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学参考答案及评分标准 一、选择 1 3 3 4 5 6 8 9 10 11 C B A D D A B C BD ACD ABD 11.【详解】如图所示： 对A选项，易知HL为正方形，\AB/1GF,A选项正确； B 对B选项，：AB/1GF,AB庄平面EFG,GFC平面EFG, A ∴.AB/平面EFG,又ABC平面ABDC,且平面ABDCO平面EFG=I, AB/I,又AB/CD,∴.CD/II,B选项正确： 对C选项，根据题意可知上、下两个正四棱锥的所有棱长都为3， 上、下两个正四楼锥的高为边长为3的正方形H几的对角线一半，即为3 2 一个大正四棱锥的体积为x3×3x3V2.9 3 22 ,又截去的一个小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为1：3， ·一个小正四枝锥的体积为2x1.V巨 227g该华多面浓的体积为2女-6x282C项蛋跟 6 对D选项，根据题意可得该半正多面体的表面积为： 6×1+8×6x×1×1×5=6+125,D选项正确.故选：ABD. 2 二、填空题 260政号 13.【答案】 2-3 14.【答案】4V 91 14.【详解】解：，M,N分别是BC,AC的中点， -西+a©--正-号4c- AM·BN .:M与BN的夹角等于∠MPN∴.cos∠MPN= |AMI‖BNI 4M.BN-aB+4C-}Ac-A月 西-4c-40+4cA84×2x5×60×2+x5-3, 而8+c+a0-存4355 2 ∴.cos∠MPN= 3 4V91 39√2191· 22 三、解答题 15解(1)因为向量a与6的夹角为号且=2=万， 则a万-问la6-2x.5-25分 (②)因为向量a与方的夹角为行且同=2,5=万，且a5=2 -6分 可得a-Va-列=园+2-2-b=V+-2a.6=4+2-4=5-13分 16.【详解】(1)因为复数z=(m2+m-2)+(4-2)i是纯虚数，所以 m2+m-2=0 4-m2≠0 -2分 由m2+m-2=(m-1)(+2)=0,解得1=1或m=-2.- --4分 当=1时，4-m2=3≠0，符合要求；-5分 当=-2时，4-m=0,不符合要求，舍去， -6分 所以m的值为1： -7分 （2)当m=-1时，复数2=-2+3i,- -8分 由题意知复数z=-2+3i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根. 因为方程x2+px+q=0的系数卫，9为实数， 所以方程的另外一个根是z的共轭复数三=一2-3i. --10分 所以由韦达定理可得 （-2+31)+(-2-31)=-p (-2+31)(-2-31)=q -13分 p=4 解得 9=13 -15分 17.解(1)由V3 asinC=c(1-cosA)及正弦定理得V3 sin AsinC=simC(1-cosA), ----1分 因为0<C<元，所以sinC≠0，所以V3sinA=l-cosA, -2分 2 -4分 因为0<A<元，所以工<4+工<匹，所以4+亚=5红，所以4=2四 66 -6分 6 66 3 (2)①由bcosC+ccosB=V10,可得b b3+a2-c2 c2+a-B +C× =10, -7分 2ab 2ac 所以a=√10： -8分 1 ②由4S=b+c,可得4×2×csA=6+c, -9分 由(1)知A= 否则4x)xcx5=b+e 2 -11分 2 2 所以V3bc=b+c, -12分 又由余弦定理可得a2=b2+c2-2 be cos 4, 所以10=b2+c2+bc=(b+c2-bc, -13分 所以10=3b2c2-bc,解得bc=2或bc=- 5 3 (舍去)， -14分 所以△4BC的面积为1 x bcsin A= -15分 2 18证明(1)：连接AC交BD于G,连接GE,如下图： -1分 P E F木- 11 二= G H B 由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点， -2分 所以GE为中位线，则GE/IPA, - --3分 又GEc面BDE,PA丈面BDE,故PA/平面BDE: -4分 (2)由题设知：CD/IAB,ABC面ABEF,CDt面ABEF,所以CD/面ABEF,--- -6分 又CDC面PDC,面PDC∩面ABEF=EF,所以CD/IEF,- -8分 又E为棱PC的中点，即EF是△PDC的中位线，- -9分 3 故F为PD的中点： -10分 《3)存在N使得FN1I平面BDE且C=1,理自如下： -11分 NB H为AB中点，连接FH, 出政谢=48=cD且敬C0,出ay为cD/且m-n, 2 -13分 所以BH/EF且BH=EF,即BHFE为平行四边形， -14分 所以FH//BE,而BEC面BDE,FH文面BDE, 15分 所以FH/面BDE,故所求N点即为H点， -16分 则AB上存在点N使得FN/平面BDE,且 -17分 B 19(1)sin2 4+cos2 B+cosC+sin BsinC=2,sin4+1-sin B+1-sin'C+sinBsinC=2, 即sinBsinC=sinB+sin2C-sinA,在△ABC中，由正弦定理得bc=b2+c2-a, --2分 b2+c2-a21 由余弦定理得cosA= -3分 2bc 而0<A<元， -4分 所以A= 3 -5分 (2)由BD:DC=1:2,得BD=DC, -6分 则而-+0=孤c-丽+ac-=丽+4c, -8分 3 3 所以AD咔写2A丽+4©=写4c+6+hc0aA-V6+1+412 121 2=3 -10分 ⑧依题意，a+办+c1-c82a 2 1 1 cos(B)sin'(C) =(@+b2+c1+1+ 1 b 2-92=48 sin2A'sin2B'sin'CsinA sinB'sinc 元 -16分 sin 3 当且仅当△ABC为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.- -17分2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学 说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数=1-2i,则2i的虚部为() A.-1i B.-2 C.1 D.-2i 2.已知向量a=(2,1),b=（2,-1),且a/b,则2=() 1 1 A. 2 B.2 D. 3 3.如图，AOAB是水平放置的△OAB的直观图，OA=2,O'B'=3,∠AOB=45°，则原△ABC的面积为 ( A A.6 B.4√2 C.32 D.8 B 4.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC-2AE=() A.0 B.ED C.DE D.2ED 5.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=√13，B=60°，则c=() A.1 B.2 C.3 D.4 6设，b是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若a/1B,aca,则a/1B B.若a//a,b/1a,acB,bcB,则B11a C.若/1p,b/1a,则b/1p D.若a/1a,b11a,则b/1a 7.已知向量=2√2,6=(1，-1)，a+=2v5,则向量ā在6上的投影向量为() A203 c.(2,-2) D.（-2,2) 1 8.大美中国古建筑名塔榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为OT,测量小组选取与塔底O 在同一水平面内的两个测量点A和B,现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m,在点 T B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为() A.15m B.15√2m C.15v6m D.15√3m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是() A.若i为虚数单位，则i3=i B.若为纯虚数，则z2是实数 C复数 2一的共轭复数为2+1 D.复数-2-i在复平面内对应的点位于第三象限 10.己知平面向量=(3,4)，b=(7,1),则下列结论正确的是() A.a+b=10,5) B.|b=10d c.aL(a-B) D.a与b的夹角为45° 11.半正多面体亦称“阿基米德体”“啊基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，某半正 多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正 四棱锥黏合而成)切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是() B A.AB∥GF B.若平面ABDC⌒平面EFG=1,则CD∥I C该半正多面体的体积为7 D.该半正多面体的表面积为6+12√3 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在正方体ABCD-ABC1D1中，直线BA与直线AC所成角的大小为 13.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为」 2 14如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN 的余弦值为 B M 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 已知向量a与万的夹角为子且月=2月=5 (1)求ab的值： (2)求a-的值： 16.(本小题满分15分) 已知复数z=(m2+-2)+(4-m2)i,meR,i是虚数单位. (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当m=-1时，复数2是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值. 17.(本小题满分15分) 在4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且V3simC=c(1-coA) (1)求A. (2)设△ABC的面积为S,且4S=b+c,bcosC+ccosB=√10 ①求a的值： ②求△ABC的面积 3 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F. 分 (1)求证：PA//平面BDE; (2)求证：F为PD的中点； (3)在棱AB上是否存在点：使得FN/平面BDE若存在，求出 的值；若不存在，说明理由、 NB 19.（本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,C,sinA+cos2B+cos2C+sin BsinC=2. (1)求A: (2)若b=1,c=2,D为线段BC内一点，且BD:DC=1:2,求线段AD的长： (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意 的x,x2,y1,y∈R,都有(xx+yy)≤(x+y)(x+y)被称为柯西不等式：若a=2,求： (c)]c052 +1 cos受鸟ma+C的版小省. 4