专题8.1幂的运算（高效培优讲义，7知识&6题型10类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题8.1幂的运算 教学目标 1.理解幂的意义，掌握四大运算法则（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法）的推导与符号 / 文字表述。 2.理解 零指数幂与 负整数指数幂的规定与运算。 3.能正确、熟练进行单一 / 混合幂运算，辨析法则适用条件，避免混淆。 4.能逆用法则解决条件求值、化简问题。 5.会用科学记数法表示绝对值较小的数。 教学重难点 教学重点 1. 1.四大法则的理解、准确表述与正确应用（正整数指数） 2. 2.零指数、负整数指数的意义与运算 3. 3.幂的混合运算顺序与规范步骤 教学难点 1. 1.法则辨析与防混淆 1. 同底数幂乘法（指数加），幂的乘方（指数乘） 2. 积的乘方（每个因式都乘方），幂的乘方（底数不变） 2. 2.法则的逆用与灵活综合应用（求值、化简、变形） 3. 3.零指数 / 负指数的规定理解与条件限制 4. 4.从具体数到字母抽象的思维跨越 知识点01 同底数幂的乘法 1.幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用， 即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【即学即练】把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 知识点02 幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用字母表示：(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【即学即练】计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 知识点03 积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3) 知识点04 同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)． 知识点05 零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义 可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【即学即练】若，则x应满足的条件是__________． 知识点06 负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【即学即练】计算：______． 知识点07 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1.科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 题型01 利用幂的运算性质计算 【例1-1】计算： 【例1-2】计算：． 【变式1-1】计算： 【变式1-2】计算：． 【变式1-3】计算：． 题型02 幂的运算性质的逆用 【例2-1】同底数幂乘法的运算性质的逆用 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【例2-2】幂的乘方的运算性质的逆用 （23-24七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，求的值． 【例2-3】积的乘方的运算性质的逆用 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的平方根是它本身，的立方根是，求的值． 【例2-4】同底数幂除法的运算性质的逆用 已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽宿州·月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 题型03 幂的运算性质的灵活运用 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【变式3-3】观察下列等式： ① ② ③ …… (1)请写出第④个等式：______； (2)根据你发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：______； (3)请利用上述规律计算：． 题型04 含零指数幂与负整数指数幂的运算 【例4】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）计算： 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 题型05 科学记数法 【例5-1】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）2025年，某科技公司发布了新一代手机芯片，其晶体管栅极长度经官方公布为0.0000000023米，这是目前业界领先的制程工艺之一，数据0.0000000023用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则________． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）一根头发丝的直径约为米，将用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）口罩表示此类型的口罩对空气中0.0000003米的非油性颗粒物的过滤效率最小值为95%，其中0.0000003用科学记数法表示为__________________． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知某细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则等于______． 题型06 素养创新题 【例6-1】用同底数幂的乘法解决整除问题 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 【例6-2】灵活运用幂的乘方比较大小 （24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【变式6-1】“若，则”．根据这一等式的性质可将幂的运算逆向应用，如．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)______； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【变式6-2】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）据研究，某种疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为，已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）计算：___________． 6．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若，，______． 三、解答题 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）计算： 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）计算：． 10.小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 12．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值 17．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：______；若，则______； (2)若，求的值； (3)若，且，为整数，求满足条件的，的值． 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知 (1)求的值； (2)试说明； (3)已知，求的值． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1幂的运算 教学目标 1.理解幂的意义，掌握四大运算法则（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法）的推导与符号 / 文字表述。 2.理解 零指数幂与 负整数指数幂的规定与运算。 3.能正确、熟练进行单一 / 混合幂运算，辨析法则适用条件，避免混淆。 4.能逆用法则解决条件求值、化简问题。 5.会用科学记数法表示绝对值较小的数。 教学重难点 教学重点 1. 1.四大法则的理解、准确表述与正确应用（正整数指数） 2. 2.零指数、负整数指数的意义与运算 3. 3.幂的混合运算顺序与规范步骤 教学难点 1. 1.法则辨析与防混淆 1. 同底数幂乘法（指数加），幂的乘方（指数乘） 2. 积的乘方（每个因式都乘方），幂的乘方（底数不变） 2. 2.法则的逆用与灵活综合应用（求值、化简、变形） 3. 3.零指数 / 负指数的规定理解与条件限制 4. 4.从具体数到字母抽象的思维跨越 知识点01 同底数幂的乘法 1.幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则)  同底数幂相乘，底数不变，指数相加 . 用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) . 2. 运算性质的拓展运用 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用， 即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数). 【即学即练】把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：． 知识点02 幂的乘方 1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用字母表示：(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； 2. 运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：［()］p=(m、n、p 都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时=()=()(m、n 都是正整数). 【即学即练】计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 知识点03 积的乘方 1.幂的运算性质 3(积的乘方) 积的乘方等于各因式乘方的积 . 用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) . 2.运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)； (2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数). 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 知识点04 同底数幂的除法 1.幂的运算性质 4(同底数幂的除法)同底数幂相除，底数不变，指数相减. 用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 2. 运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)； (2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n). 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 知识点05 零次幂 1.零次幂的推导：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义 可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1. 2. 零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1. 用字母表示： a0=1(a ≠ 0) . 【即学即练】若，则x应满足的条件是__________． 【答案】 【详解】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的次幂等于，可得 解得． 知识点06 负整数次幂 1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 . 2. 整数指数幂的运算性质 (1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)； (3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)； (4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) . 【即学即练】计算：______． 【答案】 【详解】． 知识点07 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 1.科学记数法:绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 . 2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤 (1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 . (2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即 ① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)； ②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 . (3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，毫米用科学记数法表示为（   ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 【答案】A 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：毫米， 故选：A． 题型01 利用幂的运算性质计算 【例1-1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【例1-2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-1】计算： 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型02 幂的运算性质的逆用 【例2-1】同底数幂乘法的运算性质的逆用 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【例2-2】幂的乘方的运算性质的逆用 （23-24七年级下·安徽滁州·期末）已知，，，求的值． 【答案】1 【详解】解：由幂的运算可知， ， ∴． 【例2-3】积的乘方的运算性质的逆用 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的平方根是它本身，的立方根是，求的值． 【答案】 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：， ∴． 【例2-4】同底数幂除法的运算性质的逆用 已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ， 所以． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽宿州·月考）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． 例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考： 逆向运用同底数幂的乘法公式，即， ． ． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业计算：． 解：． ①小贤运用了逆向思考的方法，请直接写出此过程中逆向思考运用的公式： ； ②计算：． 【详解】（1）， ． ， ． ． （2）①， 小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：由（1）（2）知， ． 题型03 幂的运算性质的灵活运用 【例3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【详解】解：（1）， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】观察下列等式： ① ② ③ …… (1)请写出第④个等式：______； (2)根据你发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：______； (3)请利用上述规律计算：． 【详解】（1）解：根据题意得： ① ② ③ ④， 故答案为：； （2）解：由（1）得出第n个等式：； 故答案为：； （3）解： …… ． 题型04 含零指数幂与负整数指数幂的运算 【例4】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）计算： 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【详解】解：原式 ． 题型05 科学记数法 【例5-1】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）2025年，某科技公司发布了新一代手机芯片，其晶体管栅极长度经官方公布为0.0000000023米，这是目前业界领先的制程工艺之一，数据0.0000000023用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A 【例5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一．将用科学记数法表示为，则________． 【答案】 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）一根头发丝的直径约为米，将用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）口罩表示此类型的口罩对空气中0.0000003米的非油性颗粒物的过滤效率最小值为95%，其中0.0000003用科学记数法表示为__________________． 【答案】 【详解】解：0.0000003用科学记数法表示为：． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）已知某细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则等于______． 【答案】 【详解】解：根据题意可得， 则：， 故答案为：． 题型06 素养创新题 【例6-1】用同底数幂的乘法解决整除问题 （24-25七年级下·安徽合肥·期中）有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示） (2)试说明能被6整除． 【详解】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， 第四个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即； （2）解：∵，则， ∴ ． ∴能被6整除． 【例6-2】灵活运用幂的乘方比较大小 （24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【变式6-1】“若，则”．根据这一等式的性质可将幂的运算逆向应用，如．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)______； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，则的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【详解】（1）解： ， 故答案为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 【详解】（1）解：． 故答案为1． （2）解：∵， ， ，解得． （3）解：，，，， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：, 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽六安·期末）据研究，某种疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为，已知，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： , 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【详解】解：． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽宿州·月考）计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 6．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若，，______． 【答案】 【详解】解：，， ． 三、解答题 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【详解】解： 把代入， 得 8．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ； 9．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】11 【详解】解： ． 10.小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如下框： 小明的作业 计算：． 解： ． 请你参考小明的方法解答下列问题． 计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 12．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 13．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：； 将，代入，原式． 的值为20． （2）解：， 将，代入，原式， 的值为． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ． 17．我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：______；若，则______； (2)若，求的值； (3)若，且，为整数，求满足条件的，的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，3； （2）∵， ∴． ∴， ∴． （3）∵， ∴，． ∵，为整数， ∴当时，． 当时． 当时，． 18．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知 (1)求的值； (2)试说明； (3)已知，求的值． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）解：由（1）得，， 所以， 所以； （3）解：由，解得：， 因为， 所以， 由（1）得，即， 所以， 所以． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $