专题03 正方形重难点题型（七大题型）数学浙教版新教材八年级下册

专题03 正方形重难点题型 （七大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 【题型3 正方形与折叠】 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 【题型5 正方形的性质与判定综合】 【题型6 正方形中最值问题】 【题型7 正方形中动点问题】 题型6 复合二次根式的化简 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，延长到点，使，连接交于点，则度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 7．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 8．在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则的长为（   ） A． B． C．17 D．15 10．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（   ） A．5 B． C．10 D． 11．如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3 正方形与折叠】 12．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 13．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 14．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的长为（    ）    A． B． C． D． 16．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 17．在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 18．如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（    ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 19．如图，在中，对角线相交于点O，若，添加下列条件，能使成为正方形的是（    ）    A． B． C． D． 20．在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（    ）    A．①：对角线相等B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角 21．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【题型5 正方形的性质与判定综合】 22．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 23．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 24．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 26．如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【题型6 正方形中最值问题】 27．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 28．如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 30．如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 31．如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型7 正方形中动点问题】 32．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 33．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 34．在边长为4的正方形中，      (1)如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动． ①求证：； ②当点运动到何处时，？请加以证明． (2)如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值． 35．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 36．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 37．如图，点是正方形的边的中点，正方形的边长为，点按的顺序在正方形的边上以每秒的速度做匀速运动，设点的运动时间为，的面积为． (1)直接写出点运动时，的面积； (2)在点P运动2至4这段时间内，求y与x的函数关系式． 38．如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正方形重难点题型 （七大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 【题型3 正方形与折叠】 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 【题型5 正方形的性质与判定综合】 【题型6 正方形中最值问题】 【题型7 正方形中动点问题】 题型6 复合二次根式的化简 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 2．如图，点是正方形对角线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质．由正方形的性质可得，，证明的度数，再利用三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，得，，又因为是等边三角形，则，故，同理得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则， 则， 同理得， ∴， 故选：D 4．如图，在正方形中，延长到点，使，连接交于点，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握正方形的性质；根据正方形的性质及已知条件可求得的度数，从而根据外角的性质可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴ ∴，， ∴. 故选：A． 5．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是判断出是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到，判断出是等腰三角形，算出其底角的度数，进而利用得到答案即可． 【详解】解：∵在正方形的外侧，作等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形的性质可推出的度数，再证明得到的度数，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 7．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确得出的长是解决此题的关键． 根据正方形的性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质得到，，，得出是等腰直角三角形，再由得到，，最后在利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则的长为（   ） A． B． C．17 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，大正方形的边长为，小正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ，， ∴（舍负） ， 故选：C． 10．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为10， ∴， 故选：D 11．如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得，，推出，求得，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3 正方形与折叠】 12．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 13．如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质．由翻折的性质得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，可得，结合计算出，从而可得． 【详解】解：由翻折的性质可知：，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：A． 15．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可求出的长，根据轴对称的性质可得，再根据求解即可． 【详解】解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 16．取一张边长为的正方形纸片，按如图所示的方法折叠两次，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠（垂直平分线）的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：边长为的正方形纸片， ∴第一次折叠后，在中，，， 第二次折叠后，是的角平分线，根据折叠的性质得，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ， ∴， ∵， ∴线段的长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形与折叠的综合，掌握折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【题型4 添一条件使四边形是正方形】 17．在四边形中，，如果添加一个条件，即可得出四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，根据正方形的判定可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， 若添加，则该四边形是正方形． 故选：A． 18．如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（    ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当，平行四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 19．