题号猜押06 辽宁中考数学11-13题（填空）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦辽宁中考数学6~10题选择题，覆盖13个基础及中档考点，以模拟题构建从概念理解到综合应用的知识逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正数与负数|3题|相反意义量表示|从实际情境抽象数的表示| |科学记数法|3题|不同量级数表示|数的量化与简洁表达| |实数运算|5题|计算、方程、不等式|运算规则的综合应用| |成立的条件|3题|代数式有意义范围|概念成立的约束条件| |多边形内角和|6题|正多边形、圆内接多边形|内角和公式与图形性质结合| |圆的综合|5题|阴影面积、角度计算|圆的性质与几何直观应用| |图形变换|5题|旋转、位似、折叠|空间观念与变换性质| |三角函数|5题|实际应用计算|数学建模与解直角三角形| |函数（一次/二次/反比例）|15题|图像性质、方程求解|函数模型与数量关系| |一元二次方程|5题|根的判别、应用|方程思想与实际问题| |统计与概率|8题|数据分析、概率计算|数据意识与随机观念|

题号猜押06 辽宁中考数学11~13题（填空题） 考点1 正数与负数 1．（2026·福建南平·二模）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______． 3．（2026·山东德州·一模）如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 考点2 科学记数法 1．（2026·江苏南通·一模）年南通市经济保持平稳运行，据非官方分析，其第一季度可能在亿元左右．将数据“亿”用科学记数法表示为______． 2．（2026·山东烟台·一模）2026年3月，国家数据局宣布我国日均（词元）调用量超万亿．较2024年初亿两年增千倍、较2025年底万亿三个月增．是处理信息的最小单元，此数据反映全面融入千行百业、中国活跃度全球领先．万亿用科学记数法表示为______． 3．（2026·江西·模拟预测）稀土是宝贵的战略资源，广泛应用于尖端科技领域和军工领域，被称为“新材料之母”．我国是全球稀土储量最多的国家，截至2023年已探明稀土储量吨，约占全球总储量的，数据用科学记数法表示为_____． 考点3 实数的运算 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 2．（2026·四川达州·一模）不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 3．（2026·四川成都·一模）分式方程的解为_______． 4．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 5．（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 考点4 成立的条件 1．（2026·浙江金华·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围______． 2．（2026·浙江金华·二模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 3．（2026·黑龙江牡丹江·一模）函数的自变量的取值范围是_____． 考点5 多边形内角和 1．（2026·辽宁沈阳·一模）凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 2．（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 3．（2026·江西景德镇·二模）如图，五边形为的内接正五边形，以为边作正方形，连接，则________． 4．（2026·上海松江·二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 6．（2026·浙江金华·二模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 考点6 圆的综合 1．（2026·浙江金华·二模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 2．（2026·浙江金华·二模）如图，点、、都在上，，，的度数______． 3．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于______． 4．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 考点7 图形的变换 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上，且时，的度数为________． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标为______． 3．（2026·重庆渝中·二模）如图，将长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G，若，则的度数为_____． 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 5．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 考点8 三角函数 1．（2026·江苏南通·一模）如图1是一盏家用落地台灯，如图2是其平面结构示意图，现量得，，，，，则点D到地平面的距离为________（结果保留根号）． 2．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 3．（2026·黑龙江绥化·三模）某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 5．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 考点9 二次函数 1．（2026·浙江金华·二模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____． 2．（2026·浙江金华·二模）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 3．（2026·江苏徐州·一模）将抛物线平移，使其经过点，，则平移之后的抛物线的对称轴为直线_______． 4．（2026·江苏南京·一模）将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 考点10 反比例函数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，且线段轴于点．若，则的值为______． 2．（2026·云南红河·一模）如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 3．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为__________． 5．（2026·浙江金华·二模）已知函数是反比例函数，则的值为______． 46．（2026·浙江金华·二模）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 考点11 一次函数 1．（2026·浙江金华·二模）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 2．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 3．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 考点12 一元二次方程 1．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 3．（2026·河南开封·一模）据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 4．（2026·重庆·模拟预测）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 5．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 考点13 统计与概率 1．（2026·浙江金华·二模）某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是____________． 2．（2026·浙江金华·二模）某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 3．（2026·辽宁大连·一模）某校在午餐时为学生提供了A、B两种营养饮品，小明和小红每人随机选择其中一种营养饮品，两人恰好选到同一种营养饮品的概率是__________． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 5．（2026·浙江金华·二模）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 1．（2026·浙江金华·二模）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）某公司招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分．若笔试成绩和面试成绩按计算，结果作为本次考试的成绩，则小明的成绩为____分． 3．（2026·浙江金华·二模）一个盒子有1个红球，1个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率为________． 4．（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 5．（2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________． 6．（2026·上海徐汇·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 7．（2026·浙江金华·二模）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 8．（2026·上海奉贤·二模）2026年春节期间（2月15日-2月23日），上海全市共接待游客约人次，那么这9天上海全市平均每天接待的人数约为___________人次．（用科学记数法表示） 9．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 10．（2026·北京朝阳·一模）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 11．（2026·浙江金华·二模）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）齐齐哈尔市扎龙自然保护区作为黑龙江省湿地主题旅游线路中重要目的地之一，年平均接待游客的人数逐年递增，近三年平均每年接待游客约1980000人次．将1980000用科学记数法表示为______． 13．（2026·广西梧州·一模）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（单位：）是电阻（单位：）的反比例函数，当时，．若电阻为，则电流为______． 14．（2026·浙江金华·二模）弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作___________cm． 15．（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是82分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，她得了_________分． 18．（2026·山东青岛·一模）某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 19．（2026·天津南开·二模）计算的结果为______________． 20．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 21．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 22．（2026·浙江金华·二模）在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 23．（2026·山东德州·一模）如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 24．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 25．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 26．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标是________． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 28．（2026·浙江金华·二模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为______．（结果保留） 29．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________． 30．（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 31．（2026·山东聊城·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 32．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于以为直径的，延长交于点，连接．若，则阴影部分的面积是___________． 33．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 34．（2026·山东济南·一模）如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 35．（2026·河北张家口·一模）如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 36．（2026·浙江金华·二模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 37．（2026·浙江金华·二模）要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 38．（2026·安徽合肥·二模）计算：______． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 辽宁中考数学11~13题（填空题） 考点1 正数与负数 1．（2026·福建南平·二模）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______． 【答案】 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，已知水位上升记为正，则水位下降记为负，据此即可求解． 【详解】解：水位上升记作， 那么水位下降记作． 3．（2026·山东德州·一模）如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 【答案】 【详解】解：扫码付款元，在阴影处显示的是． 考点2 科学记数法 1．（2026·江苏南通·一模）年南通市经济保持平稳运行，据非官方分析，其第一季度可能在亿元左右．将数据“亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：亿． 2．（2026·山东烟台·一模）2026年3月，国家数据局宣布我国日均（词元）调用量超万亿．较2024年初亿两年增千倍、较2025年底万亿三个月增．是处理信息的最小单元，此数据反映全面融入千行百业、中国活跃度全球领先．万亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一．先将万亿还原，再使用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 3．（2026·江西·模拟预测）稀土是宝贵的战略资源，广泛应用于尖端科技领域和军工领域，被称为“新材料之母”．我国是全球稀土储量最多的国家，截至2023年已探明稀土储量吨，约占全球总储量的，数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【详解】． 考点3 实数的运算 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 【答案】 【分析】先将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（2026·四川达州·一模）不等式组的所有整数解的和为_____________ ． 【答案】0 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，计算整数解的和即可 【详解】解： 由①得： 移项得 系数化为得 由②得：不等式两边同乘得 移项合并同类项得 系数化为得 原不等式组的解集为 原不等式组的所有整数解为 整数解的和为 3．（2026·四川成都·一模）分式方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是方程的解． 4．（2026·江苏苏州·一模）已知方程组，则_________． 【答案】5 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 5．（2026·河北邯郸·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的乘方和零指数幂． 应用有理数乘方法则和零指数幂法则进行计算，再作差即可． 【详解】解：． 考点4 成立的条件 1．（2026·浙江金华·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），解题的关键是结合两个条件列出关于的不等式，进而求解的取值范围． 式子由分式和二次根式组成，需同时满足：二次根式的被开方数（二次根式有意义），且分母（分式有意义）；合并得，解此一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义， 需同时满足：  且， 即．   综上，得不等式．   移项：；   两边同时除以2：．   故答案为：． 2．（2026·浙江金华·二模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 3．（2026·黑龙江牡丹江·一模）函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： 被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零， 因此可得不等式组， 解不等式组得，且，且， 由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且． 考点5 多边形内角和 1．（2026·辽宁沈阳·一模）凸多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为______． 【答案】 【分析】根据外角和与内角和之比为，任意凸多边形的外角和为，可得多边形内角和度数，结合内角和公式即可求解． 【详解】解：∵外角和与内角和之比为， 任意凸多边形的外角和为， 得多边形内角和为， 由边形内角和公式得， 解得． 2．（2026·四川成都·一模）七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 3．（2026·江西景德镇·二模）如图，五边形为的内接正五边形，以为边作正方形，连接，则________． 【答案】36 【分析】由题意可得，连接，由正多边形的性质可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， 如图：连接， ， ∵五边形为的内接正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·上海松江·二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 6．（2026·浙江金华·二模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 考点6 圆的综合 1．（2026·浙江金华·二模）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1．点A、B、C、D均在格点上．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积、勾股定理及逆定理，先利用勾股定理求得，，再利用勾股定理的逆定理得，再根据即可求解，熟练掌握扇形的面积公式及勾股定理及逆定理是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 根据勾股定理得：，， ， ， 为圆的直径，点是的中点， ，， ， 故答案为：． 2．（2026·浙江金华·二模）如图，点、、都在上，，，的度数______． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 3．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于______． 【答案】 【分析】连接，由等腰三角形等边对等角以及平行线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如下图所示： 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角可得，可得，求出直径，根据直径与半径的关系即可求出的半径． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 的半径为． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 考点7 图形的变换 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点落在线段上，且时，的度数为________． 【答案】 【分析】根据旋转可得，，推出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转可得，，， ，点落在线段上， ， ， 故答案为：． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，找到位似比，根据比例推算坐标即可． 【详解】解：∵， ∴，即与的位似比为， ∵， ∴ ． 3．（2026·重庆渝中·二模）如图，将长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据折叠性质，平行线的性质，长方形的性质，平角的定义求解即可； 【详解】解：长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G， ，， ， ，， 则的度数为． 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】由平行线的性质求得，由旋转的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， ∴． 5．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 【答案】 【分析】根据可得，继而，又根据可得，进而，最后面积之比可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点8 三角函数 1．（2026·江苏南通·一模）如图1是一盏家用落地台灯，如图2是其平面结构示意图，现量得，，，，，则点D到地平面的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】如图，过作于，过作于，延长交于，过作于，证明四边形，四边形为矩形，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于，延长交于，过作于， 由题意可得：，， ∴四边形，四边形为矩形， ∴，，， ∵， ，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点D到地平面的距离为. 2．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】1.4 【分析】过点O作于点T，结合等腰三角形的“三线合一”，在中运用角的正弦解答即可． 【详解】解：过点O作于点T，如图， 根据旋转的性质有：， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 3．（2026·黑龙江绥化·三模）某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】3 【分析】过点 G作于点H，解直角三角形可求出，证明四边形是矩形，得到；再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点 G作于点H， 由题意，得，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中， ∴ ， 故滑道的长度约为． 4．（2026·辽宁·模拟预测）如图1是一个水杯杯架，水杯不盛水时如图1放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其挂水杯后的示意图如图2所示，水杯可看作矩形，此时杯口最低点C与杯架底端在同一条直线上，且杯口与杯架底端的夹角为，杯架底端与桌面之间的距离为，点 A 到桌面的距离为，交于点 E，交于点 P．若，则点A 到桌面的距离的长约为________．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】13 【分析】可证明，解求出的长，则可求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在中， ∴， ， ∴； 在中，∵ ∴． 根据题意，得， ∴． 5．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 考点9 二次函数 1．（2026·浙江金华·二模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 … 则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是_____． 【答案】x1＝0，x2＝﹣4 【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝−2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2，即可求解． 【详解】解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝−2， 根据函数的对称性，当x＝0时和x＝−2时，y均为−2． 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝−2的根x＝0或−4．　 故答案为：x1＝0，x2＝−4． 2．（2026·浙江金华·二模）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1/1或0 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 3．（2026·江苏徐州·一模）将抛物线平移，使其经过点，，则平移之后的抛物线的对称轴为直线_______． 【答案】 【分析】根据如何平移抛物线，平移后抛物线开口方向及大小不变，即a不变，设出平移后抛物线表达式为，把，代入求出解析式，再求出对称轴即可． 【详解】解：设平移后抛物线表达式为， 将，代入得， 解得，， ∴平移后抛物线表达式为， 其对称轴为直线． 4．（2026·江苏南京·一模）将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】先求出原函数的顶点坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征求出新的图象的顶点坐标，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴新的图象的顶点坐标为，， ∴新的图象对应的函数表达式是，即． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 考点10 反比例函数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，且线段轴于点．若，则的值为______． 【答案】 6 【分析】连接、，根据反比例函数的几何意义得出，根据可得，根据反比例函数的几何意义结合图象所在象限即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵点在反比例函数图象上，轴于点， ∴， ∵，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得：或， ∵的图象在第一象限， ∴． 2．（2026·云南红河·一模）如图，反比例函数的图象过点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出的值． 【详解】解：由图象可知，点的坐标为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得． 3．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】50 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把，代入解析式求出y的值，进而计算即可． 【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ， 把 代入 ， ， 函数解析式为 ， 当 时， ， 当 时， ， 度数减少了 （度）． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为__________． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据反比例函数值的几何意义得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：作轴，轴，则， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（2026·浙江金华·二模）已知函数是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 考点11 一次函数 1．（2026·浙江金华·二模）如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 先求出P点坐标，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得：， 即， ∵函数和的图象交于点P， ∴关于x，y的二元一次方程组即的解是． 故答案为：． 2．（2026·浙江金华·二模）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 3．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用与行程问题的综合应用．轿车到达目的地用时5小时，两辆车第一次相遇用时3小时，根据“速度路程时间”计算得出轿车和货车的平均速度．可得出货车到终点的时间，从而得到答案． 【详解】解：依题意得 故答案为：． 4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 考点12 一元二次方程 1．（2026·山东德州·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可. 【详解】解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 3．（2026·河南开封·一模）据统计2025年新能源汽车销量逐月增加，8月至10月由万辆增加到万辆，设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为．则可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据平均增长率问题的数量关系，结合题干已知量列方程．本题中8月销量为初始量，经过两次增长后得到10月销量，代入平均增长率问题的数量关系即可得到方程． 【详解】解：设8月至10月新能源汽车销量的月平均增长率为， 8月销量为万辆．则9月销量为：， 10月销量为：， 由题意得． 4．（2026·重庆·模拟预测）某大宗商品原价为100万元，连续两次降价后售价为81万元，则m的值为______． 【答案】10 【分析】等量关系为：原价(降价百分率现售价，将相关数值代入求解，舍去不符合实际意义的解即可． 【详解】解：第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， 由此列方程得：， 解得，， 因为降价百分率不大于， 所以不合题意，舍去． 故答案为：． 5．（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 考点13 统计与概率 1．（2026·浙江金华·二模）某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是____________． 【答案】丁 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 【详解】解：∵， ∴开花时间最长的是甲、丁， ∵， ∴开花时间最长且最平稳的是丁． 故答案为：丁 2．（2026·浙江金华·二模）某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据题目给出的权重和对应成绩，利用加权平均数的计算方法即可求出小王的综合成绩． 【详解】解：由题意可得，小王的综合成绩为： （分）． 3．（2026·辽宁大连·一模）某校在午餐时为学生提供了A、B两种营养饮品，小明和小红每人随机选择其中一种营养饮品，两人恰好选到同一种营养饮品的概率是__________． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两人恰好选到同一种饮品的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：列表如下： 小明小红 由表格可知，一共有4种等可能性的结果数，其中两人恰好选到同一种营养饮品的结果数有2种， ∴两人恰好选到同一种营养饮品的概率为． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 【答案】95 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数确定中位数即可． 【详解】解：将位评委给出的分数从小到大排列为：， 数据个数为奇数，中位数为排列后位于中间位置的数， 因此中位数为． 5．（2026·浙江金华·二模）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 1．（2026·浙江金华·二模）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）某公司招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分．若笔试成绩和面试成绩按计算，结果作为本次考试的成绩，则小明的成绩为____分． 【答案】83 【详解】解：笔试成绩90分对应权重3，面试成绩80分对应权重7，总权重为， 小明的成绩为（分）． 3．（2026·浙江金华·二模）一个盒子有1个红球，1个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率为________． 【答案】 【详解】画树状图如解图：∵共有4种等可能的结果，两次都摸出红球有1种情况，∴两次都摸出红球的概率为． 4．（2026·重庆秀山·一模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据长与宽的和以及长比宽多步，表示出长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解∶ 设长比宽多步，由题意得，长+宽，长宽， 所以长，宽． ∵矩形面积为平方步， ∴可得方程． 5．（2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足． 【详解】，是一元二次方程的两根， ． 6．（2026·上海徐汇·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 7．（2026·浙江金华·二模）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 8．（2026·上海奉贤·二模）2026年春节期间（2月15日-2月23日），上海全市共接待游客约人次，那么这9天上海全市平均每天接待的人数约为___________人次．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据平均每天接待人数等于总接待游客人数除以天数，计算出结果后，将结果化为符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解：由题意得，平均每天接待人数为总人数除以天数，即． 9．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 10．（2026·北京朝阳·一模）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音在空气中传播的速度与温度部分对应数值如下表所示： 温度 0 10 20 声音传播的速度 331 337 343 研究发现，在一定条件下，是的一次函数，函数关系为（，为常数，且）．当温度为时，声音传播的速度为________． 【答案】340 【分析】利用表格中给出的两组对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式计算得到对应的值． 【详解】解：已知，， 由表格数据，当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，，代入得 ， 解得， ∴与的函数解析式为， 将代入解析式，得 ． 11．（2026·浙江金华·二模）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，上口宽，则整个冷却塔高度为___________ 【答案】 【分析】本题考查了反比例的应用，首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：， 则C的坐标是， 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， ∵上口宽， ∴点F的横坐为， 当时，． 答：整个冷却塔的高是． 故答案为：． 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）齐齐哈尔市扎龙自然保护区作为黑龙江省湿地主题旅游线路中重要目的地之一，年平均接待游客的人数逐年递增，近三年平均每年接待游客约1980000人次．将1980000用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可求解． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 将原数变形为符合要求的，可得，小数点向左移动了位，因此， ∴． 13．（2026·广西梧州·一模）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（单位：）是电阻（单位：）的反比例函数，当时，．若电阻为，则电流为______． 【答案】 【详解】解：设， 当时，， ， 电阻为，则电流． 14．（2026·浙江金华·二模）弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作___________cm． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意；因此此题可根据正负数的意义及题意直接进行求解即可． 【详解】解：弹簧振子从自然状态向左压缩，记作． 故答案为：． 15．（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与反比例函数（）交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若，则k＝__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：作于，如图： 函数（）与反比例函数（）交于、两点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 【答案】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则计算平移后的顶点坐标即可. 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为， 先向上平移4个单位，顶点纵坐标加4，得到顶点坐标为， 再向右平移3个单位，顶点横坐标加3，得到新的顶点坐标为. 17．（2026·辽宁抚顺·一模）两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是82分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，她得了_________分． 【答案】79 【分析】根据正负数的含义确定计算方式，再计算即可． 【详解】解：由题意得，平均成绩为82分，超过平均成绩记为正，低于平均成绩记为负，因此小英的实际成绩为分． 18．（2026·山东青岛·一模）某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】先表示出租出的车辆数为辆，然后再表示每辆车的利润为元，再由总利润车辆数每辆车的利润建立函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得． 19．（2026·天津南开·二模）计算的结果为______________． 【答案】1 【详解】解：原式 20．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 【答案】0或4/4或0 【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点， 由， 将代入，得， 化简得，解得． ②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点， 将代入得： ，即． 此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件． 综上，的值为或． 21．（2026·四川德阳·模拟预测）数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【分析】作于点，于点，求得，得到，，设，解直角三角形求得，由，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 22．（2026·浙江金华·二模）在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量一建筑物的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得建筑物顶端的俯角为，底端的俯角为，则该建筑物的高度为_______ ．(，) 【答案】 【分析】设交距水平地面的水平线于点，根据，求出，再根据，求出可得结论． 【详解】解：如图，延长交距水平地面的水平线于点，过作地面于点， ，， ， ， ， ， ， ． 23．（2026·山东德州·一模）如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 【答案】5 【分析】根据题意可得，如图所示，过点O作于点C，得到，由锐角三角函数的计算得到，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点O作于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即指针的长度是5． 24．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 25．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 【答案】 【详解】解：根据点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，横坐标加2，向上平移4个单位长度，纵坐标加4， 可得平移后点的坐标为：． 26．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标是________． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得，结合正方形的性质求出的长即可得的长，从而得到点坐标． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ， 又正方形的边长为， 即， ， ， 解得， ， 故点坐标是． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点E恰好落在边上，若，则旋转角为___________． 【答案】28 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据旋转的性质得到、，进而得到，最后利用三角形内角和定理求出旋转角的度数即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 、， ， ， 旋转角为． 28．（2026·浙江金华·二模）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 29．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 30．（2026·江苏无锡·一模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升、假设绳索与滑轮之间没有相对滑动，若滑轮上某一点P旋转了，则重物上升的高度为________． 【答案】 / 【分析】根据题意得到重物上升的高度为点旋转所对应的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为． 31．（2026·山东聊城·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 【答案】 【分析】首先求出的度数，最后根据南北回归线关于赤道对称的性质，得出的度数． 【详解】解：是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵分别表示北回归线和南回归线，表示赤道， ∴． ∴． 故答案为． 32．（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于以为直径的，延长交于点，连接．若，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，得到，再进一步求出，得到，利用求解即可． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 33．（2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 34．（2026·山东济南·一模）如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 35．（2026·河北张家口·一模）如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 【答案】 【分析】由正多边形的内角公式求得正五边形每个内角都是，结合四边形的内角和以及对顶角相等，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的解． 【详解】解：如图， 由正多边形的内角公式可知，， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 36．（2026·浙江金华·二模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，二次根式在实数范围内有意义， 故， 解得； ∵分式有意义， 故， 解得； 因此，的取值范围为且． 故答案为：且． 37．（2026·浙江金华·二模）要使式子有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到结果． 【详解】解：由题意得，要使式子有意义，需满足， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是且． 38．（2026·安徽合肥·二模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方与零指数幂的运算，先分别计算两个项的值，再进行减法运算即可． 【详解】解： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $