专题10.4平移（高效培优讲义，3知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题10.4平移 教学目标 1. 通过生活中的具体实例，认识平移现象，理解平移的定义，明确平移方向和平移距离，能准确判断一个图形运动是否为平移。 2. 掌握平移的基本性质，能清晰说出平移前后图形的特征。 3. 能按要求作出简单平面图形平移后的图形，掌握平移作图的基本步骤，能结合网格完成简单的平移作图任务。 教学重难点 教学重点 1. 平移的定义和核心要素，能准确识别平移现象，明确平移的本质特征。 2. 平移的基本性质，能熟练运用性质判断平移前后图形的对应点、对应线段、对应角的关系，以及对应点连线的特征。 3. 简单平面图形的平移作图，能根据给定的平移方向和距离，作出平移后的图形，掌握平移作图的基本步骤和方法。 教学难点 1. 对平移两要素的准确理解，尤其是平移方向的多样性，以及平移距离的确定，避免出现“平移只有水平或竖直方向”的认知误区。 2. 平移性质的探究过程的理解和验证，突破“仅关注形状大小不变，忽略对应关系的位置和数量特征”的难点。 3. 复杂图形的平移作图，以及平移性质在实际问题中的灵活运用，培养学生的空间想象能力和灵活运用知识的能力，突破“关键点找不准、作图不规范”的问题。 知识点01 平移的定义 1.平移：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 知识点02 平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′，∠ ACB=∠ A′C′B′. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______． 知识点03 平移作图 平移作图的一般步骤：平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 题型01 分析平移过程 【例1】如图，在边长为的小正方形组成的网格中，将图形P平移到图形Q的位置，下列平移步骤正确的是（    ） A．先向上平移，再向右平移 B．先向下平移，再向右平移 C．先向上平移，再向左平移 D．先向下平移，再向左平移 【变式1-1】如图所示，共有三个方格块，现将上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，应将上面的方格块（    ）． A．先向右平移1格，再向下平移3格 B．先向右平移1格，再向下平移4格 C．先向右平移2格，再向下平移4格 D．先向右平移2格，再向下平移3格 【变式1-2】如图是“俄罗斯方块”游戏的一个画面，若使左上角的阴影部分图形经过平移后能够插入到下面的空白处，应先向______平移______格，再向______平移______格．故选（    ）． A．右，，下， B．右，，下， C．右，，下， D．右，，下， 题型02 方格纸中的平移作图 【例2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中，三角形的顶点均在格点上，按下列要求作图： (1)作线段，使得，其中为格点． (2)将三角形先向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形，作出三角形． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)点在格点上，请在图1中，将三角形平移，使点和点是对应点，画出平移后的三角形； (2)请在图2中找一个格点，连接，使． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，在的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形． (1)把向右平移3格； (2)把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格． 题型03 平移性质的应用 【例3-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 【例3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3-3】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在长为10，宽为8的长方形内部，沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形，则三个小长方形的周长之和是_____． 【变式3-2】如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为__________ 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 题型04 利用平移解决实际问题 【例4】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元. 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 题型05 与平移有关的动态问题 【例5】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则________． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则________． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，﹣1）． （Ⅰ）点C在第一象限内，ACx轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，若三角形ACD的面积为12，求线段AC的长； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接OD，P为y轴上一个动点，若使三角形PAB的面积等于三角形AOD的面积，求此时点P的坐标． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【变式5-3】如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且． (1)求点、点的坐标． (2)起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米． ①当t=1.5时，S=________平方厘米； ②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米； ③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒． (3)将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由． 题型06 关于平移的探究问题 【例6】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【变式6-1】如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示． (1)如图1，的顶点均在格点上，将平移得到，B点的对应点是点E，画出，并直接写出的面积； (2)如图2，直线经过格点A、B，过点A作直线，作直线，画出直线，，若继续作，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【变式6-3】平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法： ①； ②； ③； ④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 4．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·安徽六安·月考）如图，在三角形中，，，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23七年级下·安徽淮南·月考）如图，直角三角形的周长为12，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为________．    12．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，三角形沿方向平移后到达三角形的位置，交于点G．已知，，，平移距离为3，则图中四边形的面积为______．（阴影部分） 13．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 14．如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是________．    三、解答题 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）画图题． (1)如图①，直线是河流的一边，点是一个村庄，现在要修一条水渠把水引到村庄，要求所修的水渠长度最短，请你画出所修水渠的示意图，并说明理由． (2)如图②，三角形的三个顶点都在方格纸中的横线和竖线的交点上，请你在方格中平移三角形，使点A移到点，画出平移后的三角形． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将向右平移3格，得到，请作出． (2)在图2中，线段与相交于点，且，请作一个，使得． 18．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都是格点， (1)将三角形向上平移4个单位得到三角形，画出三角形； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是 ． 19．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 20．动手操作题 我们知道，借助直尺和方格纸，可以画出互相平行的线段，也可以画出互相垂直的线段． 图1              图2 (1)已知图中的线段的端点都是格点，图1中的线段和所在的直线互相垂直，请观察规律，借助直尺和方格纸过点画出一条与垂直的线段，要求点也是格点． (2)在图2中，借助直尺和方格纸过点画出与平行的线段，要求也是格点． 21．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； (3)连接、，则与间的关系是______． 22．已知，AD//BC，∠A=∠C=120°，试回答下列问题： (1)如图①，求证：AB//DC； (2)如图②，若点E、F在线段AD上，且满足∠FBD=∠CBD，并且BE平分∠ABF，求∠EBD的度数； (3)在（2）的条件下，如果平行移动DC的过程中，当∠BEA=∠BDC时，求此时∠BDC的度数． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请按要求在给定网格中完成作图和解答． (1)将水平向右平移2个单位得到（点A和点为对应点），请画出 (2)如图，点E是一格点，连接可得，平移线段至（点B和点E为对应点），画出线段，则______度； (3)将水平向右平移m个单位，再竖直向下平移n个单位可得到（点A和点为对应点），且m、n均为正整数，若，则的值为______． 24．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 25．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4平移 教学目标 1. 通过生活中的具体实例，认识平移现象，理解平移的定义，明确平移方向和平移距离，能准确判断一个图形运动是否为平移。 2. 掌握平移的基本性质，能清晰说出平移前后图形的特征。 3. 能按要求作出简单平面图形平移后的图形，掌握平移作图的基本步骤，能结合网格完成简单的平移作图任务。 教学重难点 教学重点 1. 平移的定义和核心要素，能准确识别平移现象，明确平移的本质特征。 2. 平移的基本性质，能熟练运用性质判断平移前后图形的对应点、对应线段、对应角的关系，以及对应点连线的特征。 3. 简单平面图形的平移作图，能根据给定的平移方向和距离，作出平移后的图形，掌握平移作图的基本步骤和方法。 教学难点 1. 对平移两要素的准确理解，尤其是平移方向的多样性，以及平移距离的确定，避免出现“平移只有水平或竖直方向”的认知误区。 2. 平移性质的探究过程的理解和验证，突破“仅关注形状大小不变，忽略对应关系的位置和数量特征”的难点。 3. 复杂图形的平移作图，以及平移性质在实际问题中的灵活运用，培养学生的空间想象能力和灵活运用知识的能力，突破“关键点找不准、作图不规范”的问题。 知识点01 平移的定义 1.平移：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 . 2. 平移中的对应元素 如图 10.4-1， 把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′. 对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′； 对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′； 对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′. 3. 平移的“两要素” (1)平移的方向；(2)平移的距离 . 特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽·期中）下列运动属于平移的是（   ） A．拉出抽屉 B．放飞风筝 C．转动方向盘 D．荡秋千 【答案】A 【详解】解：A.拉出抽屉时，抽屉沿直线做方向不变的移动，符合平移的定义，属于平移； B.放飞风筝时，风筝运动中方向会不断变化、伴随转动，不属于平移； C.转动方向盘是绕中心点的旋转运动，不属于平移； D.荡秋千是绕悬挂点的摆动，属于旋转类运动，不属于平移． 知识点02 平移的性质 1. 平移的性质 (1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等； (2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 . 2. 示图     如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则 (1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′； (2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′； (3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′，∠ ACB=∠ A′C′B′. 【即学即练】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______． 【答案】 【详解】解：设小路的宽度为，利用平移的性质，将阴影部分向左平移拼成了一个新的长方形，长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴小路的宽度为． 知识点03 平移作图 平移作图的一般步骤：平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 . (1)定： 确定平移的方向和距离； (2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； (4) 连： 按原图顺次连接各对应点 . 【即学即练】（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，三角形在方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，先将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形． (2)判断与的关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可直接得出：与的关系是平行且相等． 题型01 分析平移过程 【例1】如图，在边长为的小正方形组成的网格中，将图形P平移到图形Q的位置，下列平移步骤正确的是（    ） A．先向上平移，再向右平移 B．先向下平移，再向右平移 C．先向上平移，再向左平移 D．先向下平移，再向左平移 【答案】B 【详解】解：根据图中信息，则将图形P先向下平移，再向右平移得到图形Q， 故选：B 【变式1-1】如图所示，共有三个方格块，现将上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，应将上面的方格块（    ）． A．先向右平移1格，再向下平移3格 B．先向右平移1格，再向下平移4格 C．先向右平移2格，再向下平移4格 D．先向右平移2格，再向下平移3格 【答案】C 【详解】解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合， ∴应将上面的方格块先向右平移2格，再向下平移4格． 故选C． 【变式1-2】如图是“俄罗斯方块”游戏的一个画面，若使左上角的阴影部分图形经过平移后能够插入到下面的空白处，应先向______平移______格，再向______平移______格．故选（    ）． A．右，，下， B．右，，下， C．右，，下， D．右，，下， 【答案】D 【详解】解：若使左上角的图案经过平移插入到下面的空白处A，应该先向右平移1格，再向下平移3格． 故选：D． 题型02 方格纸中的平移作图 【例2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在由小正方形组成的的网格中，，，均在格点上，按下列要求画图． (1)若线段是由线段平移得到的，且点的对应点为点，在图1中画出线段． (2)若三角形是由三角形平移得到的，且点的对应点为点，在图2中画出三角形． 【详解】（1）解：如图，线段即所求； （2）解：如图，三角形即所求． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中，三角形的顶点均在格点上，按下列要求作图： (1)作线段，使得，其中为格点． (2)将三角形先向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形，作出三角形． 【详解】（1）如图，为所求： （2）如图，三角形为所求： 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)点在格点上，请在图1中，将三角形平移，使点和点是对应点，画出平移后的三角形； (2)请在图2中找一个格点，连接，使． 【详解】（1）解：平移后的三角形如下： （2）解：如图，把点A向左平移两格得到格点Q，连接，得，则． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，在的网格中，点A，B，C均在格点上，分别按下列要求作出经平移所得的图形． (1)把向右平移3格； (2)把第（1）题中平移所得的图形再向上平移2格． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． ； 题型03 平移性质的应用 【例3-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 【答案】A 【详解】解：将三角形沿方向平移2个单位得三角形． ∴， 三角形的周长等于11， ， 四边形的周长为：． 故选：A 【例3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由平移得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例3-3】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为4，阴影部分的面积为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ，即， ， 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在长为10，宽为8的长方形内部，沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形，则三个小长方形的周长之和是_____． 【答案】 【详解】解：由题意结合图形可得，三个小长方形的周长之和是， 故答案为：． 【变式3-2】如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为__________ 【答案】 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 则阴影部分的周长为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 【答案】 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 题型04 利用平移解决实际问题 【例4】如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）“友谊宾馆”在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种红色地毯的售价为每平方米50元，主楼道宽2米，其侧面与正面如图所示，则购买地毯至少需______元. 【答案】800 【详解】解：根据图中的性质，且结合平移性质，得 故红色地毯的面积为 ∵这种红色地毯的售价为每平方米50元， ∴（元） 故答案为：800 【变式4-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 题型05 与平移有关的动态问题 【例5】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则________． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则________． 【答案】 或或 【详解】解（1）：，将沿着射线BC方向平移得到， ，， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：第一种情况：如图，当点在上时， 设， 由平移的性质可知：， ， 当时，则， ，，， ， 解得：， ； 当时， 则， 即 ， ，，， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ，， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ∴ 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，﹣1）． （Ⅰ）点C在第一象限内，ACx轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，若三角形ACD的面积为12，求线段AC的长； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接OD，P为y轴上一个动点，若使三角形PAB的面积等于三角形AOD的面积，求此时点P的坐标． 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）P（0，9）或（0，-3） 【详解】解：（Ⅰ）如图1中，连接BC． ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ACD=S△ACB=12， ∴•AC•（3+1）=12， ∴AC=6． （Ⅱ）如图2中，连接OD．设P（0，m）．由（Ⅰ）可知C（6，3），D（4，7）， 由题意， 解得m=9或-3， ∴P（0，9）或（0，-3）． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点（____________，__________），点（___________，___________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)；； (2)秒后，轴 (3)当点P在线段上时，；当点P在的延长线上时，；当点P在的延长线上时， 【详解】（1）解：∵向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， 故答案为：；； （2）解：设t秒后轴， ∵轴， ∴点M与点N的纵坐标相同， ∴， 解得， ∴秒后，轴； （3）解：①如图1中，当点P在线段上时， 作交于点E， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当点P在的延长线上时， 作， ∴． ∵（平移的性质）， ∴， ∴， ∴； ③如图3中，当点P在的延长线上时，． 作，同②可证 【变式5-3】如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且． (1)求点、点的坐标． (2)起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米． ①当t=1.5时，S=________平方厘米； ②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米； ③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒． (3)将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①3；②4；③1秒或5秒； (3)或，理由见解析． 【详解】（1）解：∵ ． ，， ，， （2）解：①当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm， S=2×1.5=3cm2； ②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为灰色平行四边形， 面积为2×2=4cm2； ③如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm， ∴小正方形平移的距离为1cm或5cm， ∴t=1或5． 综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒， （3）解：如图3，当点N在射线MG的反向延长线上时， 过D作DQ∥x轴，过N作NP∥x轴， ∵MN平分∠CMD， ∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y， ∠MDQ=∠CMD=2y， ∵DM⊥AD， ∴∠ADQ=∠OAD=90°−2y， ∴∠DAx=180°−∠OAD=180°−（90°−2y）=90°+2y， ∵AN平分∠DAx， ∴∠NAx=∠DAx=45°+y=∠PNA， ∴∠ANM=∠PNA−∠PNM=45°+y−y=45°， 当点N在射线MG上时， 同理∠ANG=45°， ∴∠ANM=135°， 综上：∠ANM=135°或45°． 题型06 关于平移的探究问题 【例6】如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2)不变化，:的值恒等于: 【详解】（1）解：∵，， ， ，平分， ，， ， ∴，即， ； （2）解：不变化 因为平行移动， ∵， ， ∵， ， ：的值恒等于：． 【变式6-1】如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示． (1)如图1，的顶点均在格点上，将平移得到，B点的对应点是点E，画出，并直接写出的面积； (2)如图2，直线经过格点A、B，过点A作直线，作直线，画出直线，，若继续作，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是 ， ． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 的面积； （2）如图所示，直线，即为所求， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可得规律为：，，，，，，…… 所以可得到规律：，，，，四个一循环， ∵， ∴根据规律得到， ∵…3， ∴根据规律得到， ∴ ∵…3， ∴ ∴． ∴， 故答案为：，． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 由平移的性质得：， 过点作，交于点， 则， ∴，， ∴； （2）①分两种情况： 第一种情况：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 整理，得； 第二种情况：点在直线的下方时，如图所示： ， ， 整理，得； ②由平移性质得四边形是平行四边形，，面积为定值， ∵，点到的距离等于平行线与PD的距离， 由（为距离） 得：距离， ∴当最短时最大， 定点到直线上点的距离，垂线段最短，即时最短，最大，如图所示：此时中，， ∴， ∴． 【变式6-3】平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 【答案】(1)90 (2)或或 (3)或 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：分以下三种情况： 当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或或； （3）解：分以下两种情况： 向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）的图标设计以鲸鱼为核心元素，象征着在人工智能领域的深度探索精神，以下四个图标，其中可以由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：能通过如图平移得到的是选项C， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法： ①； ②； ③； ④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【详解】∵将三角形平移到三角形的位置， ∴与、与、与对应点， 与是对应角， ，①错误； ，②正确； ∴，，③错误； 平移距离为线段的长，④正确． 正确的说法为②④， 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【详解】∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段可表示平移距离， 故选：． 4．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，将周长为12的沿方向平移3个单位长度得，则四边形的周长为（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为12 ∴， ∴， ∴四边形的周长， 故选：A． 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移可得：，， ， ， ， ， ， 即， ，即平移距离为， 故选：B． 6．（23-24七年级下·安徽六安·月考）如图，在三角形中，，，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接，，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解： 沿着直线向右平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 又， ， ， ， 故④正确； 故选：D． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得，，， ∴四边形的周长为， ∴，即三角形沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 8．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到，连接， ∴，故①正确； ，故②正确； ，根据平移得，则，故③正确； ∵，沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到， ∴四边形周长为，故④正确； 故选：D． 9．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 二、填空题 11．（22-23七年级下·安徽淮南·月考）如图，直角三角形的周长为12，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行，则这5个小直角三角形周长的和为________．    【答案】12 【详解】解：∵ 大三角形的周长为12，这5个小直角三角形都有一条边与平行， 由平移的性质可得：这5个小直角三角形周长的和为：12， 故答案为：12． 12．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图，三角形沿方向平移后到达三角形的位置，交于点G．已知，，，平移距离为3，则图中四边形的面积为______．（阴影部分） 【答案】 【详解】解：由平移可知，，， ∵， ∴， ∵直角三角形沿方向平移到直角三角形， ∴． 故答案为：12． 13．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 【答案】28 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长为：． 故答案为：28． 14．如图，直线，点A在直线m上，线段在直线n上，构成，把向右平移线段长度的一半得到（如图①），再把向右平移线段长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2021个图形中三角形的个数是________．    【答案】8084 【详解】解：观察图可得，第1个图形中大三角形有2个，小三角形有2个， 第2个图形中大三角形有4个，小三角形有4个， 第3个图形中大三角形有6个，小三角形有6个， … ∴第n个图形中大三角形有个，小三角形有个． ∴第2021个图形中三角形的个数是：个． 故选：D． 三、解答题 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点四边形．（各顶点均在格点上） (1)将四边形经过一次平移得到四边形，点的对应点为点，请画出平移后的四边形； (2)在（1）的条件下，求线段在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图：四边形即为所求； （2）解：如图，线段扫过的图形为，它的面积为：． 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）画图题． (1)如图①，直线是河流的一边，点是一个村庄，现在要修一条水渠把水引到村庄，要求所修的水渠长度最短，请你画出所修水渠的示意图，并说明理由． (2)如图②，三角形的三个顶点都在方格纸中的横线和竖线的交点上，请你在方格中平移三角形，使点A移到点，画出平移后的三角形． 【详解】（1）解：过A作的垂线段即可； 理由：垂线段最短； （2）解：如图，三角形即为所求． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作格点三角形（三角形的顶点都在正方形网格线的交点上）． (1)在图1中，将向右平移3格，得到，请作出． (2)在图2中，线段与相交于点，且，请作一个，使得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，即为所求． 根据平移可知：， ∴， 即． 18．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都是格点， (1)将三角形向上平移4个单位得到三角形，画出三角形； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是 ． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）在整个平移的过程中，扫过的面积是， 故答案为：24． 19．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由平移的性质可得和之间的关系是：平行且相等， 故答案为：平行且相等． 20．动手操作题 我们知道，借助直尺和方格纸，可以画出互相平行的线段，也可以画出互相垂直的线段． 图1              图2 (1)已知图中的线段的端点都是格点，图1中的线段和所在的直线互相垂直，请观察规律，借助直尺和方格纸过点画出一条与垂直的线段，要求点也是格点． (2)在图2中，借助直尺和方格纸过点画出与平行的线段，要求也是格点． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求； 21．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； (3)连接、，则与间的关系是______． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线与点Q即为所求； （3）解：∵将平移到， ∴，， ∴与之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 22．已知，AD//BC，∠A=∠C=120°，试回答下列问题： (1)如图①，求证：AB//DC； (2)如图②，若点E、F在线段AD上，且满足∠FBD=∠CBD，并且BE平分∠ABF，求∠EBD的度数； (3)在（2）的条件下，如果平行移动DC的过程中，当∠BEA=∠BDC时，求此时∠BDC的度数． 【详解】（1）∵AD//BC， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠B=180°， ∴AB//DC． （2）∵∠A+∠ABC=180°，∠A=120°， ∴∠ABC=60°， ∵BE平分∠ABF， ∴∠EBF=∠ABF， ∵∠FBD=∠CBD， ∴∠FBD=∠FBC， ∴∠EBF+∠FBD=(∠ABF+∠FBC) =∠ABC=30°， ∴∠EBD=30°． （3）∵AD//BC， ∴∠BEA=∠EBC， ∵AB∥DC， ∴∠BDC=∠ABD， ∵∠BEA=∠BDC， ∴∠EBC=∠ABD， ∴∠CBD+∠EBD=∠ABE+∠EBD， ∴∠CBD=∠ABE， ∵∠ABE=∠EBF，∠FBD=∠CBD， ∴∠ABE=∠EBF=∠FBD=∠CBD， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠EBF=∠FBD=∠CBD=15°， ∴∠ABD=45°， ∴∠BDC=∠ABD=45°． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请按要求在给定网格中完成作图和解答． (1)将水平向右平移2个单位得到（点A和点为对应点），请画出 (2)如图，点E是一格点，连接可得，平移线段至（点B和点E为对应点），画出线段，则______度； (3)将水平向右平移m个单位，再竖直向下平移n个单位可得到（点A和点为对应点），且m、n均为正整数，若，则的值为______． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，线段即为所求． 由平移的性质得， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：90； （3）如图所示，即为所求， 由图可知，， ∴． 24．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)；． 【详解】（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 25．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由平移得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由平移得， ； （3）解：由平移得 ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $