专题10.3 平行线的性质（高效培优讲义，3知识&5题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题10.3 平行线的性质 教学目标 1.掌握平行线的三条性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 2.能区分平行线的性质与判定，理解二者互逆关系；会用性质进行简单角度计算与推理，规范书写几何过程。 教学重难点 教学重点 · 探索并掌握平行线的三条性质，能运用性质进行简单推理与计算。 教学难点 · 1.区分平行线的性质与判定（性质：由平行推角关系；判定：由角关系推平行）。 · 2.性质与判定的综合应用及推理过程的规范书写。 知识点01 平行线的性质 1 1. 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单地说： 两直线平行，同位角相等 . 表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) . 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点02 平行线的性质 2 1. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 . 简单地说： 两直线平行，内错角相等 . 2. 表达方式：如图 10.3-5，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 知识点03 平行线的性质 3 1. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 . 简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 . 2. 表达方式：如图 10.3-7，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，，E是上一点，交于点F，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 题型01 利用平行线的性质求角度 【例1】（25-26七年级下·安徽·期中）如图，已知，直线分别交于点M、N，作的平分线交于点P，的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，直线，分别与、相交于点E、F，平分，于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，．若，则________． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）问题背景：若，则我们称是的“驰骋角”．例如：，，则是的“驰骋角”．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究． (1)探究：如图，直线，被直线所截．已知是的“驰骋角”． 当时，________； 当时，直线与直线_________（填“互相垂直”或“不互相垂直”）； (2)探究：如图，直线与直线，分别交于点，．已知是的“驰骋角”． 求证：是的“驰骋角”． 如图，是上一点，过点的直线分别交直线，于点，，且．当是的“驰骋角”时，求的度数． 题型02 平行线的判定和性质综合应用 【例2】（25-26七年级下·安徽六安·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作AB的平行线CM，请你补全依据和解题过程． 解：如图，过点C作， ∵， ∴（______）， ∴（______）， ∴， ∵， ∴（_______）， ∵于点B， ∴（______）， ∴， ∴_______（平角的定义）． 【变式2-1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，已知点E，F分别为，上的点，，，求证：． 【变式2-2】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）几何研究中，常通过等量代换、构造辅助线等方法，将研究对象转为已知的定理或基本图形，从而实现化繁为简、化未知为已知． 请解决以下问题： (1)请将推理过程补充完整： 如图1，已知，．证明：． 证明：∵，∴①______（两直线平行，内错角相等）． ∵，∴②__________（③___________）． ∴（④____________）． (2)借鉴模仿第（1）题，完成证明： 如图2，若，．证明：． 【变式2-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形中，延长至点，，． (1)①求证：． ②如图1，的三等分线与的三等分线交于点，且，，求的度数． 类比探究 (2)如图2，是射线上一点，连接，交于点，．若的三等分线与的三等分线交于点，请直接写出的度数． 拓展延伸 (3)如图3，是射线上一点，连接．延长，分别至点，．的三等分线与的三等分线的反向延长线交于点，且，．若的三等分线与的三等分线交于点，且，求的度数． 题型03 利用平行线的性质和判定解决实际问题 【例3】（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图①是自行车的实物图，图②是它的部分示意图，，点在上，，，．则的度数为______． 【变式3-3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为________． 【变式3-4】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 题型04 利用平行线的性质解决长方形折叠问题 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，把一块含有30度角的直角三角板放在长方形纸片上，点落在边上，若，则______度．    【变式4-1】如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则________ ． 【变式4-2】如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为_______ 【变式4-3】如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值______． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 题型05 过拐点作辅助线 【例5】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽铜陵·月考）如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 【变式5-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，被直线所截，，若要使得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，若，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，且平分平分交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为_____． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副直角三角板作如下摆放，，当时，则_____． 9.如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为_______ 10．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，点，分别在，上． （1）如图1，若点与点重合，，则的度数为__________． （2）如图2，，点在上，若，则的度数为__________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知在三角形中，，． (1)试说明：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 12．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：过E点作． ∵（          ）， ∴（          ）， ∴ （          ）， （          ）． ∴ （          ）， 即． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，直线，被直线所截，连接，交于点，，． (1)若，求的度数； (2)点在上，连接，若，．请判断与的数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知，点在点的右侧，，、的平分线交于点． (1)若点在点的左侧，如图①，，求的大小（用含的式子表示）； 解：过点作， 因为 所以 请填空，并在括号内填上依据，完成余下解答过程． 因为 所以___________（　　） 又因为_____________________ 所以___________ 所以___________． (2)若点在点的右侧，如图②，，求的大小． 15．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 16．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知射线，点在射线上，平分，点在射线上． (1)求证：（要求在每一步的推理后注明理由）． (2)如图1，点在线段上，，求证：（不要求在每一步的推理后注明理由）． (3)如图2，点在线段的延长线上，，，求的度数． 17．如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 18．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图1， 已知直线直线， 点E在上， 点H在上， 点F在之间，连接． (1)若， 求的度数． (2)如图2， 平分，交于点G， 且， 求度数 (3)如图3，平分， 交的延长线于点M ，则 ； ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题10.3平行线的性质 内容概览 ★教学目标、教学重点 0平行线的性质1 ★知识清单 ②平行线的性质2 目平行线的性质3 平行线的性质 0利用平行线的性质求角度 日平行线的判定和性质综合应用 ★题型精讲 目利用平行线的性质和判定解决实际问题 ④利用平行线的性质解决长方形折问题 ⑥过拐点作辅助线 ★强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握平行线的三条性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直 线平行，同旁内角互补。 教学目标 2能区分平行线的性质与判定，理解二者互逆关系；会用性质进行简单角度计算与推理， 规范书写几何过程。 教学重点 探索并掌握平行线的三条性质，能运用性质进行简单推理与计算。 教学重难点 教学难点 1.区分平行线的性质与判定（性质：由平行推角关系；判定：由角关系推平行）。 2性质与判定的综合应用及推理过程的规范书写。 知识清单 知识点01平行线的性质1 1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说：两直线平行，同位角相等 表达方式：如图10.3-1，因为a∥（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 1/45 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 b 图10.3-1 2.平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置 关系得到两角的数量关系： (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件. 【即学即练】(24-25七年级下·安微准南期末)如图，∠3=∠4. 6 28 D (1)求证：AB∥CD; (2)若∠8=100°，求4，∠6的度数. 【详解】(1)证明：：∠3=∠7，∠4=∠5， 又∠3=∠4， ∠5=7， AB∥CD; (2)解：：∠8=100°，∠2+48=180°， .∠2=80°， :由(1)知AB∥CD, ∴∠2=∠6， ∠6=80°， :∠1+∠6=180°， ∠1=100°， ∠1=100°，∠6=80°. 知识点02平行线的性质2 1.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说：两直线平行，内错角相等 2.表达方式：如图10.3-5，因为a∥（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）. 2/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 b 图10.3-5 【即学即练】(24-25七年级下.安微宿州期末)如图，己知∠DFB=125°，∠ACB=55°. E (1)判断AC与DE的位置关系，并说明理由； (2)若AB∥CD,∠ACD=120°，求∠B的度数. 【详解】(1)解：平行，理由如下： ∠CFE=∠DFB=125°，∠ACB=55°， .∠ACB+∠CFE=180°， AC∥DE; (2)解：∠ACB=55°，∠ACD=120°， ∠BCD=∠ACD-∠ACB=65°， :AB∥CD :∠B=∠BCD=65° 知识点03平行线的性质3 1.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补· 简单地说：两直线平行，同旁内角互补 2.表达方式：如图10.3-7，因为a∥b(已知)，所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）. C 62 b 图10.3-7 【即学即练】(23-24七年级下，安微阜阳期中)如图，AB∥CD,E是CD上一点，AE交BC于点F,且 LABE=∠DBC,∠ABC=LAEB. 3/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (1)试判断AE与BD的位置关系，并说明理由； (2)若BE平分∠CBD,∠AEB=39°，求∠D的度数. 【详解】(1)AE∥BD,理由如下： ZABE ZDBC ∠ABE-∠CBE=LDBC-LCBE,即∠ABC=∠DBE, :∠ABC=LAEB, .∠DBE=∠AEB, AE∥BD (2):BE平分∠CBD,∠AEB=39°， ∠CBE=∠DBE=∠AEB=39°， .∠ABC=∠DBE=39°， ∠ABD=∠ABC+∠CBD=39°x3=117° :AB∥CD, ∴∠ABD+∠D=180°， .∠D=180°-∠ABD=63 题型精讲 题型01利用平行线的性质求角度 【例1】(25-26七年级下.安徽，期中)如图，已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M、N,作∠END 的平分线交AB于点P,∠FMB的度数为70°，则∠NPB的度数是() E A M B D F A.75° B.95° C.105° D.125° 【答案】D 【详解】解：：AB∥CD,∠FMB=70°， ∠END+∠FMB=180°， .∠END=110°. 4/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PN是∠END的平分线， B∠PND)∠END=559 :AB∥CD, ∴∠NPB+∠PND=180°， ∠NPB=180°-∠PND=125°. 【变式1-1】(25-26七年级下，安微宿州期中)如图，直线AB∥CD,EF分别与AB、CD相交于点E、F, EP平分∠BEF,EP⊥FP于点P,若∠1=50°，则∠2的度数为() y B K2 D 公 A.30° B.40° C.50 D.60° 【答案】B 【详解】解：：EP⊥FP, ∴∠EPF=90°， .∠PEF+∠PFE=90°， :∠1=∠PEF, .∠PFE=90°-∠1， ∠1=50°， .∠PFE=90°-50°=40°， :EP平分∠BEF, .∠BEF=2∠1=2×50°=100°， :AB∥CD, .∠BEF+∠EFD=180°， .∠EFD=180°-∠BEF=80°， .∠EFP=40°， ∴∠2=40°. 【变式1-2】(24-25七年级下·安微安庆期末)将一副三角板按如图所示的方式放置，其中∠A=45°， ∠C=∠D=90°，∠E=60°，若EF∥BC,则∠BFD= 5/45 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】15° 【详解】解：：∠A=45°，∠C=∠D=90°，∠E=60°， ∠B=45°，∠DFE=30°. EF∥BC, .∠BFE=LB=45°. ∠BFD=∠BFE-∠DFE=45°-30°=15°. 故答案为：15°， 【变式1-3】(25-26七年级下.安微芜湖期中)问题背景：若∠2=∠1+10°，则我们称∠2是∠1的“驰骋角”. 例如：∠A=30°，∠B=40°，则∠B是∠A的“驰骋角”.某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究. H 图1 图2 图3 (1)探究1：如图1，直线1，Z被直线4所截.已知∠B是∠α的“驰骋角”. ①当∠β=68°时，La= ②当∠B=2∠a-45°时，直线4与直线☑ (填“互相垂直”或“不互相垂直”)； (2)探究2：如图2，直线EF与直线AB,CD分别交于点G,H.己知LAGH是∠DHG的“驰骋角”. ①求证：∠CHG是∠BGH的“驰骋角”. ②如图3，O是GH上一点，过点O的直线MN分别交直线AB,CD于点P,Q,且∠CHG=70°，当 ∠E0Q是∠CQ0的“驰骋角"时，求LE0Q的度数， 【答案】(1)①58；②不互相垂直； (2)①见解析：②130 【详解】(1)解：①：∠B是∠α的“驰骋角”， ∠β=∠a+10°， :∠β=68°， ∠a=58°， 故答案为：58； 6/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②∠B是∠a的“驰骋角"， ∴∠β=∠a+10°， :∠B=2∠a-45°， 联立得 ∠B=∠a+10° ∠B=2∠a-45°' ∠au=55° ∠B=65°' 如图，过C作CD∥I, D 1 B C 6 13 ÷∠1+∠BCD=180°，∠ACD=∠β=55°， ∠BCD=a+B=55°+65°=120°， .∠1=60°≠90°， “直线4与直线马不互相垂直， 故答案为：不互相垂直； (2)①证明：：∠AGH是∠DHG的"驰骋角”， ∴.∠AGH=LDHG+10°， :LCHG=180°-∠DHG,LBGH=I80°-LAGH, .∠CHG-∠BGH=180°-∠DHG-(180°-∠AGH=∠AGH-∠DHG=10°， ∠CHG-∠BGH=10°，即LCHG=LBGH+10°， ∴∠CHG是∠BGH的“驰骋角"： ②如图，过点Q作QT∥EF, E M B ∴.∠CQT=∠CHG=70°，∠OQT=180°-∠EOQ, .∠CQ0=LC0T+∠0QT=70°+(180°-∠E00)=250°-∠E00, 由题意得∠EO0=∠CQ0+10°， 7/45 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠E00=250°-∠E00+10°=260°-∠E0Q, 即∠E0Q=260°-∠E0Q, 解得∠E0Q=130°， .LE0Q的度数为130° 题型02平行线的判定和性质综合应用 【例2】(25-26七年级下安微六安期中)篮球架及侧面示意图如图所示.若∠EDC=150°，DE∥AB, CB⊥AB于点B,求∠GCB的度数.由题意，可过点C作AB的平行线CM,请你补全依据和解题过程. D G B 解：如图，过点C作CM∥AB, DE∥AB, .∴.DE∥CM( ∴.∠DCM+∠EDC=180° .∠DCM=180°-∠EDC=180°-150°=30°， :CM∥AB, .ZBCM ZCBA :CB⊥AB于点B, .∠CBA=90°( .∠BCM=90°， .∠GCB=180°-∠BCM-LDCM= (平角的定义). 【详解】解：如图，过点C作CM∥AB, 分 D 7777777777777777777 :DE∥AB, 8/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·.DE∥CM(平行于同一条直线的两条直线平行)， :∠DCM+∠EDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴.∠DCM=180°-∠EDC=180°-150°=30°， :CM∥AB, .∠BCM=∠CBA(两直线平行，内错角相等)， :CB⊥AB于点B, ∠CBA=90°（垂直的定义）， .∠BCM=90°， ∴∠GCB=180°-∠BCM-∠DCM=60°（平角的定义） 【变式2-1】(25-26七年级下.安微阜阳期中)如图，已知点E,F分别为AB,CD上的点，∠G=∠H, ∠1=∠2，求证：∠FEB=∠EFC. E D 【详解】证明：“∠G=∠H, FG∥EH, ∠EFG=∠FEH, ∠1=∠2， .∠1+∠FEH=∠2+∠EFG, 即∠FEB=∠EFC. 【变式2-2】(25-26七年级下…安徽芜湖期中)几何研究中，常通过等量代换、构造辅助线等方法，将研究 对象转为已知的定理或基本图形，从而实现化繁为简、化未知为己知. 请解决以下问题： (1)请将推理过程补充完整： 如图1，已知AB∥0C,∠A=∠C.证明：A0∥CD. ☒1 图2 证明：：AB∥OC,① (两直线平行，内错角相等)· :∠A=∠C,② (③ .A0∥CD(④ (2)借鉴模仿第(1)题，完成证明： 9/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图2，若AE∥CF,AB∥CD,证明：LA=∠C· 【详解】(1)证明：：AB∥OC, “①∠A=∠0（两直线平行，内错角相等）· :∠A=∠C, ∴.②L0=∠C(③等量代换). ·A0∥CD(④内错角相等，两直线平行)： (2)证明：延长AB,CF相交于点G. G :AE∥CF(已知)， ·∠A=∠G(两直线平行，内错角相等)· :AB∥CD(已知)， ∴∠C=∠G(两直线平行，内错角相等)， :∠A=∠C(等量代换)· 【变式2-3】(25-26七年级下.安微芜湖期中)综合与实践 基本图形 如图1，在四边形ABCD中，延长BA至点E,∠DAE=∠ABC,∠BAD=∠BCD· F D 7D 图1 图2 图3 (1)①求证：∠ABC=∠D. ②如图1，∠ABC的三等分线与LBCD的三等分线交于点P,且∠CBP>∠ABP,LPCB>∠PCD,求 ∠BPC的度数. 类比探究 (2)如图2，F是射线AE上一点，连接CF,交AD于点G,∠AGC=138°.若∠DAE的三等分线与∠DCF 的三等分线交于点P,∠DAP<∠EAP,∠PCF<∠PCD,请直接写出∠APC的度数. 拓展延伸 (3)如图3，F是射线AE上一点，连接CF.延长AB,FC分别至点H,I.∠CBH的三等分线与∠DCI的 10/45 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三等分线CK的反向延长线交于点Q,且∠CBQ>∠HBQ,∠ICK>∠DCK,∠BQC=72°.若∠DAE的三等 分线与∠DCF的三等分线交于点P,且∠DAP=m∠EAP,∠PCF=n∠PCD,m=n,求∠APC的度数， 【答案】(1)①见解析；②60° (2)92° (3)48°或969 【详解】(1)①证明：∠DAE=∠ABC,∠BAD=∠BCD,∠DAE+∠BAD=180°， :∠ABC+∠BCD=180°， .AB∥CD, ∠DAE=∠D, .∠ABC=∠D· ②解：如图1，过点P作PM∥AB, E M 图1 由①可知AB∥CD, PM∥AB∥CD, .∠ABP=∠BPM,∠PCD=∠CPM. :∠BPC=∠BPM+∠CPM, .LBPC=∠ABP+∠PCD. :∠ABC的三等分线与∠BCD的三等分线交于点P,且∠CBP>∠ABP,∠PCB>∠PCD, ∠ABP= ∠ABC,∠PCD=∠BCD. 3 :∠ABC+∠BCD=180°， &∠ABP+∠PCD=-ZABC+-ZBCD=LABC+∠BCD=60 3 .∠BPC=∠ABP+∠PCD=60°. (2)解：如图2，过点P作PN∥AB. G 图2 由(1)①可知AB∥CD, 11/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PN∥AB∥CD, ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠EAD=∠B,∠B+∠BCD=180°，∠AGC+∠BCG=180°. ∠EAD+∠BCD=180°，∠BCG=180°-∠AGC=180°-138°=42°， :∠EAD+∠BCG+LDCG=180°， :LEAD+LDCG=180°-∠BCG=180°-42°=138°， :∠APC=∠2+∠3， .∠APC=∠1+L4. :∠DAE的三等分线与∠DCF的三等分线交于点P,∠DAP<∠EAP,∠PCF<∠PCD, :∠PAE=2∠EAD,∠PCD=2∠DCF. 3 3 1+L4=3∠EAD+ +2∠DCF=2 ∠EAD+∠DCF)=92°， 3 :∠APC=∠1+L4=92°. (3)解：如图2，延长DC至点L, .∠DCK=∠LCQ, D A B H 图2 由题意可知∠HBQ-<CBH,∠DCK-∠DC1。 同(1)②可知∠BQC=∠HBQ+∠LCQ=∠HBQ+∠DCK, 4CBH+2Dc1=72, ∠CBH+∠DC1=216°. ∠DAE=∠ABC, .LCBH=180°-∠ABC=180°-∠DAE. :∠DCI=180°-∠DCF, ∠CBH+∠DCI=180°-∠DAE+180°-∠DCF=360°-∠DAE+∠DCF=216°， :.∠DAE+∠DCF=144°. 分类讨论：()当m=n=2时，即∠EAP=;∠DAE,∠PCD=,∠DCF,点P为图2中点P的位置， 3 3 12/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠APC=∠DAE+∠DCF)=48°. (D当m=n=2时，即∠EAP= 3 2DAE,ZPCD-ZDCF,点P为图2中点B的位置 同(1)②：∠APC=2(∠DAE+∠DCF)=96°. 3 综上所述，∠APC的度数为48°或96°. 题型03利用平行线的性质和判定解决实际问题 【例3】(25-26七年级下·安徽六安期中)如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也 是平行的.若水面和杯底互相平行，且∠1=100°，则∠2的度数为() 2“水 A.60° B.70° C.80° D.100 【答案】C 【详解】解：如图， 空气 3 2水 :两条入射光线平行， ∴.1=∠3=100°， ∠2+∠3=180°， .∠2=80°. 【变式3-1】(24-25七年级下·安微合肥期末)如图，体育场C既在教学楼A的南偏东30°方向上，又在礼 堂B的南偏西50°方向上，则∠ACB的度数是() 北 北 A 13/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.60° B.80° C.90° D.100° 【答案】B 【详解】解：如图：由题意可得：∠CAE=30°，∠CBF=50°，AE∥BF, 如图，过C作CD∥AE,则BF∥CD∥AE, LACD=LCAE=30°，∠DCB=LCBF=50°， ∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+50°=80°. D 北 E 故选：B. 【变式3-2】（23-24七年级下·安微芜湖·期末)如图①是自行车的实物图，图②是它的部分示意图， AF∥CD,点B在AF上，∠CAE=120°，∠FAE=65°，∠CBF=100°.则∠ACB的度数为 D 图① 图② 【答案】45° 【详解】解：：AF∥CD, .LCBF =LDCB, :∠CBF=100°， .∠DCB=100°， :∠CAE=120°，∠FAE=65°， ∠CAB=∠CAE-∠FAE=120°-65°=55°， :AF∥CD, ∠ACD=∠BAC=55°， ∠ACB=∠DCB-∠ACD=100°-55°=45°. 故答案为：45°， 【变式3-3】(23-24七年级下.安徽合肥期末)如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间.己知AB∥CD, AF∥DE，,∠1=90°，L2=110°，∠C=135°，则运动员两腿之间的夹角∠CBE的度数为 14/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 2 D E 【答案】65° 【详解】解：如图，过点B作BH∥AF, -------H B \2 D E :∠1=90°， ∠ABH=90°， :AF∥DE,BH∥AF, BH∥DE, :∠2=110°， ∠HBE=70°， .∠ABE=160°， :AB∥CD, .∠ABC=∠C=135°， .∠CBE=360°-∠ABC-∠ABE=65°. 故答案为：659 【变式3-4】(25-26七年级下·安徽宿州·期中)高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装 了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形， BA⊥AE,垂足为A,CD∥AE,有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值.下面是小林 同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整， C D CD 6 ----- A A 图① 图② 解：如图②，过点B作BF∥AE,因为CD∥AE(己知)， 所以∥CD(),所以∠BCD+∠CBF=() 15/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为AB⊥AE(己知)，所以∠EAB=90°()， 因为BF∥AE,所以∠ABF+∠EAB=180°， 所以LABF=180°-90°=90°，所以∠ABC+LBCD=LABF+LCBF+LBCD= 即：∠ABC与LBCD的和是个定值 【详解】解：如图②，过点B作BF∥AE, 因为CD∥AE(已知)， 所以BF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)， 所以LBCD+LCBF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为AB⊥AE(已知)， 所以LEAB=90°（垂直的定义）， 因为BF∥AE, 所以LABF+LEAB=180°， 所以∠ABF=180°-90°=90°， 所以LABC+∠BCD=∠ABF+LCBF+∠BCD=270°， 即：∠ABC与∠BCD的和是个定值. 题型04利用平行线的性质解决长方形折叠问题 【例4】(23-24七年级下.安徽准北期末)如图，把一块含有30度角的直角三角板BEF(LEBF=90)放在 长方形纸片ABCD上，点E落在AD边上，若LDEF=1O5°，则∠CBE=度. 105 【答案】45 【详解】解：：∠DEF=105°，∠BEF=30°， ∠AEB=180°-∠DEF-∠BEF=45°. 由题意可知AD∥BC, :∠EBC=LAEB=45°. 故答案为：45°. 【变式4-1】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D,C分别落在D,C的位置，若∠1=50°，则 ∠FGD'= 16/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G D 【答案】130 【详解】解：AD川BC, ∠EGF=∠1=50°， ∠FGD'=180°-∠EGF=180°-50°=130°. 故答案为：130. 【变式4-2】如图1是长方形纸条，∠DEF=a,将纸条沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3；用a表示图 3中∠CFE的大小为 A E D A E 图1 图2 图3 【答案】180°-3a 【详解】图1中，：四边形ABCD为长方形，∠DEF=a, .AD∥BC, ∠BFE=LDEF=a, .∠CFE=180°-a, 图2中，∠CFB=∠CFE-∠BFE=180°-a-a, .图3中，∠CFE=∠CFB-∠BFE=180°-a-a-a, .∠CFE=180°-3a. 故答案为：180°-3a. 【变式4-3】如图，有一长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF=a(0°<a<90°且a≠60°)， 将纸带ABCD沿EF折叠，再沿GF折叠，当∠NFE和∠DEF的度数之和为11O时，则a的值 17/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】35° 【详解】解：根据题意可知AD∥BC,MG∥NF,根据折叠得 ∠DEF=∠EFG=∠FEG,∠NFG=∠C'FG,∠MGF=∠D'GF. :∠NFE+∠DEF=110°， .∠NFE+∠EFG=110°. :MG∥NF, .∠MGF=180°-∠NFG=70°， ∴.∠MGF=∠D'GF=70°， ∠EGM=180°-70°-70°=40°， ∠EGF=40°+70°=110°. :AD∥BC, ∠DEG+∠EGF=180°， ∠DEG=180°-110°=70°， .∠DEF=∠FEG=35°， 即a=35°. 故答案为：35°. 【变式4-4】(24-25七年级下·安徽六安期末)如图，将一长方形纸条先沿着EF进行第一次折叠，使得 C,D两点分别落在C,D,的位置，再将纸条沿着GF进行第二次折叠(GF与BC在同一直线上)，使得 C,D分别落在C2,D2的位置. D D (1)若∠AEG=120°，则∠C,FG的度数为 (2)若3LEFB=∠EFC,,则∠EFC的度数为 【答案】 120° 150° 18/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：(1)根据题意得：AD∥BC，∠AEG=120°， ∠AEG=∠BGD,=120°， ~ED∥FC, ∠CFG=∠BGD,=120°： (2)根据题意得：AD∥BC, .∠DEF=∠GFE, :折叠， .∠GEF=∠DEF=LGFE, ∴.∠D,GF=∠GEF+LGFE=2∠GFE, :GD,∥CF, .∠CFC=∠D,GF=2∠GFE, :折叠， .∠C,FC=∠CFC=2∠GFE, ∴∠GFC=∠GFE+∠C,FE+∠C,FC=6∠GFE=180°， 3∠EFB=∠EFC2, ∴.∠GFE=30°， ∴∠GEF=30°， ED,∥FC, ∠EFC,=180°-30°=150°. 故答案为：150° 题型05过拐点作辅助线 【例5】(24-25七年级下·安徽芜湖期末)【阅读理解】 如图1，已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间.求证： LAEP+LP+LCFP=360°. D C D C F 图1 图2 图3 MA B CE D CE D 图4 图5 19/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图2，过点P作PQ∥AB, .∠AEP+∠EPQ=180°. :PQ∥AB,AB∥CD, PQ∥CD ∴∠FPQ+∠CFP=180°. :∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠CFP=180°+180°，即∠AEP+LP+∠CFP=360°. 【类比应用】 (1)如图3，己知AB∥CD,∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P=-° (2)如图4，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,试说明： ∠CEP+∠BAP-LAPE=180°； 【拓展应用】 (3)如图5，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,∠DEP的平分线 与∠BAP的平分线所在直线交于点Q,求2LAQE+LAPE的值. 【详解】解：(1)如图，过点P作PQ∥CD, B E C D :∠DEF=115°， ∠CEP=∠DEF=115°， :PQ∥CD, ∠QPE+∠CEP=180°， AB∥CD, PQ∥AB, ∠ABP+∠BPQ=180°， ∠ABP+∠BPQ+∠QPE+∠CEP=360°， .∠ABP+∠P+∠CEP=360°， ∠P=360°-115°-125°=120°； (2)如图，过P点作PM∥AB, D B CE D :AB∥CD, 20/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AB∥CD∥PM, ∠MPE=∠CEP,∠MPA+LPAB=180°， ∠MPE-∠MPA-∠PAB=∠CEP-180°， 即∠APE-∠PAB=∠CEP-180°， .LCEP+∠PAB-∠APE=180°； (3)由示例知，过Q点作QG川CD, B CE D :AB∥CD, QG∥AB, ∠AQG=∠QAB,∠GQE=∠DEQ, ·∠AQE=∠BAQ+∠DEQ, ·.2∠AQE=2∠BAQ+2LDEQ=2180°-∠BAF)+2LDEQ, 又：QE,AF分别是∠PED与∠PAB的角平分线， .2∠BAF=∠PAB,2LDEQ=LPED, .2∠AOE=360°-∠PAB+∠PED, 由(2)知，∠CEP+∠PAB-∠APE=180°， .∠APE=∠CEP+∠PAB-180°， ∴.2LAQE+LAPE =360°-∠PAB+∠PED+∠CEP+∠PAB-180° =180°+180° =360°， 即2∠AQE+∠APE=360°. 【变式5-1】(24-25七年级下.安微阜阳期末)已知点P为直线AB,CD之间的一点，且AB∥CD. B B A B D 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AP,CP,若∠APC=100°，求∠BAP+∠PCD的度数； (2)点Q为直线AB,CD之间的不同于点P的另一点. ①如图2，连接AP,PQ,QC,求∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD的度数； 21/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②如图3，连接BP,PQ,QC,若LABP=36°，∠BP9=81°，∠PQC=92°，求∠QCD的度数 【答案】(1)∠BAP+∠PCD=100°： (2)①∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD=540°；②∠QCD=47°. 【详解】(1)如图1，作PM∥AB, B D 图 :AB I CD PM∥AB∥CD, ∠APM=∠BAP,∠CPM=∠PCD, :LAPM+∠CPM=∠BAP+∠PCD, 即∠APC=∠BAP+∠PCD, '∠APC=100°， ∠BAP+∠PCD=100°； (2)①如图2，过P作PM∥AB,过Q作QN∥AB, A B --M C 0 图2 :AB I CD ∴.ABII PM IION IICD, :∠BAP+∠APM=180°， ∠MPQ+∠PN=180°， ∠NQC+∠QCD=180°， ·三式相加，可得∠BAP+∠AP0+∠PQC+∠QCD=540°： ②如图3，过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB, P<------M W------O D 图邵 AB CD, 22/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .ABII PM IION I‖CD, ∠BPM=ABP=36°， ∴.∠MPQ=∠BPQ-∠BPM=45°， 同理∠PQN=∠MPQ=45°， ∴.∠NQC=∠PQC-∠PQN=47°， ∴.∠QCD=∠NQC=47°. 【变式5-2】(24-25七年级下.安徽蚌埠期末)【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图1，己知点A是BC外一点，连接AB,AC,求LBAC+∠B+∠C的度数。 A 图1 图2 图3 解：过点A作ED∥BC,.∠B=一，LC= 又 +∠BAC+ =1801 .∠B+∠BAC+∠C= 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程， 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,∠C“凑” 在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决. 【方法运用】(2)如图2，己知AB∥CD,BE、CE交于点E,LBEC=80°，求LB-LC的度数.。 (3)如图3，若AB∥CD,点P在AB,CD外部，请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系. 【答案】(1)∠EAB;∠DAC;∠EAB:∠DAC;180°：(2)LB-∠C=I00°；(3)∠BPD=LB-LD 【详解】解：(1)过点A作ED∥BC, .∠B=∠EAB,LC=LDAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∠B+∠BAC+∠C=180°， 故答案为：∠EAB;∠DAC;∠EAB;∠DAC;180°； (2)过点E作EF∥AB, A F------E C∠ D ∴.∠B+∠BEF=180°， ∠BEF=180°-∠B, 23/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB∥CD, :EF CD, .∠FEC=∠C, :∠BEC=80°， .∠BEF+∠FEC=80°， .180°-∠B+∠C=80°， .∠B-∠C=100°： (3)∠BPD=∠B-∠D, 理由：过点P作PE∥CD, B E .∠D=∠DPE, :AB∥CD, AB∥PE, ∠B=∠BPE, :∠BPD=∠BPE-∠DPE, ∠BPD=∠B-∠D. 【变式5-3】(25-26七年级下·安徽铜陵月考)如图，已知AB∥CD,点E在AB上，点H在CD上，点F 在AB,CD之间，连接EF,FH. M E B A A B H H 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AEF+∠CHF=270°，求证EF⊥FH, (2)如图2，EG平分∠AEF,交CD于点G,且∠EFH=∠CHF=1I0°，求证EG∥FH. B)如图3，HM平分∠CHF,交FE的延长线于点M,且∠AEF+∠CHF=!∠EFH,求∠FHD-2∠FMH的 度数.（不写过程，直接写出结果） 【详解】(1)证明：过点F作AB的平行线FP, 24/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A P.----〉》 H 一D 图1 AB∥PF,AB∥CD, AB∥CD∥PF, ∠AEF+∠EFP=180°，∠PFH+∠CHF=180°， ∠AEF+LEFP+∠PFH+∠CHF=360°， :∠AEF+∠CHF=270°， ∴∠EFP+∠PFH=90°，即∠EFH=90°， ∴EF⊥FH; (2)证明：AB∥CD, :ZAEG ZEGH, :EG平分∠AEF, ∠AEG=LFEG, ∠EGH=LFEG, :∠EFH=∠CHF=110°， ∠EGH+∠FEG=360°-2x110°=140°，∠FHD=180°-∠CHF=70°， ∠EGH=70°， ∠FHD=∠EGH, EG∥FH; (3)解：连接EH, E A F t, -D H 图3 :AB∥CD, .∠AEH+∠CHE=180°， 又：∠HEF+∠EFH+LFHE=180°， ,.∠AEF+∠CHF+∠EFH=360°， 又：∠AEF+∠CHF=-'∠EFH, 4 25/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EFH=360°， 4 ∠EFH=96°， :HM平分∠CHF, :∠CHM=∠FHM=∠CHF, 2 .∠FHD=180°-∠CHF=180°-2∠MHF, :∠FMH+∠MHF+∠MFH=180°，∠MFH=96°， .∠FMH=84o-∠MHF, .∠FHD-2∠FMH=180°-2∠MHF-284°-∠MHF）=12°. 【变式5-4】(24-25七年级下·安徽合肥期末)己知直线AB∥CD,点M、N分别是直线AB和CD上的两点， 点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG. M G 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BMG=a,LDNG=B,试说明∠G=a+B: (2)如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP,ND平分∠GNP.若 ∠BMG=30°，求LG+∠P的度数； (3)如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN,若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为∠AMP的 平分线，NP平分∠CNG,∠MGN=108°-2∠P,则∠AMP= 【详解】(1)证明：过点G作GH∥AB(点H在点G的左侧)，如图1所示： M H----------->>G AB CD, C D 图1 .ABIGH‖CD, :∠MGH=∠BMG,∠NGH=∠DNG, :∠MGH+∠NGH=∠BMG+∠DNG, :.∠MGN=∠MGH+∠NGH, ZBMG=a,ZDNG=B, .∠MGN=a+B; 26/45 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：过点P作PE∥CD(点E在点P的左侧)，如图2所示： M :MG平分∠BMP,∠BMG=30°， E--- 图2 ∴.∠BMP=2∠BMG=60°， :ND平分∠GNP, ·设LDNG=∠PND=0, :ABCD,PE∥CD AB∥CD∥PE, ∠MPE=∠BMP=60°，∠NPE=∠PND=0, ∴.∠MPN=∠MPE-∠NPE=60°-0， 由(1的结论得：∠G=∠BMG+∠DNG=30°+0， ∠G+∠MPN=30°+0+60°-0=90°： (3)解：如图，过P作PH∥AB,过G作GK∥AB, --…H M 0 一B AB CD, 一D 图3 PH∥CD,GK∥CD, :MF平分∠PMA,PN平分∠CNG, :设LPMF=LAMF=x,∠CNP=∠GNP=y, :AB‖CD,PH∥CD, .∠MPH=∠AMP=2x°，∠NPH=∠CNP=y°， ∠MPN=∠NPH-∠MPH=(y-2x)°， :GK∥AB,GK∥CD, .∠MGK=∠FMA=x°， ∠NGK=∠GND=180°-∠CNG=180-2y)°， .∠MGN=∠MGK+∠NGK=(x+180-2y)°， .∠MGN=108°-2∠MPN, .(x+180-2y)°=108°-2y-2x)°， 27/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=24°， .∠AMP=2x°=48 故答案为：48. 强化训练 一、单选题 1.(23-24七年级下.安徽芜湖期中)如图，AB,CD被直线AE所截，∠1=112°，若要使得AB∥CD,则 ∠2+∠3的度数为() B /D A.112° B.1369 C.78° D.68 【答案】B 【详解】解：AB∥CD, .∠1+∠2=180°， :∠1=112°， ∠2=68°. :∠2=∠3， .∠3=68°. ∠2+∠3=68°+68°=136°， 故选：B 2.(24-25七年级下.安徽准南·期末)如图，若1∥12，下列正确的是() 13 42 A.∠1=∠4 B.∠1+∠4=180 C.∠2=∠5 D.∠4=∠5 【答案】B 【详解】解：A:l∥2， .∠3+∠4=180 28/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1=∠3， ∠1+∠4=180°， 该选项错误，不符合题意： B.由A选项得，∠1+∠4=180°，该选项正确，符合题意； C.由l∥12，无法得出∠2=∠5，该选项错误，不符合题意； D.无法得到∠4=∠5，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B 3.(24-25七年级下.安徽准北期末)如图，AD∥BC,AB∥CD,且CD平分LACF,CE平分∠ACB交AB 于点M,则下列结论不一定正确的是() E A.∠ECD=909 B.∠ABC=∠DCF C.∠DAC=2LCED D.∠BAC=∠DAC 【答案】D 【详解】解：：CD平分∠ACF,CE平分∠ACB, ∠4CE=4cB∠4cD=∠4cr, :∠ACB+∠ACF=180°， :∠5CD=∠ACE+∠4CD=∠4CB+∠4CF)=90P,故A结论正确，不符合题意： ABII CD, ∴∠ABC=∠DCF,故B结论正确，不符合题意； ADI BC,ABII CD, :.∠DAC=∠ACB,∠CED=∠BCE, :∠BCE-ACB, ∠DAC=2∠CED,故C结论正确，不符合题意： 要使∠BAC=∠DAC,即AC平分∠DAB, :AC不一定平分∠DAB, :.∠BAC,∠DAC不一定相等，故D结论错误，符合题意. 故选：D. 4.(25-26七年级下.安徽六安，期中)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG, FG⊥EH于点G,且∠AFG=2∠D,则下列结论：①∠D=30°；②FD平分∠HFB;③2∠D+∠EHC=90 29/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·其中正确的结论有() F A B E G C- > D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：：FG⊥EH, ∠FGE=90°， 又：FD∥EH, ∠GFD=∠FGE=90°， ∠AFG+∠BFD=180°-90°=90°， :∠AFG=2∠D, ∴.2∠D+∠BFD=90°， :AB∥CD, .∠D=∠BFD, .2LD+∠D=90°，解得∠D=30°，则结论①正确： :FD∥EH, ∠EHC=∠D=30°， ∴2LD+∠EHC=2x30°+30°=90°，则结论③正确： :∠D=30°， LBFD=LD=30°，∠GFD=90°，但∠HFD不一定等于30， ∴.FD平分∠HFB不一定正确，综上，正确的是①③ 5.(24-25七年级下.安徽宿州期中)如图，已知直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F, EM平分∠AEF交CD于点M,G是射线MD上一动点（不与点M,F重合），EH平分LFEG交CD于点 H.设LMEH=a,LEGF-B.下列四个式子：①2a=B;②2a-B=180°；③a-B=30°；④2a+B=180° .一定成立的是() E B CM A.①② B.①④ C.③④ D.②④ 【答案】B 30/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：当点G在点F右侧时，如图示： B :EH平分∠FEG,EM平分∠AEF, D ∠MEF= ABF，∠FEH=2FEG, :AB∥CD, :LBEG=ZEGF=B ∠MEH=a=∠MEF+∠FEH=∠4AEF+∠FEG)=5080-∠BEG)-080e-B), .2a+B=180°， 当点G在M和F之间时，如图： E .B :EH平分LFEG,EM平分∠AEF, D ∠MEF=∠AEF,∠FEH= ∠FEG, AB∥CD, ∴.∠AEG=∠EGF=B. S∠MEH=a=∠MEF-∠FEH=)∠AEF-1 FEG=08w-∠8EF)-0w-B-∠BEn-P. ∴.2a=B,则2a-B=0; 综上：①④正确，②③错误； 故选：B. 6.(24-25七年级下.安徽毫州期末)如图，己知AB∥CD,CG交AB于点G,且LC=a,GE平分 ∠BGC,点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与 ∠PHC的关系不可能是() GB H A.2∠GPH-2∠PHC=a B.2LGPH+2∠PHC=a 31/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.∠GPH+∠PHC+2a=I80 D.∠PHC+∠GPH+。a=360 2 【答案】D 【分析】根据点P的位置不同，分别画出图形，从中探求出∠GPH与∠PHC的关系，再作出选择. 【详解】解：：AB∥CD,LC=a, ∴∠BGC=∠C=a, :GE平分∠BGC, ∠BGE=∠coE-∠Bcc-a, 如图所示，过点P作PM∥AB, F G B M----- D D H :LBGE=∠GPM=2, 1 AB∥CD, PM∥CD, ·∠MPH=∠PHC=∠GPH-LGPM=∠GPH-I& -0, :∠GPH-LPHC=2a, 1 即2LGPH-2∠PHC=a,故A是可能的； 如图所示，过点P作PN∥AB, N----- A G B D H .∠FGA=∠BGE= :PN∥AB, A∠FPN=∠FGA=2a, 1 :AB∥CD, .PN∥CD, 32/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠NPH=∠PHC, :∠FPN+∠NPH+∠GPH=180°， 2a+∠PHC+∠GPH=180°， ∠GPH+∠PHC+a=180,故C成立，故D不可能成立： 如图所示，过点P作PK∥AB, G -B D H K-1 .∠FPK=∠AGF= :AB∥CD, .PK∥CD, ∠CHP=∠HPK, ∠GPH+∠HPK=∠GPK= 3, 1 :.∠GPH+∠PHC=。a, 2 2∠GPH+2∠PHC=a,故B成立， 故选：D. 二、填空题 7.(24-25七年级下·安微宿州期末)杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时， 大家都喜欢商家“翘高高”称物.如图，此时AB∥CD,∠1=74°，则∠2的度数为· C 【答案】106° 【详解】解：：AB∥CD,∠1=74°， ∠BCD=∠1=74°， ∠2=180°-∠BCD=106°. 33/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：106° 8.(24-25七年级下.安徽合肥期末)如图，将一副直角三角板作如下摆放，∠A=45°，∠E=30°，当 AC∥DE时，则LDCF= ◇D B F 【答案】45° 【详解】解：由题意可得∠ACB=45°，∠DCE=60°， :AC∥DE,∠E=30°， .∠E=∠ACE=30°， ∠DCF=180°-∠DCE-∠ACB-LACE=45°. 故答案为：45° 9.如图1是长方形纸条，∠DEF=a,将纸条沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3；用a表示图3中∠CFE 的大小为 D 图1 图2 图3 【答案】180°-3a 【详解】图1中，：四边形ABCD为长方形，∠DEF=, AD∥BC, ∴∠BFE=∠DEF=a, .∠CFE=180°-a, .图2中，∠CFB=∠CFE-∠BFE=180°-a-a, 图3中，∠CFE=∠CFB-LBFE=180°-a-a-a, .∠CFE=180°-3a. 故答案为：180°-3a. 10.(25-26七年级下.安徽芜湖·期中)如图，AB∥CD,点E,F分别在AB,BC上. (1)如图1，若点F与点C重合，LAEC:LDCE+4)=3:5,则∠AEC的度数为 (2)如图2，EG∥FH,点H在CD上，若∠AEG=24°，则LCHF的度数为 34/45 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C(F 图1 图2 【答案】 69° 24° 【详解】解：(1)：AB∥CD, ∠AEC+∠DCE=180°. :∠AEC:∠DCE+4=3:5, 设∠AEC=3x,则LDCE+4°=5x, ∠DCE=5x-4°， .3x+5x-4°=180°， 解得x=23°， ∠AEC=3x=3×23°=69° (2)如图，连接EH. G D H :EG∥FH, B :ZGEH =ZEHF. .AB∥CD, LAEH=∠CHE, :ZAEH-ZGEH ZCHE ZEHF, 即∠AEG=∠CHF, ∠CHF=∠AEG=24°.24°. 三、解答题 11.（24-25七年级下安微安庆.期末)如图，已知在三角形ACB中，EF‖CD,∠1+∠2=180°. (1)试说明：DG∥AC; (2)若CD平分∠ACB,DG平分∠BDC,且LA=40°，求∠ACB的度数. 35/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)因为EF‖CD, 所以∠1+∠ECD=180°. 又因为∠1+∠2=180°， 所以∠2=∠ECD. 所以DG∥AC; (2)由(1)得DG∥AC,∠ACD=∠2. 所以∠BDG=∠A=40°. 因为DG平分LBDC, 所以∠2=∠BDG=40°. 所以LACD=40°. 又因为CD平分∠ACB, 所以LACB=2LACD=80° 12.(25-26七年级下.安徽滁州月考)完成下面的证明. 如图，AB∥CD,求证：∠A+∠C+∠AEC=360°. A -------F C D 证明：过E点作EF∥AB :AB∥CD(), :EFI CD ) LA+∠AEF=-(）, ∠C+-=180°(). .∠A+∠C+∠AEF+-=360°( 即∠A+∠C+∠AEC=360°. 【详解】证明：过E点作EF∥AB, :AB∥CD(已知)， :EF‖CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行)， ·∠A+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠C+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠A+LC+∠AEF+∠CEF=360°（等式的性质）， 即∠A+∠C+∠AEC=360° 13.(24-25七年级下·安徽合肥·期末)如图，直线AB,CD被直线BC所截，连接AD,BC交于点E, ∠ABC=65°，∠C=65°. 36/45 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (1)若∠A=60°，求∠ADC的度数： (2)点F在AB上，连接EF,若∠AFE+∠BDC=180°，∠A=∠AEF,请判断∠ADB与∠ADC的数量关系， 并说明理由 【详解】(1)解：：∠ABC=65°，∠C=65°， .LABC=∠C, .AB CD, .∠ADC=∠A, :∠A=60°， .∠ADC=60°： (2)∠ADB=∠ADC,理由如下： 设∠A=∠AEF=x, ∴.∠AFE=180°-∠A-∠AEF=180°-2x, :∠AEF+∠BDC=180°， .∠BDC=180°-∠AEF=2x, ∠ADC=∠A=x, ∴，∠ADB=∠BDC-∠ADC=X, .∠ADB=∠ADC. 14.(24-25七年级下.安徽滁州期末)己知AB∥CD,点C在点D的右侧，∠ADC=50°，∠ABC、 ∠ADC的平分线交于点E. 6 B 图① 图② (1)若点B在点A的左侧，如图①，∠ABC=a,求∠BED的大小（用含C的式子表示）； 解：过点E作EF∥AB, 因为AB∥CD 所以AB∥CD∥EF 请填空，并在括号内填上依据，完成余下解答过程 37/45 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为AB∥EF 所以∠ABE=∠ 又因为 所以∠EDC=∠」 所以∠BED= (2)若点B在点A的右侧，如图②，LBCD=B,求∠BED的大小. 【答案】(1)BEF,两直线平行，内错角相等；EF,CD;DEF; BEF+DEF=L4ABE+∠EDC-ZABC+乙ADCQ+2S9 2 ®3B+15 【详解】(1)解：过点E作EF∥AB, 因为ABII CD 所以ABII CDII EF 因为ABI EF 所以∠ABE=∠BEF(两直线平行，内错角相等) 又因为EFCD, 所以∠EDC=∠DEF, 所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠EDC=∠AC+∠ADC=a+25 故答案为：BEF,两直线平行，内错角相等；EF,CD;DEF; ∠BEF+∠DEr=∠ABE+∠EDC-ABC+∠ADc-a+25 (2)若点B在点A的右侧，如图②，LBCD=阝， B E 过点E作EF∥AB, :AB II CD, :AB∥CD∥EF, :AB∥EF, ∠ABE+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 即∠BEF=180°-∠ABE, 38/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：EF∥CD,DE平行∠ADC, 1 .∠EDC=∠DEF=÷∠ADC=25°， AB I CD .∠ABC=180°-∠BCD=180°-B, 又BE平分LABC, 248E=4c=90-8 .∠BED=∠BEF+LDEF =I80°-∠ABE+∠EDC -180-(90-号8》+25 =159. 答：∠BED的大小为115°+二B 15.(24-25七年级下.安徽宿州月考)如图，∠ENC+∠CMG=180°，AB∥CD. B 2 (1)判断ED与FG的位置关系，并说明理由； (2)∠2与∠3相等吗？为什么？ (3)若∠A=∠1+60°，∠ACB=44°，求∠B的大小. 【详解】(1)解：ED‖FG,理由如下： :∠ENC+∠CMG=180°，LCMG=∠FMN, .∠ENC+∠FMN=180°， .EDFG: (2)解：∠2=∠3，理由如下： :ED‖FG, ∠2=∠D, ABI CD, .∠3=∠D, ∠2=∠3； (3)解：：AB‖CD, 39/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A+∠ACD=180°， :LA=∠1+60°，LACD=∠1+LACB,∠ACB=44°， (∠1+60）+（∠1+44）=180°， .∠1=38°， ABII CD, ∠B=∠1=38°. 16.(23-24七年级下，安徽阜阳·期中)已知射线AB∥CD,点M在射线CD上，AM平分∠BAC,点E在 射线AB上. B B M FD 图1 图2 (1)求证：∠CAM=∠CMA(要求在每一步的推理后注明理由)· (2)如图1，点F在线段CM上，∠AEF=LC,求证：EF∥AC(不要求在每一步的推理后注明理由)· (3)如图2，点F在线段CM的延长线上，∠AEF=∠C,∠CAM=3LMEF=57°，求∠AME的度数. 【详解】(1)证明：：AM平分∠BAC(已知)， :∠CAM=∠BAM(角平分线的定义)， :ABICD(已知)， :∠CMA=∠BAM(两直线平行，内错角相等)， :∠CAM=LCMA(等量代换)； (2)证明：：AM平分∠BAC, ·∠CAM=LBAM, 又∠CAM=∠CMA, ∠CMA=∠BAM, AB∥CD, .∠AEF=∠EFD, 又∠AEF=∠C, :ZEFD ZC .EF∥AC; (3)解：由(2)EF∥AC,过M作MG∥AC, 40/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EB :EF∥MG, .∠GME=∠FEM, 又MG∥AC, .∠CAM=∠AMG, :.LCAM+LFEM=∠GME+∠AMG=∠AME, :∠CAM=3∠MEF=57°， .∠MEF=19°， .∠AME=∠CAM+∠FEM=57°+19°=76°. 17.如图1，AB∥CD,过点F作FP∥CD,可得FP∥AB.利用平行线的性质，可得：LEFG与∠BEF, ∠DGF之间的数量关系是，∠EFG+∠AEF+LCGF=° 利用上面的发现，解决下列问题： (1)如图2，AB∥CD,点M是∠AEF和∠FGC平分线的交点，LEFG=126°，求LEMG的度数： (2)如图3，AB∥CD,GM平分∠CGF,EM⊥GM,EF平分LBEM,若LEFG比LCGF大8°，则 ∠CGF的度数是 图1 图2 图3 【答案】∠EFG=∠BEF+∠DGF,360°；(1)117°；(2)124°. 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线 的性质，难点是类比思想、方程思想在解题中的应用 (1)由已知得AB∥FP∥CD,根据平行线的性质得∠EFP=∠BEF,LPFG=∠DGF,据此可得出LEFG 与∠BEF,∠DGF之间的数量关系；先由AB∥FP∥CD得LEFP+LAEF=180°，∠PFG+∠CGF=180°， 据此可得出LEFG+∠AEF+∠CGF的度数： (2)设LAEM=∠MEF=a,∠CGM=∠MGF=B,则LAEF=2a,∠CGF=2B,由(1)的结论得 ∠EMG=∠AEM+∠CGM=a+B,∠EFG+∠AEF+LCGF=360°，进而得126°+2a+2B=360°，据此可 得∠EMG的度数； (3)设∠CGM=0,则∠MGF=∠CGM=0,∠CGF=20,∠DCF=180°-20，由(1)的结论及 41/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EM1GM得∠4EM=90°-0，进而得∠BEF-90+0),再由(1)的结论得∠EFG=225°-30，然后 根据∠EFG比∠CGF大8°得225°-30=20+8°，据此可求出∠CGF的度数. 【详解】解：∠EFG与∠BEF,∠DGF之间的数量关系是：LEFG=∠BEF+LDGF, 理由如下： AB‖CD,FP∥CD, ∴.AB∥FP∥CD, ·∠EFP=∠BEF,∠PFG=∠DGF, .∠EFP+∠PFG=LBEF+∠DGF, 即：∠EFG=LBEF+∠DGF; ∠EFG+∠AEF+∠CGF=360°，理由如下： :AB∥FP∥CD, ∴.∠EFP+∠AEF=180°，∠PFG+∠CGF=180°， ,∠EFP+∠PFG+∠AEF+∠CGF=360°， 即：LEFG+∠AEF+LCGF=360°， 故答案为：LEFG=LBEF+∠DGF,360°； (2):EM平分∠AEF,GM平分∠FGC, 设∠AEM=∠MEF=a,∠CGM=∠MGF=B, ∠AEF=2a,∠CGF=2B, 由(1)的结论得： ∠EMG=∠AEM+∠CGM=a+B, ∠EFG+LAEF+∠CGF=360°， 又：∠EFG=126°， .126°+20+2β=360°， ∴.a+B=117°， ∴.∠EMG=a+B=117°： (3)设∠CGM=0, :GM平分LCGF, .∠MGF=∠CGM=0, ∠CGF=20, .∠DCF=180°-∠CGF=180°-20， 由(1)的结论得： ∠EMG=∠CGM+∠AEM, 42/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EFG-LBEF+LDGF, :EM⊥GM, ∠EMG=90°， .LAEM=90°-0， .∠BEM=180°-∠AEM=180°-(90°-0)=90°+0， :EF平分∠BEM, ∠BEF=∠BEM=90°+0)， 2 ∠EFG=∠B5F+∠DGF-90+0)+180-20=25-30, 2 :∠EFG比LCGF大8°， .LEFG=LCGF+8°， 即：225°-30=20+8°， 解得：0=62°， .∠CGF=20=124°. 故答案为：124° 18.（23-24七年级下.安微六安期末)如图1，己知直线AB直线CD,点E在AB上，点H在CD上，点 F在AB,CD之间，连接EF,FH. 图1 图2 (1)若LBEF=50°，LFHD=20°，求∠EFH的度数. (2)如图2，EG平分∠AEF,交CD于点G,且∠EFH=∠CHF=1I0°，求∠EGH度数 B)如图3，HM平分∠CHF,交FE的延长线于点M,∠AEF+∠CHF=∠EFH则∠EFH=-: ∠FHD-2∠FMH=- 【答案】(1)LEFH=70° (2)∠EGH=70° (3)96°；12° 【详解】(1)解：如图，过点F作MN∥AB, 43/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E B M---------N:ZEFM =ZBEF =509 CH D 图1 :AB∥CD, .MN∥CD, .∠MFH=∠FHD=20°， :∠EFH=∠EFM+∠HFM=50°+20°=70°； (2):AB∥CD, :∠AEG=∠EGH, :EG平分∠AEF, LAEG=∠FEG, :ZEGH ZFEG, :∠EFH=∠CHF=110°，∠FEG+∠EGH+∠EFH+∠GHF=360°， 2∠EGH=360°-2×110°， LEGH=70°； (3)如图，过点F作FF'∥AB, M E B F C 则∠AEF+∠EFF'=180°， AB∥CD, .MN∥CD, ∠CHF+∠HFF'=180°， .∠AEF+∠CHF+∠EFF'+∠HFF'=360°， 即∠AEF+∠CHF+∠EFH=360°， ∠AEF+∠CHF='∠EFH, 4 11 ∠EFH+∠EFH=360°， ∠EFH=96°； 过点M作MM'∥AB. 44/45 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M M' E AB∥CD, 图2 .FF'∥MM'∥AB∥CD, ·∠F'FH=∠FHD, ∠3=∠EFH-∠FFH=96°-∠FHD, ∠MMF=∠3=96°-∠FHD, :HM平分∠CHF, .∠1=∠2， :∠1=180°-∠FHD 2 :MM'∥CD, .∠MMH=∠1， ∠FMH+(96°-∠FHD)=180-∠EHD .∠FHD-2∠FMH=12°， 故答案为：96°，12° 45/45