如图，在中，对角线相交于点O，若，添加下列条件，能使成为正方形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定和正方形的判定即可得到答案． 【详解】解：∵在中，对角线相交于点O，若， ∴四边形是矩形， 四个选项给出的条件中，只有当时，四边形是正方形． 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 20．在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（    ）    A．①：对角线相等 B．②：对角互补 C．③：一组邻边相等 D．④：有一个角是直角 【答案】B 【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法． 21．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 【题型5 正方形的性质与判定综合】 22．如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 23．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 24．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定及性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的判定及性质，正确作出辅助线利用勾股定理是解题的关键． 25．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 26．如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为12， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键． 【题型6 正方形中最值问题】 27．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 28．如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 29．如图，在边长为4的正方形中，E是边上的一点．若，Q为对角线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，首先解得，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线对称，故的长即为的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形为正方形，且边长为4，， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴周长， 当在同一直线上时，可有， 即的长为的最小值， ∴周长的最小值． 故选：B． 30．如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称最短路线问题以及等边三角形的性质，关键在于利用正方形的对称性将转化为，再根据两点之间线段最短求解．利用正方形的对称性，将进行转化，再根据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：连接，如图 四边形是正方形，所以点D关于对角线的对称点是点B， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，的值最小，即的长度就是的最小值， 是等边三角形， ， 又正方形的面积为， ， ． 故选：D． 31．如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到，使，连接，，，证明，得，根据，，得是线段的垂直平分线，则，由此得，因此当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此得当点，，共线时，为最小，最小值为线的长，继而得的最小值为线的长，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，，，如图所示: ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线的长， ∴的最小值为线的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型7 正方形中动点问题】 32．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 【答案】(1)8 (2)6 【分析】（1）由已知可得，由菱形的性质得出，根据正方形的判定可得出答案； （2）由矩形的性质得，，进而证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定及勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴， 若，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴时，四边形是正方形； （2）解：∵在矩形中，， ∴，， 由已知可得，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴， ∴时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形， 即当时，． 33．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形， 如图， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得， 此时， ∴矩形为正方形， ∴当时，四边形是正方形． 34．在边长为4的正方形中，      (1)如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动． ①求证：； ②当点运动到何处时，？请加以证明． (2)如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值． 【答案】(1)①见解析；②点运动到的中点处时，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①证明得出，由得出，最后由三角形内角和定理得出，即可得证；②连接，证明得出，证明点、、、四点共圆，得出，结合①中的，得出，再由平行线的性质得出，从而得出，即可得证； （2）连接，延长到点，使，连接交于，连接，证明，得出，从而得出，则当点在点处时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②当点运动到的中点处时，， 理由如下：连接，   ， 点为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点、、、四点共圆， ， 由①得：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，延长到点，使，连接交于，连接，   ，四边形为边长为4的正方形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ， ， 当点在点处时，的值最小，即的值最小， ， ， 的值最小为． 35．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 36．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． (1)求与之间的距离； (2)求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； (3)分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）先列式得出，，，要使四边形是平行四边形，只需即可，列式求解即可； （3）先证明四边形是矩形，四边形是矩形，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，得出要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，只需即可，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； （2）解：设点，的运动时间为（秒）， ∵点，的速度均为每秒1个单位长度．，， ∴，，， 要使四边形是平行四边形， ∵， ∴只需即可， ∴， 解得：， 此时， 由（1）可知，与之间的距离为， ∴四边形的面积为； （3）解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当在左侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形和正方形的判定，勾股定理，一元一次方程的应用等，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 37．如图，点是正方形的边的中点，正方形的边长为，点按的顺序在正方形的边上以每秒的速度做匀速运动，设点的运动时间为，的面积为． (1)直接写出点运动时，的面积； (2)在点P运动2至4这段时间内，求y与x的函数关系式． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查一次函数及正方形的性质，理解题意确定动点的位置是解题关键． （1）根据题意作出相应图形，然后利用三角面积公式求解即可； （2）根据题意作出相应图形，然后利用割补法即可确定出函数解析式． 【详解】（1）解：点运动时，，点还在线段上，如图所示： ∴， ． （2）解：由题意得，当时， ，， 如图所示：点在上运动， ． 38．如图1，已知在正方形中，点E、F分别在边、上运动． 【尝试探究】 （1）如图1，当点E、F分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，并说明理由； 【模型建立】 （2）如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明； 【模型应用】 （3）如图3，已知是边长为5的等边三角形，，，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论不成立．，理由见解析；（3）10 【分析】（1）把绕点顺时针旋转至△，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， ； （2）（1）中的结论不成立．，理由如下： 如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， （2）中的结论不成立，、和的数量关系为； （3） 是边长为5的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $