第九章 解三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版高一必修第四册

第九章 解三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 2．在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 4．已知的面积为，角为锐角，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 6．如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，______（隐约可见数字‘6’），满足条件的有两个，”则残损处可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，，则的面积可以是（    ） A． B．1 C． D． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为 11．如图，四边形内接于半径为R的圆O，其中，，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．圆O的周长为 C． D．四边形的面积为12 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 13．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 14．已知为锐角三角形，内角所对的边分别是，，则的取值范围是__________. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 16．（15分）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 18．（17分）如图，四边形满足，且. (1)求的大小； (2)当时，求的正切值. 19．（17分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 2．在中，，且，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由，得，所以； 又，由正弦定理得，所以是等边三角形. 故选：C. 3．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 4．已知的面积为，角为锐角，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 即，解得， 因为角为锐角，所以，， 在中，， 即，解得， 则， 则有． 故选：D. 5．某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 6．如图，一张残损的纸条上写着：“在中，，，______（隐约可见数字‘6’），满足条件的有两个，”则残损处可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，当时，此时三角形的三边确定，此时三角形唯一，不符合题意. 选项B，当时，在中，由余弦定理：， 所以，此时三角形唯一，不符合题意. 对于C，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或， 此时三角形唯一，不符合题意. 对于D，当时，设，在中，由余弦定理：， 即，整理得，解得或. 经检验和均可以构成三角形，满足条件. 7．已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及，可得， 化简可得，由正弦定理边角互化可得， 则有，即， 所以，， ， 令，， 由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 此时. 所以的最大值为. 故选：D. 8．今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意圆形木板的直径为，设截得的四边形木板为， 设，，，，，， 如下图所示，由且，得， 在中，由正弦定理得，，解得， 在中，由余弦定理，得， 所以，得， 当且仅当时等号成立． 在中，， 由余弦定理可得：， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积最大值为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，，则的面积可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】AD 【详解】解：∵， 由余弦定理得， ∴， ∴，或， ∴由的面积公式得或， 故选：AD． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，如下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若满足条件，的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【详解】对于A，若为直角三角形，，则，故A错误； 对于B，由和正弦定理，，即， 因，则，即，故B正确； 对于C，因的内角只能为锐角、直角或钝角，由可知，在符号上只能是三正或者两负一正， 而三角形中最多只有一个钝角，故三者只能是三正，即都是锐角，故C正确； 对于D，由满足条件，的有两个，可知，即，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，四边形内接于半径为R的圆O，其中，，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．圆O的周长为 C． D．四边形的面积为12 【答案】ABC 【详解】对于A，连接.在中，； 在中，， ，，解得. ，，故A正确； 对于B，由正弦定理，得， 圆O的周长为，故B正确； 对于C，由题意，故C正确. 对于D，， ， ∴四边形的面积，故D错误. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 【答案】 【详解】因为，代入得，化简得. 由余弦定理， 结合， 得. 因为为边长，故. 13．落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 14．已知为锐角三角形，内角所对的边分别是，，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意得， 因为锐角三角形，所以，则， 所以，即，所以. 由余弦定理得，即， 所以，则， 所以， 由正弦定理得，所以， 则 ， 因为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以， 则. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 16．（15分）已知向量，，且，. (1)求的值； (2)在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. （2）已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． (1)求角C的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求c； (3)若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理边角互化，可得： ， 又，则； （2）， 又， 由余弦定理：， 所以； （3）由题可得， 则 ， 由基本不等式，， 则，当且仅当时取等号. 18．（17分）如图，四边形满足，且. (1)求的大小； (2)当时，求的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以， 又因为， 所以，则， 所以， 因为，所以，则，即， 所以. （2）由（1）知，，而， 由余弦定理得， 满足，所以， 设，因为，所以，，，为锐角， 所以， 所以， ，， 所以， 又因为，所以，则， 即，解得（舍去）， 19．（17分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $