培优03 正方形的性质与判定（11大重难题型+强化训练）数学新教材浙教版八年级下册

©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优03正方形的性质与判定11大重难题型+强化训练 划重点·冲高分 题型一正方形性质的理解 题型八正方形的判定定理理解 题型二根据正方形的性质求角度 ②正方形的判定 题型九证明四边形是正方形 题型三根据正方形的性质求线段长度 。正方形 0正方形的性质 题型四根据正方形的性质求面积 题型十正方形中的最值问题 题型五正方形中的折叠问题 0综合 题型十一正方形中的多结论问题 题型六求正方形重叠部分的面积 题型七根据正方形的性质证明 题型1正方形性质的理解 一句话理解正方形 正方形特殊矩形+特殊菱形 既有矩形所有性质，又有菱形所有性质，是“顶配平行四边形”。 二、从三类图形合并记性质 1兼具平行四边形所有性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③对角线互相平分 2.兼具矩形所有性质 ①四个角都是90°直角：②对角线相等 3.兼具菱形所有性质 ①四条边都相等：②对角线互相垂直：③对角线平分每组内角 1.(25-26八年级下·上海徐汇期中)正方形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.四条边相等 2.(25-26八年级下·江苏宿迁·期中)在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中， 既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.（2026四川成都.二模)下列说法正确的是() A.菱形的四个内角都相等 B.矩形的对角线相互垂直 C.正方形的每一条对角线平分一组对角D.平行四边形是轴对称图形 4.(25-26八年级下.湖南永州·期中)下列说法错误的是() A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直 C.菱形的每一条对角线平分一组对角 D.正方形的对角线相等、互相垂直且平分 题型2根据正方形的性质求角度 一、 先记死：正方形自带固定角度 ①四个内角都是90°：②对角线平分内角，分出45°；③对角线相交形成：90°；④对角线把正方形分成： 等腰直角三角形 必背固定角：45°、90° 二、求角度可用的核心性质 1.四边相等，四角都是直角 2.对角线互相垂直、相等、平分 3.对角线平分一组内角→得到45° 4.对边平行→内错角相等 5.自带很多等腰直角三角形，底角都是45° 1. (25-26八年级下·北京大兴期中)如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP,BP,CP,AC.若 △APB是等边三角形，则∠ACP的度数为() B A.75° B.60° C.30° D.15o 2.(25-26八年级下·天津滨海新区期中)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE,则∠BED为 2/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () D A.15° B.20° c.22.5° D.45° 3.(2026河南周口·二模)如图，在正方形ABCD中，在AB的延长线上取一点E,使AE=AC,连接CE, 则∠BCE的度数为() D A.18.5° B.20° C.22.5° D.25° 4.(25-26九年级上云南昆明期中)如图，在正方形ABCD中，点E为DC上一点，连接BE,△DCF 是由△BCE旋转得到的，连接EF,若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为() E B A.10 B.15° C.20° D.30 题型3根据正方形的性质求线段长度 题大招 一、 必须熟记的正方形基础性质 1.四条边全部相等 2.四个角都是90° 3.对角线：互相垂直平分、相等、平分内角成45°4.对角线把正方形分成等腰直角三角形 二、核心公式（直接套用） 3/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设正方形边长为a 对角线长：AC=BD=V2a 已知对角线求边长a=对角线 2 1.(25-26八年级下.山东淄博期中)如图，正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH的四个顶点均在正 方形ABCD的边上.已知AE=a,AF=b,若SE方卷rG=号则b-a等于() E D H B G 8. 3 c. 9 2.(25-26八年级下河北雄安期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E,F分别为边AB,BC的中 点，连接AF,DE,点G,H分别为DE,AF的中点，连接GH,则GH的长为()· D G E A.9V3 8.32 2 c.V2 D.3 3.(2026天津南开.二模)如图，正方形ABCD绕点C逆时针旋转60°得到正方形EFGC,点B,A,D 的对应点分别为G,F,E,连接AF.若AF=4,则边AB的长为() E B 9 A.43-4V2B.2 c.2V2 D.2V3 4/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下，黑龙江哈尔滨期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，在AB边上取一点G使得 AG=2,连接DG,点E在边AD上，作EF⊥DG交BC于点F,则EF的长为() D A.2V3 B.10 c.2V10 D.2V5 题型4根据正方形的性质求面积 第第■第第■第学等 解 !三个核心公式（直接背） 设正方形边长为ā，对角线为d !1.已知边长 S-a2 2.已知对角线 3对角线与边长关系 d=V2a,a= V2 2 1. (25-26八年级下·江苏徐州期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形 ABC0的一个顶点.如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为() B A.1 B.2 C.4 D.8 5/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下.福建南平期中)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠E=90°，AE=3,BE=4, 则图中阴影部分的面积是() B A.18 B.19 C.25 D.31 3.(25-26八年级下.山东德州期中)如图，四边形ABCD和DEFG是两个不全等的正方形，连接BG交 DE于H,如果△BHE面积为10，则△DHF面积为()， E H A.5V2 B.8 c.10 D.1092 4.（25-26八年级上湖南邵阳期末)如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20cm和90cm的两个小 正方形，则余下部分的面积为() 20cm 90cm2 A.110cm2 B.302cm2 602cm2 D.45+6/10cm2 题型5正方形中的折叠问题 解 两大常考题型 题型1：折叠求线段长 I步骤：①设边长小段为x;②用正方形边长表示另一条直角边；③Rt△中勾股列方程，解x 关键点：折叠后隐藏很多相等边，直接等量代换。 6/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2：折叠求角度 套路： 折叠平分原角 正方形直角90°，折叠均分 常出：45°、22.5°、67.5° 利用互余、三角形内角和推算 1.(2026湖北黄冈，模拟预测)正方形纸片ABCD的边长为12，点G在边AD上，连接BG,点E在边AB 上，沿CE折叠该纸片，使点B落在BG上的F点，折痕CE与BG交于点H,若AG=5,则GF的长为 () D 11111111 E B 49 A.3 B. C. 59 D.5 13 13 2.(24-25八年级下，贵州遵义，期中)如图，四边形ABCD是边长为18的正方形纸片，B为CD边上的点， BC=6.将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B处，点A的对应点为A,折痕分别与AD,BC边交于 点MN,则AM的长是() D B A.4 B.4.25 C.5 D.5.5 3.(25-26八年级上山东济南期末)如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直 线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=8,EF=4VS,则 AB=() 7/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B H A.4 B.4+V6 c.2+2V6 D.4+2V6 4.(25-26八年级上山西运城期中)如图，正方形纸片ABCD的边长为8Cm,点E是边AD的中点，将 这张正方形纸片折叠，使点C落到AD边上的点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F.则DF:DE 的值是() A. 3 5 3 4 B.4 C.4 4 D 题型6求正方形重叠部分的面积 解 题 ·、核心原理 1.两个全等正方形重叠，绕公共顶点旋转： |2利用正方形边长相等、直角相等、三角形全等： 3重叠面积常是定值，跟旋转角度无关。 二、最重要结论（直接背） 边长相等的两个正方形，一个顶点放在另一个正方形中心项点旋转： 重叠部分面积=一个正方形面积的4 设正方形边长为a 8/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S重叠 a 4 三、两种常考模型 模型1：一个正方形顶点落在另一个正方形中心无论怎么旋转，重叠面积永远不变： 解题方法： 证两个小直角三角形全等，把不规则重叠部分割补成四分之一个正方形。 模型2：两个正方形共一个公共顶点旋转 同样用全等三角形割补，把重叠不规则图形，补成固定直角区域，面积为定值。 一一一一 1.(24-25八年级下·河南南阳期末)如图所示：正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正 方形A'BC0的一个顶点.如果两个正方形的边长相等，若正方形ABCD的边长为4，则两个正方形重叠 部分的面积为() B A.16 B.8 C.4 D.1 2.(24-25八年级下.江苏苏州期末)已知正方形纸片ABCD和EFGH的面积分别为S1,S2.如图①，先 将正方形纸片ABCD的顶点A放置在正方形纸片EFGH的对称中心O处，此时重叠部分的面积为S3:如 图②，再将正方形纸片EFGH的项点H放置在正方形纸片EFGH的对称中心O处，此时重叠部分的面积 为5，若S=9则S等于() S3 Sa 9/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H A A(O) D D G E H(O) B C G 图① 图② 4.16 C.4 D.9 3.(24-25八年级下，四川遂宁期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点0，点O是正方形ABCO 的一个顶点，已知两个正方形的边长都为6cm,那么绕点O转动正方形ABCO,两个正方形重叠部分的 面积为()cm2. D A.12 B.9 C.36 D.不确定 4.(24-25八年级下·江苏泰州期末)如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长 分别是4和3，则图中阴影部分的面积是() D 1 A. B. c.3 D.无法确定 题型7根据正方形的性质证明 10/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题大 正方形证明常考4大类 1.证明线段相等 ！思路： ①用正方形边长都相等；②证三角形全等(SAS、ASA、AAS);③等角对等边、45°出等腰 2证明角度相等求角度 思路： ①对角线平分内角得45°；②直角互余、平行线内错角相等：③全等三角形对应角相等 3.证明线段垂直 思路： ①正方形邻边本身垂直：②对角线互相垂直：③证两角互余→夹角90° 4证明三角形全等、等腰、等边 ①正方形边相等+直角，极易凑SAS;②有45+两边相等→等腰直角三角形 1.(陕西汉中市汉阳区2026年初中学业水平模拟卷（二）数学)如图，点E、F分别为正方形ABCD的 边AB、CD的中点，点P为正方形外一点，连接PA、PD、PE、PF,PA=PD,求证：PE=PF. D B 2.(25-26八年级下，江苏宿迁期中)如图，在正方形ABCD中，点E,F为对角线BD上两点，CE=CF E (1)求证：四边形AFCE是菱形 (2)若正方形ABCD的面积为18，BF=2,求菱形AECF的面积. 11/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下.甘肃定西期中)已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC,∠BCA的平分线 CF交AB于点F,过点B作BM⊥CF于点N,交AC于点M,过点C作CP⊥CF,交AD延长线于点P. D D (1)求证：CF=CP: (2)若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积 4.（25-26八年级下·江苏连云港期中)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE. (1)求证：AD=DE: (2)求∠AED的度数. 题型8正方形的判定定理理解 三大判定定理（必须背熟） 判定1：从矩形变正方形 1有一组邻边相等的矩形，是正方形。 理解：①矩形已经有「四个直角、对角线相等」；②只要再加邻边相等→就是正方形。 判定2：从菱形变正方形 :有一个角是直角的菱形，是正方形。 理解： ①菱形已经有「四边相等、对角线垂直；②只要再加一个直角→就是正方形。 判定3：从对角线直接判定 12/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一。一e一。一一。一。一。一。一。一。一一。一。一。一一。e。一。一。一。一。=一。一e一。一。一一一 :对角线相等且互相垂直的平行四边形，是正方形。 理解： 平行四边形+对角线相等→矩形 平行四边形+对角线垂直→菱形 !又等又垂→既是矩形又是菱形一正方形 1.(25-26八年级下.北京·期中)下列说法正确的是（) A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D.一组邻边相等的四边形是菱形 2.(25-26八年级下·上海徐汇·期中)在下列判断中正确的是() A.一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B.一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形 C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.多边形的内角中至多有3个锐角 3.(25-26八年级下.云南昆明期中)下列命题中，是假命题的是() A.四个角都相等的四边形为矩形 B.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C.对角线相等的平行四边形为菱形 D.一组邻边相等的矩形为正方形 4.（25-26八年级下·山东威海期中)下列说法正确的是() A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 题型9证明四边形是正方形 解题大招 13/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “、三种正规判定方法（考试直接用） 方法一：矩形+一组邻边相等→正方形步骤： 1.先证四边形是矩形（三个直角/平行四边形+一个直角对角线相等的平行四边形） 2.再证一组邻边相等 !3结论：是正方形 方法二：菱形+有一个内角是直角→正方形 步骤： :1.先证四边形是菱形（四边相等平行四边形+邻边相等对角线垂直的平行四边形） !2.再证有一个角是90° 3.结论：是正方形 方法三：平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形步骤： 1.先证是平行四边形 12.证对角线相等且互相垂直 3.结论：是正方形 1.(25-26八年级下江苏盐城期中)如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在 边BC,CD上，将AB,AD分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好都和点G重合，∠EAF=45° G (1)求证：四边形ABCD是正方形： (2)若正方形ABCD边长为3，BE=1,求EF的长度. 2.(2026四川绵阳.一模)如图，四边形ABCD中，CD‖AB,∠ABC=90°，AB=BC,将△BCD绕 点B逆时针旋转90°得到△BAE,连接CE,过点B作BG⊥CE于点F,交AD于点G,若CD=AB, 14/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G D P F B (1)求证：四边形ABCD是正方形： (2)若CD=4,求DG的长. 3.(25-26八年级下.吉林.期中)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交BC于点E, EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. F A G (1)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若BE=DG,求证：AD=AE, 4.(25-26八年级下.上海普陀期中)如图，已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线， 并交于点G,连接AG,点M是AG的中点，分别连接EM、DM. E D (1)求证：四边形EGDM是平行四边形： (2)若AB=AC,∠GBC=45°，求证：四边形EGDM是正方形. 题型10正方形中的最值问题 15/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “、 先记定义 有一个角是直角的平行四边形，就是矩形（长方形）。 本质：特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质，矩形全都有，还多了自己专属性质。 二、矩形四大核心性质（分两类） 1.和平行四边形一样的性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③邻角互补（加起来180）；④对角线互相平分 2矩形独有的特殊性质（重点必考） ①四个角都是直角(90)：②对角线相等。 通用步骤： !1作其中一个点关于正方形边的对称点 2连接对称点与另一个定点，连线长度就是最小值 3.用勾股定理算长度套路：遇和最小→作对称、化折为直。 模型3：正方形内动点，求周长最值 解题技巧 1利用正方形对称、边长定值 2把多变线段转化为固定线段和 3再用垂线段最短找临界位置常见：等腰直角三角形周长最小、折线周长最小。 模型4：正方形折叠最值、线段差最值 1折叠后对应边相等，把线段转移位置 2.求PA-PB最大值：找三点共线时取最大 3利用正方形对角线、边长构造直角三角形勾股求解 1. (2026湖北，一模)如图正方形ABCD,点E为边AB上一动点，连接EC,作BF1EC于点F,连接 AF,以AE长为横坐标X,以AF长为纵坐标y,绘制图象如图所示，则(1)AD=；(2)y的最小 值为 16/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22 B 2.(25-26八年级下.江苏南通期中)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在CD上且CE=2,点F、P分 别为线段BC、AD上的动点，连接BE,BP,FP,EF.若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE, 则： (1)BE的长为 (2)BP+EF的最小值为 3.（25-26八年级下山西期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y 轴上，点O是坐标原点，点D(0,1)是边OC上一点，点MN都是x轴上的动点，若点B(4,4),MN=1 (点M在点N的左侧)，则DM+MN+NB最小时，点M的坐标是 B(4,4) C D OMNA衣 4.(25-26八年级下江苏无锡期中)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AD=3, P为BD上的一点，DP=V2,则AP的长度为；若M为AP上一动点，连接CM并将线段CM绕点C 顺时针旋转90°得CN,连接DN,则DN的最小值为一， 17/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型11正方形中的多结论问题 通用做题步骤G逐结论排查) 1.标图 1把90°、45°、相等边、相等角全部标在图上。 2.动点用特殊位置验证 把动点放到顶点、中点，快速验对错。 3能证就证，不能证就举反例一个结论单独分析，不凭肉眼看图。 4.优先用全等、45°、互余代换 四、高频固定结论（直接背） 1.正方形内过中心的直线，平分周长、平分面积。 2.顶点在正方形边上的直角三角，常出全等、线段和定值。 i3.含45°角模型，常能证线段和差关系。 4旋转折叠后，必有边角相等、面积不变。 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。 1. (25-26八年级下，江苏盐城期中)如图，正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O作射 线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F(点E不与C,D重合)，且∠EOF=90°，连接EF,给出 下列结论，其中不一定成立的是() A D B A.△COE≌△BOF 18/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.四边形OFCE的面积等于正方形ABCD面积的4 C.BF=CE D.EF平分∠OEC 2.(2026山东烟台.一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点E在线 段OA上，连接BE,作CF⊥BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论： ①∠OCP=∠OBE；②OE=OP；③当CE=CB时，BP=EF;④点A与点F之间的距离的最小值为 V5-1.上述结论中，正确结论的序号有（) D A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 3.(25-26八年级下广东阳江期中)如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点，AP的垂直平分线交 AB于点M,交AD的延长线于点N,连结PN交CD于点Q,连接AQ.给出下面四个结论：①NA=NP; ②PA平分∠BPN;③BP+DQ=PQ;④若P是BC中点，则Q也是CD中点.上述结论中，正确结论的 序号有() A.①②③④ B.①② C.①②③ D.①②④ 4.(25-26八年级下·湖南娄底·期中)如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作 AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=V5.下列结论：①△APD≌△AEB:②点B到直线AE 的距离是2：®EB1ED:①SE方形ABC0=4+6其中正确的结论是（） 19/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.①②③④ B.①③ C.②③ D.①③④ 强化训圳练 1. (25-26八年级下江苏南京期中)下列命题中正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.(2026陕西西安二模)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE,DE的 延长线交BC于点F.若BF=EF,则∠CDF的度数为() D F A.20° B.30° C.35° D.40o 3.(25-26八年级下·湖北武汉期中)如图，点A3,0,B0,2,将线段AB平移到线段DC,连接 BC,AD,若∠ABC=90°，AB=BC,则点D的坐标是() A A.5,3 B.3,5 c.6,3 D.6,2 4.(25-26八年级下.山东淄博期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是() 20/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 D.当∠DAB=90时，四边形ABCD是正方形 5.(25-26八年级下山东淄博期中)已知菱形的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两个实数根， 则与该菱形面积相等的正方形的边长为（) A.2V2 B.4 C.2 D.6 6.(25-26八年级下北京房山期中)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,若AC=V2, 则正方形ABCD的周长为() A.4V2 B.4 c.2V2 D.8 5-1 7.(25-26八年级下广西南宁期中)我们将宽与长之比为 2 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形(AB>AD),在其内部作正方形AEFD,若矩形ABCD的边AB=4,那么CF的长为 () E B D A.5-V5 B.3-V5 c.6-2V5 D.4-2V5 8.(25-26七年级下·河北沧州期中)图中的正方形ABCD是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点 A表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚：点C 21/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 翻滚到数轴上时记为第二次翻滚·，该正方形经过次翻滚后，其顶点A,B,C,D中某个点与数轴上的 666重合，则剪拼出正方形ABCD的图形可能是() B -2 0 2 2 B 二、填空题 9.(上海市天山初级中学等2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中练习)如图，正方形ABCD的 边长为1，点E在对角线AC上且AE=AB,则CE的长为 10.(25-26八年级下江苏南京期中)如图，以正方形ABCD的一边BC向正方形内作等边△EBC,则 ∠AEB=o D 11.（25-26八年级下，内蒙古鄂尔多斯期中)魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证 明.如图，四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形，若AD=5,EI=7,则正方形AHIG的面积为 22/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D朱出 ☑J 东方 青 G 青入 青方 朱入 青出 青出 刘徽（约225年-约295年） E F 12.(25-26八年级下山东菏泽.期中)如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的任意一点，PE⊥AB 于点E,PF⊥BC于点F,连接EF.若正方形ABCD的边长为3V2,则EF的最小值为： A 13.(25-26八年级下·上海闵行·期中)定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点 的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为O,在正方形外有一点P,OP=4,当正方形绕着 点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 三、解答题 14.(25-26八年级下湖北咸宁期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，延长BC至点 E,使AE=AB,连接DE. A D (1)求证：四边形ACED是矩形： 23/24 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当∠B是多少度时，四边形ACED是正方形，为什么？ 15.(25-26八年级下·湖南湘潭期中)如图，正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上，且DE=CF, AF与BE相交于点G. A D G F (1)求证：BE=AF: (2)若AB=5,DE=1,求AG的长. 16.（25-26八年级下江苏南京期中)已知：如图，在口ABCD中，点O是它的对称中心，过点O分别作 OM⊥AB于M,ON⊥BC于N,OM=ON. M B (1)求证：口ABCD是菱形： (2)请添加一个条件，使口ABCD是正方形.（写出所有正确答案的序号） ①OM⊥ON;②M是AB的中点；③MN=BO;④OM=BM. 24/24 培优03正方形的性质与判定11大重难题型+强化训练 题型1正方形性质的理解 一、一句话理解正方形 正方形=特殊矩形+特殊菱形 既有矩形所有性质，又有菱形所有性质，是“顶配平行四边形”。 二、从三类图形合并记性质 1.兼具平行四边形所有性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③对角线互相平分 2.兼具矩形所有性质 ①四个角都是90°直角；②对角线相等 3.兼具菱形所有性质 ①四条边都相等；②对角线互相垂直；③对角线平分每组内角 1．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 3．（2026·四川成都·二模）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等， ∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 4．（25-26八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质逐一判断即可得到错误说法． 【详解】解：A、平行四边形的基本性质是对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线性质是相等且互相平分，不一定互相垂直，原说法错误，符合题意； C、菱形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线相等、互相垂直且平分，原说法正确，不符合题意； 题型2根据正方形的性质求角度 一、先记死：正方形自带固定角度 ①四个内角都是90°；②对角线平分内角，分出45°；③对角线相交形成：90°；④对角线把正方形分成：等腰直角三角形 必背固定角：45°、90° 二、求角度可用的核心性质 1.四边相等，四角都是直角 2.对角线互相垂直、相等、平分 3.对角线平分一组内角→得到45° 4.对边平行→内错角相等 5.自带很多等腰直角三角形，底角都是45° 1．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而得到，，，进而判断出为等腰直角三角形，求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是由旋转得到的， ， ，，， 点在上， ， 是等腰直角三角形， ， ． 题型3根据正方形的性质求线段长度 一、必须熟记的正方形基础性质 1.四条边全部相等 2.四个角都是90° 3.对角线：互相垂直平分、相等、平分内角成45°4.对角线把正方形分成等腰直角三角形 二、核心公式(直接套用) 设正方形边长为a 对角线长： 已知对角线求边长 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式的变形求值、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和全等三角形的判定，证明，从而得出，结合正方形边长为1得到，利用勾股定理和小正方形面积得到，最后利用完全平方公式变形求出的值． 【详解】解：四边形和均为正方形 ， 、、、， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接并延长交于M，连接，推出，由等量关系得出，即可得到解． 【详解】解：连接并延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴ ∵点H为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于点，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵边长为6的正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型4根据正方形的性质求面积 三个核心公式(直接背) 设正方形边长为a,对角线为d 1.已知边长 2.已知对角线 3.对角线与边长关系 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得， ． 3．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 题型5正方形中的折叠问题 两大常考题型 题型1：折叠求线段长 步骤：①设边长小段为x；②用正方形边长表示另一条直角边；③Rt△中勾股列方程，解x 关键点：折叠后隐藏很多相等边，直接等量代换。 题型2：折叠求角度 套路： 折叠平分原角 正方形直角90°，折叠均分 常出：45°、22.5°、67.5° 利用互余、三角形内角和推算 1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）正方形纸片的边长为，点在边上，连接，点在边上，沿折叠该纸片，使点落在上的点，折痕与交于点，若，则的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是边长为18的正方形纸片，为边上的点，．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与边交于点M、N，则的长是（   ） A．4 B．4.25 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】连接，依据垂直平分，即可得到，设，则，依据勾股定理可得方程，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，B，关于对称，即垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵中，， 中，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 题型6求正方形重叠部分的面积 一、核心原理 1.两个全等正方形重叠，绕公共顶点旋转； 2.利用正方形边长相等、直角相等、三角形全等； 3.重叠面积常是定值，跟旋转角度无关。 二、最重要结论(直接背) 边长相等的两个正方形，一个顶点放在另一个正方形中心/顶点旋转： 重叠部分面积=一个正方形面积的 设正方形边长为a 三、两种常考模型 模型1：一个正方形顶点落在另一个正方形中心无论怎么旋转，重叠面积永远不变： 解题方法： 证两个小直角三角形全等，把不规则重叠部分割补成四分之一个正方形。 模型2：两个正方形共一个公共顶点旋转 同样用全等三角形割补，把重叠不规则图形，补成固定直角区域，面积为定值。 1．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 题型7根据正方形的性质证明 正方形证明常考4大类 1.证明线段相等 思路： ①用正方形边长都相等；②证三角形全等（SAS、ASA、AAS）；③等角对等边、45°出等腰 2.证明角度相等/求角度 思路： ①对角线平分内角得45°；②直角互余、平行线内错角相等；③全等三角形对应角相等 3.证明线段垂直 思路： ①正方形邻边本身垂直；②对角线互相垂直；③证两角互余→夹角90° 4.证明三角形全等、等腰、等边 ①正方形边相等+直角，极易凑SAS；②有45°+两边相等→等腰直角三角形 1．（陕西汉中市汉阳区2026年初中学业水平模拟卷（二）数学）如图，点分别为正方形的边的中点，点为正方形外一点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质得出，得出，利用等边对等角得出，根据角的和差关系可得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：四边形为正方形， ． 点分别为的中点， ， ． ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，点E，F为对角线上两点，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若正方形的面积为18，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）首先利用正方形的性质可以证明， ，接着利用已知条件和菱形的判定方法即可解决问题； （2）根据正方形的面积为18可求出，进而得，再根据得，由此得，然后由菱形的面积公式可得菱形的面积． 【详解】（1）证明：在正方形中，为其对角线， ，， 在和中： ， ， ， 同理可证， ， ， 四边形是菱形； （2）解：正方形的面积为18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是：． 3．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知正方形如图所示，连接其对角线的平分线交于点F，过点B作于点N，交于点M，过点C作，交延长线于点P． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据等角对等边易证，根据勾股定理求得的长，然后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形的外侧作等边三角形． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形性质得出，根据等边三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据等边三角形性质得出，推出，结合，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型8正方形的判定定理理解 三大判定定理（必须背熟） 判定1：从矩形变正方形 有一组邻边相等的矩形，是正方形。 理解：①矩形已经有「四个直角、对角线相等」；②只要再加邻边相等→就是正方形。 判定2：从菱形变正方形 有一个角是直角的菱形，是正方形。 理解： ①菱形已经有「四边相等、对角线垂直；②只要再加一个直角→就是正方形。 判定3:从对角线直接判定 对角线相等且互相垂直的平行四边形，是正方形。 理解： 平行四边形+对角线相等→矩形 平行四边形+对角线垂直→菱形 又等又垂→既是矩形又是菱形→正方形 1．（25-26八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 2．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在下列判断中正确的是（   ） A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B．一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．多边形的内角中至多有3个锐角 【答案】D 【详解】解：对于选项A，一组对边平行且有一组邻边相等的四边形可能是腰与上底相等的梯形，不是平行四边形，因此A错误； 对于选项B，存在满足一组对角相等、一组对边相等但不是平行四边形的四边形，因此B错误； 对于选项C，两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等不满足条件，例如对角线垂直相等但不互相平分的四边形不是正方形，因此C错误； 对于选项D，任意多边形的外角和为，若内角为锐角，则其对应的外角为钝角， 若多边形内角有个锐角，则对应外角有个钝角，则外角和大于，与外角和为矛盾， 多边形内角中至多有3个锐角，D正确. 3．（25-26八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．四个角都相等的四边形为矩形 B．一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C．对角线相等的平行四边形为菱形 D．一组邻边相等的矩形为正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，对各选项逐一判断，即可得到假命题． 【详解】解： A、四边形内角和为，四个角都相等，所以每个内角都为，因此四个角都相等的四边形是矩形，A是真命题，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，B是真命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，C是假命题，符合题意； D、根据正方形的判定，一组邻边相等的矩形是正方形，D是真命题，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级下·山东威海·期中）下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，∴A选项说法错误； B选项，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，∴B选项说法错误； C选项，∵矩形本身对角线相等，对角线互相垂直的矩形符合正方形判定定理，∴对角线互相垂直的矩形是正方形，C选项说法正确； D选项，∵矩形四个角都是直角，任意邻边本来就互相垂直，因此有一组邻边互相垂直的矩形仍是矩形，不一定是正方形，∴D选项说法错误． 题型9证明四边形是正方形 一、三种正规判定方法(考试直接用) 方法一：矩形+一组邻边相等→正方形步骤： 1.先证四边形是矩形(三个直角/平行四边形+一个直角/对角线相等的平行四边形) 2.再证一组邻边相等 3.结论：是正方形 方法二：菱形+有一个内角是直角→正方形 步骤： 1.先证四边形是菱形(四边相等/平行四边形+邻边相等/对角线垂直的平行四边形) 2.再证有一个角是90° 3.结论：是正方形 方法三：平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形步骤： 1.先证是平行四边形 2.证对角线相等且互相垂直 3.结论：是正方形 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形边长为3，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查折叠的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到、，进而得到，则求出，证明四边形是矩形，利用，证明四边形是正方形； （2）设，则，由折叠的性质得到、，进而得到，在中，利用勾股定理列出方程，解方程，从而求出的值． 【详解】（1）证明：由折叠可知，、、、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形； （2）解：由（1）知，四边形是正方形， 、， ， 设，则， 由折叠的性质知，、， ， 在中，， ， 解得：， ． 2．（2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由, ，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线，利用平行四边形的定义证明即可； （2）先证明四边形是一个菱形．再证明四边形是一个矩形，即可得到四边形是一个正方形． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 题型10正方形中的最值问题 一、先记定义 有一个角是直角的平行四边形，就是矩形(长方形)。 本质：特殊的平行四边形，所以平行四边形有的性质，矩形全都有，还多了自己专属性质。 二、矩形四大核心性质(分两类) 1.和平行四边形一样的性质 ①对边平行且相等；②对角相等；③邻角互补(加起来180°)；④对角线互相平分 2.矩形独有的特殊性质(重点必考) ①四个角都是直角(90°)；②对角线相等。 通用步骤： 1.作其中一个点关于正方形边的对称点 2.连接对称点与另一个定点，连线长度就是最小值 3.用勾股定理算长度套路：遇和最小→作对称、化折为直。 模型3:正方形内动点，求周长最值 解题技巧 1.利用正方形对称、边长定值 2.把多变线段转化为固定线段和 3.再用垂线段最短找临界位置常见：等腰直角三角形周长最小、折线周长最小。 模型4:正方形折叠最值、线段差最值 1.折叠后对应边相等，把线段转移位置 2.求|PA-PB|最大值：找三点共线时取最大 3.利用正方形对角线、边长构造直角三角形勾股求解 1．（2026·湖北·一模）如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则（1）______；（2）的最小值为______． 【答案】 / 【分析】由图象可知，当时，，容易判断此时是等腰直角三角形，由勾股定理可得．取的中点，连接、，根据直角三角形的性质和勾股定理可得，，，结合，因此当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由图可知，当时，， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 题型11正方形中的多结论问题 通用做题步骤(逐结论排查) 1.标图 把90°、45°、相等边、相等角全部标在图上。 2.动点用特殊位置验证 把动点放到顶点、中点，快速验对错。 3.能证就证，不能证就举反例一个结论单独分析，不凭肉眼看图。 4.优先用全等、45°、互余代换 四、高频固定结论(直接背) 1.正方形内过中心的直线，平分周长、平分面积。 2.顶点在正方形边上的直角三角，常出全等、线段和定值。 3.含45°角模型，常能证线段和差关系。 4.旋转/折叠后，必有边角相等、面积不变。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（    ） A． B．四边形的面积等于正方形面积的 C． D．平分 【答案】D 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可判断． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项成立，不符合题意； B、由A可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即四边形的面积等于正方形面积的，故选项成立，不符合题意； C、由A可知， ∴，故选项成立，不符合题意； D、由A可知， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，即， ∴不一定平分，故选项不一定成立，符合题意． 2．（2026·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】对于①，根据题意容易得到，，则；对于②：容易证明，则；对于③，由等腰三角形的性质可得，结合直角三角形的性质可得；对于④，取的中点，连接、，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，结合可得，最小． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 对于②：在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； 对于④：如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故④正确； 综上，正确的结论为：①②④． 3．（25-26八年级下·广东阳江·期中）如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，证，得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误； 综上所述，结论①②③正确． 故选：C． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交AE的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求BE，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴． 在和中， ∴，故①正确． ③∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故③正确． ②过作，交AE的延长线于． ∵，， ∴． 又∵③中，， ∴． ∵， ∴， ∴，故②不正确． ④∵，， ∴在中， ∴，故④正确． 故选：D． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到正确命题. 【详解】解：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理， ∴ A正确； ∵ 只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定， ∴ B错误； ∵ 存在对角线相等的不规则四边形，既不是矩形也不是等腰梯形， ∴ C错误； ∵ 只有对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等无法判定， ∴ D错误， 综上，正确答案为A. 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又 ， ， 又 ，， ， ，， ， 点的坐标是． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（    ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、， 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意； B、， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； C、∵， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意； D、， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到菱形两条对角线的长度，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后根据正方形面积与菱形面积相等，计算正方形的边长即可． 【详解】解：解方程，得，， ∴菱形两条对角线长分别为和， ∴菱形面积． 设所求正方形的边长为，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴正方形的边长为2． 6．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形（），在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金矩形的定义求出的长，由矩形的性质和正方形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形（）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河北沧州·期中）图中的正方形是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚…，该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中某个点与数轴上的666重合，则剪拼出正方形的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：起点是，需要滚动距离：； 选项A，拼成的正方形，边长为：，是无理数，正方形四个顶点落到数轴的点，也是无理数，668是有理数，两者不会重合，不符合题意； 选项B，拼成的正方形，边长为：2，能够被668整除，能够重合，符合题意； 选项C，拼成的正方形，边长为：3，668不能被3整除，不能重合，不符合题意； 选项D，拼成的正方形，边长为：，也是无理数，不能与668重合，不符合题意； 故答案选：B． 二、填空题 9．（上海市天山初级中学等2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中练习）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【分析】先由正方形的性质结合勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 10．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，以正方形的一边向正方形内作等边，则_____． 【答案】75 【分析】由正方形及等边三角形的性质，证明是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 11．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）魏晋时期数学家刘徽的“出入相补”原理被用于勾股定理证明．如图，四边形、、均为正方形，若，，则正方形的面积为______． 【答案】 【分析】证明，得到，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为． 12．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．    【答案】3 【分析】通过连接，利用矩形的性质转化线段关系，从而证明，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接．   四边形是正方形， ∴，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵正方形的边长为，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为3． 13．（25-26八年级下·上海闵行·期中）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 三、解答题 14．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，四边形是平行四边形，，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当是多少度时，四边形是正方形，为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，由，即可得到四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， ∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 15．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，正方形，点E，F分别在，上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可； （2）由（1），推出，证明，得到，再利用勾股定理求得，结合求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $