第9章 解三角形 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 第九章 解三角形 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,a=√6， 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) aA=名则△ABC的面积S为 整 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 A①5 △ABC的面积为2+B-C,则C 2 B.√5 ( 4 C.85 D.65 5 A.2 B号 7.若sinA=cosB=osC,则△ABC是( a b 如 C. 4 D.晋 A.等边三角形 2.在△ABC中，aeos(受-A-cos(受-B则 B.有一内角是30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 △ABC的形状是 D.有一内角是30°的等腰三角形 A.等边三角形 8.在△ABC中，AB=7,AC=6,M是BC的中点， B.等腰三角形 AM=4,则BC等于 ) C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 A.√21 B.√/106 C.√69 3.在△ABC中，sinA= a=10,则边长c的取 3 D.154 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20 值范围是 ( 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 B.(10,+∞) 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得 0分.) C.(0,10) n,] 9.已知△ABC的面积为√3且b=2,c=2,则A等 4.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 于 ( ) 为a,6,且-=a6,C-吾则部分的值为 A.30° B.150 C.60 D.120° 娇 10.下列关于△ABC的结论中，正确的是( A. 1 B.1 A.若a2>b2+c2,则△ABC为饨角三角形 C.2 D.3 B.若a2=b+c2+bc,则A=60 5.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值 C.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形 D.若A>B,则sinA>sinB 为了，则其外接圆的半径为 ( 1.已知△ABC的面积为号，且b=2,c=5,则 A.92 2 B.9② 4 A= C.9 A.30° B.60° D.9√2 8 C.150° D.120 。 5 12.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对 此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解 边，给出下列条件，能推出△ABC为等腰三角 答，若两个都选，则按第一个解答计分) 形的条件有 ) 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对 A.sin A=sin B 的边， B.sin2 B=sin2A+sin'C (1)求A: C.sin A=2cos Bsin C (2)若a=√3-1，求△ABC面积的最大值. D.cos 2A=cos 2B 题号 2 3 4 56 789 101112 答案 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分.) 13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C 所对的边.若a=1,b=√3，A+C=2B,则sinC 14.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC=10m, 吊杆AC=15m,吊索AB=5√19m,起吊的货 物与岸的距离AD为 18.(本小题满分12分)如图所示，在 △ABC中，B=号，AB=8,点D在 BC边上，CD=2,os∠ADC=7 15.△ABC的三边之比为3：4：6，则最大角的余 (1)求sin∠BAD; 弦值为 ,较大锐角的角平分线分三角 (2)求BD,AC的长. 形的面积比是 16.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公 路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的 方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏 西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是 km. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)现给出两个条件：①2c √3b=2 acos B,②(2b-√3c)cosA=V3 acos C. 从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以 ·6 19.(本小题满分12分)在锐角△ABC中a,b,c分 20.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C所对 别为角A,B,C所对的边，且a=2 csin A. 的边分别为a,b,c.已知sinA+sinC=sinB(p (1)确定角C的大小； ∈R,且ac=. (2)若c=7,且△ABC的面积为3.求a十b 1)当p=是，=1时，求a,c的值： 的值。 (2)若角B为锐角，求p的取值范围. ·7· 21.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的 22.(本小题满分12分)如图，某城市有一条公路 对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. 从正西方AO通过市中心O后转向北偏东 (1)求B: (受-@角方向的OB.位于该市的某大学 (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值. M与市中心O的距离OM=3√3km,且 ∠AOM=3.现要修筑一条铁路L,在OA上设 一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为 直线段，且经过大学M.其中tana=2,cosB= 后A0=15km. 3 B/ L L (1)求大学M与站A的距离AM; (2)求铁路AB段的长度. ·8·参考 22.解：(1)cosC=cos[180°-(A+B)] =-cos(A+B)=-子 又因为C∈(0°，180)，所以C=120°. (2)因为a,b是方程x2-2√5.x十2=0的两个根， 所以+b=2尽， {ab=2. 所以AB2=a2+b2-2 abcos120°=(a+b)2-ab =10, 所以AB=√10. 第九章 解三角形 (B卷) 1.C[因为SaAc=号absin C,所以+-L 4 2 absin C,即a2+b2-c2=2 absin C.又由余弦定理， 得a2+b2-c2=2 abcos C,故2 abcos C=2 absin C,即 cosC=sinC,所以在△ABC中，C=于，故选C.] 2.B[原式可化为asin A=bsin B,由正弦定理知a2= b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.] D[“cA-号c= 3sinC,又0<sinC 10K<9] 4.C[由余弦定理得c2-b2=a2-2 abcos C=a2-ab, 又c2-b2=ab,所以a2-ab=ab,所以a=2b,所以由 正弦定理将如合号-2] 5.C[设另-条边为，则2=22+32-2X2X3X号， 六2=9x=3设c0s0=子，则im0=2g2 3 2R=品0259Y2R-9g减C] sin 0 22 4 3 6.A[由b2-bc-2c2=0可得(b+c)(b-2c)=0. ∴.b=2c,在△ABC中，a2=b2+c2-2 bccos A,即.6=4c2 +2-42,写∴c=2,从而6=4Sa=loin A =号×1x2x,-(-四故选A1 7.C[sinA=cos B,.acos B=bsin A.'.2R sin A b cosB=2 Rsin Bsin A,2 Rsin A≠0.∴.cosB=sinB, ∴.B=45°.同理C=45°，故A=90°.故C选项正确.] ·4 答案 8.B[设BC=a,则BM=MC=号.在△ABM中，AB2 =BM2+AM2-2BM·AM·cOs∠AMB,即72= 72+4-2X号×4：cos∠AMB. ① 在△ACM中，AC2=AMP+C-2AM·CM· cos∠AMC, 即62=4+子a2+2X4X号·cos∠AMB. ② ①+@得：72+62=42+4+2a2,∴a=16.] 9.CD [S=hesinA=X2x2XsinA 民8imA号4=60°或120 10.AD[A中，由a2>b2+c2,得cosA<0,故△ABC 为钝角三角形：在B中，得A=120°：C中，a2+b2> c2,只能得∠C为锐角；D中，在△ABC中，A>B,所 以a>b,所以sinA>sinB.] 1.BD[因为S=2 esinA=是，所以2×3X5sinA =号所以nA-号，因为0<A<180,所以A 60°或120°.故选BD.] l2.ACD[A中，由sinA=sinB,得A=B,故为等腰三 角形；B中，由sin2B=sin2A+sin2C,得b2=a2+c2, 故为直角三角形；C中，由sinA=2 cos Bsin C,可化 为sin(B+C)=2 cos Bsin C,即sin(B-C)=0, .B=C,故为等腰三角形：D中，由cos2A=cos2B 可得2A=2B,即A=B,故为等腰三角形.] 13.解析：在△ABC中，A+B+C=π，A+C= 2B.B=子 由正获定理知，nA-B-子又a, b A=否，C=受smC=1. 答案：1 14.解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB= AC2+BC2-AB2-152+102-(59)2=-1 2AC·BC 2×15×10 21 所以∠ACB=120°，∠ACD=180°-120°=60°. 然后由正弦定理。AD AC sin∠ACD sinZADC,可得 AD=ACsin60°=153 2(m). 答案，155m 2 数学B版 15.解析：不妨设a=3k,b=4k,c=6k,则最大角为C, 且c0sC=（3k)2+（462（6k)2=- 2×3k×4k 24 因为cOsC<0,故∠C为钝角，则B为较大锐角，设B 的平分线交AC于D,则S1:S2= (2ABBD·m号）：（合.BD·m号） AB:BC=2:1. 答案：品 2:1(或1：2) 16.解析：如图所示，设汽车所在位置分别为A, B,小岛所在位置为C,则∠CAB=15°， ∠CBA=180°-75°=105°，∠ACB=180° 105°-15°=60°，AB=1km.在△ABC中， BC AB 由sin∠CAB sin ZACB 得BC= no·sin15-2(km. 2 设C到直线AB的距离为d, 则d=BC·in75°-6=E.6+E_5(km 2√5 4 6 即为小岛离开公路的距离. 苦案9 17.解：(1)选①2c-V3b=2 acos B, 由正弦定理可得：2sinC-√3sinB=2 sin Acos B, 即2sin(A+B)-√3sinB=2 sin Acos B, .2 cos Asin B=√5sinB, B∈(0，π)，∴.sinB≠0，∴.2cosA=5, 守mA-9 又A∈(0，x),A= 6 选②@(2b-√5c)cosA=√3 acos C, 由正弦定理可得：(2sinB-√5sinC)cosA= √3 sin Acos C, ∴.2 sin Bcos A=√3sin(A+C)=√3sinB, B∈(0，元)，∴sinB≠0，cosA=5, 21 又A∈(0，x)A=8 必修第四册 (2)法一：由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A=b2 +c2-√3bc, 又b2十c2≥2bc,当且仅当“b=c”时取“=”， .a2≥(2-√5)bc,即(5-1)2≥(2-√5)bc, .bc≤2. .S△ABC= 1 “△ABC的面积的最大值为7 法二：由正弦定理 sin A sin B-sin C及A= b 6 a=√5-1得： basin B-2(3-1)sin B sin A c-m{-25-10smc=25-1n(倍 .△ABC的面积 S△ABC= 合cimA=子[2(5-1) in Bsin(管-B） =4-26)(（n Bes B+9m㎡B=(2 6[2in2B+1-0s2B21 =26sm(B-）+23 2 由0<B<餐知-晋<2B-晋<图 “2B-号=受，即B=C=登时，△ABC面积有最大 值，最大值为：(2-)×1+2B-31 2 21 18,解：)在△ADC中，因为c0s∠ADC=7, 所以血∠ADC9 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADC·cosB-cos∠ADC·sinB 44 参 (2)在△ABD中，sin∠ADB=sin(x-∠ADC) =sin∠ADC=43, 71 由正弦定理，得 BD=ABsin∠BAD 8X3⑤ 14 =3. sin∠ADB 4√3 7 在△ABC中，BC=BD+CD=5,由余弦定理，得 AC2=AB2+BC2-2ABX BCX cos B =82+53-2X8X5×7=40. 所以AC=7. 19.解：(1)5a=2 esin A,心sinA=5 a 2c 由正弦定理知，a sin A sin C' 'sin C= -2c sin C 2 :△ABC是锐角三角形，∴.C=匹 3 (2)c=7,C=音由面积公式得： 分b6sin音-=39，即ah=6. 1 2 由余弦定理得u2+b2-2 abeos号-7， .a2+b2-ab=7, 即(a+b)2-3ab=7,.(a+b)2=25, ∴.a+b=5. 20.解：(1)由题设及由正弦定理，得a十c=pb, …a+c=5 4 a十c= 5 4 a=1, 1,或 （a= 解得 4 ac= c=1 (2)由余弦定理，b2=a2+c2-2 accos B=(a十c)2 Zue-2accos Bcos B, 即p2=3+ 1 22 cos B. :0<cosB1…p2∈(3,2） 由题设知>0<p<反 考答案 21.解：(1)由正弦定理知a=2 Rsin A,b=2 Rsin B, c=2Rsin C, 2Rsin A=2Rsin Bcos C+2Rsin Csin B, Ep sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=x-(B+C), .'.sin[x-(B+C)]=sin(B+C) =sin Bcos C+sin Csin B, Ep sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B, .'cos Bsin C=sin Csin B. .sinC≠0， ∴c0sB=sinB且B为三角形内角心B=至 (2)S△ABC= 2 acsin B=2 1 由正弦定理，得a-simA-二XinA=22sinA, sin B ② 同理，得c=2√2sinC, .S△ABC= 2sin Ax2sinC 4 =2√2 sin Asin C =2snAn(经-A） =2nA(m平casA-cos经sinA =2(sin Acos A+sin2A) =sin2A+1-cos 2A =5sim(A-)+1, :A∈（0，)2A-∈（至，F) 当2A-=受， 即A-晋时，S2AC有最大位E+1, 22.解：(1)在△AOM中，AO=15,∠AOM=3且cos3= 3,OM=3√3， √ 由余弦定理得，AM=OA2+OM2-2OA·OM· cos∠AOM=(3√13)2+152-2×3×√13×15X 3 =13×9+15×15-2×3×15×3=72. √/13 所以AM=6√瓦，即大学M与站A的距离AM为 6√2km. 45 数学B版 (2)因为cos3= 后且日为锐角， 3 所以in日=2，在△AOM中，由正弦定理得， √13 AM OM sin B sin∠MAo' 即62 2 sin/MAO,所以sin∠MAO=Y2 3√13 √3 由题意知∠AOB>艺，所以∠MA0=平， 所以∠AB0=a至，周为1ama=2, 所以sina= 1 后osa= 所以∠A0=(-)布 又∠AOB=π-a, 2 所以sin∠AOB=sin(x-a)= 在△AOB中，AO=15, AB AO 由正弦定理得，sin∠AOBsinZABO' 即AB15 2 √5√0 所以AB=30√2，即铁路AB段的长为30√2km. 第十章复数 (A卷) 1.A[i(2-i)=2i-2=2i+1=1+2i.] 2.B 1+5i(1+√3i)(1-√5i) 4 4 3.C2+2=异+1+02=1-i+2=1+] 4.B[由(1-i）2x=3+2i,得2=3+21=3+2i=-1 (1-i)2 -2i 十2故适B] 5.C[因为(1+2ai)i=1-bi,所以-2a+i=1-bi,则 a=-分6=1，故a+=-令9选c] 1 6.D[由2-1+2i,得x=22-iD1-20 1+2i 5 =2-4i=i-2=-i这=i] 5 i(1-2019) 7.B[因为之=i+2+3+…+2019 1-i 1+i 1+i 必修第四册 i(1+i) (1-i)(1+i) 十所以对应点（日）在 第二象限，故选B.] 8.D[名12都是复数，复数之1之2≠0成立，则名1之2是 非零复数，此时当之2=之1时，表明两复数之1，之2是一 对共轭复数，故1之2=之12，之12=|之112，能得出 1之2=|之12|成立：反之，若12=|之12成立，当 刘1之2是正实数时，不一定能得出2=1.故可得出 之1之2=|之1之2是2=之1成立的必要不充分条件.故 选D.] 9.ABCD[A不正确，设互为共轭复数的两个复数分别 为之=a十bi及之=a-bi(a,b∈R),则之一之=2bi或 之一之=一2bi,当b≠0时，之一之，之一之是纯虚数，当b=0 时，之一之=0，之一之=0： B不正确，可以举反例：设之=i,则之2=2=一1<0； C不正确，可以举反例：设之1=3十i,之2=2十i,则之1 2=1>0,但1,2不能比较大小； D不正确，，a>b,a,b∈R,故a十i,b十i都是虚数， 不能比较大小.] 10.ABC对于A,若之1-2|=0，则之1一22=0，名= 之2，所以之1=之2为真： 对于B,若之1=2，则之1和之2互为共轭复数，所以 =2为真： 对于C,设之1=a1十b1i,之2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈ R,若|x1|=|z2,则√a十b=√Ja十b%,之1·1=a 十b,2·之2=呢十b呢，所以1·之1=2·之2为真： 对于D,若之1=1，之2=i,则|之1=|之2为真，而好= 1,号=一1，所以号=号为假.] 11.BD[,1十√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c =0的一个根，.(1十√②i)2+b(1十√2i)十c=0,整理 得(b+c-1)+(2√2+√2b)i=0, 则25+肠=0·解得 b=-2, (b+c-1=0, c=3. 12.BCD[之=千=1-i,故x=E,A错，2=1+i,且 之对应的点为(1，一1)，位于第四象限，之=1一i [如（登）十im()小辐角主值为要，B. C、D正确.] 1区.解折：法一：一奢号驶=i所以：的共柜复 数为一i 46