第九章 解三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学人教B版高一必修第四册

第九章 解三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 2．在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【详解】，， ， . 故选：A. 3．在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 4．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 5．在钝角三角形中，角的对边分别为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且三角形为钝角三角形，所以为钝角，且 由余弦定理得：， 所以，解得，. 又因为三角形两边之和大于第三边，即，解得， 所以. 6．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知， 设，则， 在中， 故，当且仅当时等号成立， 所以新的种植区域的面积最大为. 7．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 8．已知的内角所对的边分别为，．若 ，，且平分，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故， 所以，即， 而为三角形内角，故， 因为，所以， 因为为角平分线，故且，即， 由余弦定理可得， 且 所以，解得， 故，所以三角形的面积为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以，即，方程无解，故A错误； 因为，，，由余弦定理得， 所以，即， 所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确； 因为，，所以，又， 所以有两个解，故C正确； 因为，，， 由余弦定理得， 所以，所以有1个解，故D错误． 故选：BC． 10．（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可得，， 因，则当时，的面积最大，故A正确； 对于B，在中利用余弦定理可得，， 则由题意可得， ， 解得，故B错误； 对于C，，得， 因，则，故C正确； 对于D，因为正三角形，则， 则四边形面积为， 因，则， 则当，即时，四边形面积有最大值，最大值为， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 【答案】 【分析】 【详解】法一：因为，所以．又因为，且，所以． 法二：由，得，解得或（舍去）． 所以，又因为，所以． 故答案为：. 13．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 14．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 16．（15分）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 17．（15分）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够拦截成功拦截，时间为2小时 【分析】 【详解】（1）若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C， 如图所示，则轴，，且关于y轴对称， 所以， 所以. （2）若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示， 则，，，， 因为， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以能够拦截成功拦截时间为2小时. 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以， ， ， 因为，所以， 所以，即， 又，则有，所以. （2）解：因为，，， 所以在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以. 19．（17分）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 5．在钝角三角形中，角的对边分别为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 8．已知的内角所对的边分别为，．若 ，，且平分，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 11．如图，在四边形OACB中，为正三角形，设，，，则下列说法正确的有（   ）. A．当时，的面积最大 B． C．若，则 D．四边形面积的最大值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知的内角的对边分别为，若，，，则______． 13．已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 14．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 16．（15分）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 17．（15分）在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇． (1)求a，b的值； (2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由． 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 19．（17分）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $