第十章 复数（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版高一必修第四册

第十章 复数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ，故B正确． 故选：B． 2．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：A 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 代入得到， ， 即， 所以，即 ， 所以， 则. 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，故，则，故， ， 故选：D 5．若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设且， 则， 因为为实数，所以， 因为，所以， 故虚数的实部为. 故选：C 6．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】 【详解】因为复数满足，则z对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 表示的几何意义为圆上点到原点的距离，到原点的距离为， 则，即的取值范围为. 8．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由得，即，， 故，故B正确.nn 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 【答案】ABD 【详解】设， 若，则，则， 则， 则， 故，故A正确； ，故B正确； 表示点，两点间的距离， 因为，当时有最小值， 则的最小值为，故C错误； 因为，为实数，所以为实数，故D正确. 10．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，设，， ， 所以 所以，A选项正确； 对于B选项，不妨取，，则， 由，得，显然不成立，故B选项错误； 对于C选项，若，不妨取，， 此时，但不成立，故C选项错误； 对于D选项，若是方程的两根，则根据韦达定理可知，则，故D选项正确． 11．一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【答案】 【详解】法一，所以的共轭复数为． 法二，所以的共轭复数为． 故答案为：. 13．若i为虚数单位，则________． 【答案】 【详解】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 14．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 【答案】四 【详解】设（，），则，则， 在复平面内对应的点为. 当时，位于第三象限， 当时，位于第二象限， 当时，位于第一象限， 当时，位于坐标轴上. 综上，不可能位于第四象限.nn 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 设，所以， 因为为实数，所以即，所以， （2）因为，， 所以对应点坐标，， 所以，， 因为，， 所以、与轴所成角相等，设为， 所以，，， 所以， 所以. 16．（15分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，所以，故； （2）因为复数， 且在复平面内对应的点在第二象限，所以， 故实数的取值范围是. 17．（15分）已知复数，且是实数. (1)求a的值； (2)若，且，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为是实数，所以，解得； （2）由（1）可知或， 当时，， 所以，. 因为，所以， 整理可得，即或    ， 解得或. 当时，同理可解得或. 综上，m的取值范围是. 18．（17分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 19．（17分）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ， 故，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 6．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 8．设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 10．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 11．一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 13．若i为虚数单位，则________． 14．已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 16．（15分）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 17．（15分）已知复数，且是实数. (1)求a的值； (2)若，且，求m的取值范围. 18．（17分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 19．（17分）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $