期末复习讲义04 复数5大考点【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

期末复习讲义04 复数 【考点一】复数的引入与复数的四则运算 【考点四】复数的模 【考点二】复数的实部、虚部与共轭 【考点五】复数的三角形式 【考点三】复平面与复数的坐标表示 一、数系的扩充与复数的概念（基础必考，选填为主） 1. 虚数单位i的定义与性质（核心基础） 定义：引入虚数单位，规定，可以与实数进行四则运算，且运算律保持不变。 i的幂次周期性（高频考点）： ；；；； 周期性：对于任意整数n，，，，。 2. 复数的定义与代数形式 定义：形如（其中）的数叫做复数，全体复数构成的集合叫做复数集。 代数形式：，其中： 实部：（实数部分）； 虚部：（虚数部分，仅指实数b，不包含i）。 特殊说明：虚部是实数，例如复数的虚部是2，而非。 3. 复数的分类（核心考点） 复数（）的分类： 实数：，此时（与实数集重合）；虚数：， 其中纯虚数：且，此时；非纯虚数：且。 集合关系：（实数集是复数集的真子集）。 4. 复数相等的条件（高频计算） 若两个复数，（），则： 推论： 若（），则且； 两个虚数不能比较大小，但可以判断是否相等。 5. 易错点 混淆虚部的定义：虚部是实数b，而非； 纯虚数的条件遗漏：需同时满足且，缺一不可； 误将虚数与实数比较大小：只有实数才能比较大小，虚数无法比较。 二、复数的四则运算（核心必考，大题+选填） 1. 复数的加减运算（基础） 法则：设，（），则： 加法：； 减法：。 运算律： 交换律：； 结合律：。 2. 复数的乘法运算（高频必考） 法则：设，（），类比多项式乘法展开，再利用化简： 运算律： 交换律：； 结合律：； 分配律：。 特殊乘法： 平方公式：； 共轭复数乘法：若（z的共轭复数），则（结果为实数，高频用途：分母实数化）。 3. 复数的除法运算（高频难点） 法则：实质是分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，再化简： （其中，即） 关键步骤： 找出分母的共轭复数； 分子、分母同乘该共轭复数，分母化为实数； 分子展开并化简，分离实部与虚部。 4. 共轭复数（核心辅助概念） 定义：设复数（），则其共轭复数为（实部不变，虚部互为相反数）。 核心性质（高频应用）： ；；（）；（实数，等于2倍实部）； （纯虚数或0，等于2倍虚部乘i）；（实数，常用作化简、求值）。 5. 易错点 乘法运算中，忘记，导致化简错误； 除法运算中，分母实数化时，分子、分母未同乘同一个共轭复数； 共轭复数性质记错，尤其是的应用遗漏； 复数加减运算中，误将实部与虚部混淆加减（实部加实部，虚部加虚部）。 三、复数的几何意义（基础高频，选填+中档大题） 1. 复数与复平面内点的对应关系 复平面：建立平面直角坐标系，横轴为实轴（x轴），纵轴为虚轴（y轴），该坐标系叫做复平面。 对应关系：复数（）与复平面内的点一一对应。 实数（）对应实轴上的点； 纯虚数（）对应虚轴上的点（除原点，原点对应实数0）； 非纯虚数（）对应复平面内除实轴、虚轴外的点。 2. 复数与复平面内向量的对应关系 对应关系：复数（）与复平面内以原点O为起点、点为终点的向量一一对应。 向量的坐标：向量的坐标为，与复数的实部、虚部一致。 3. 复数的模（核心高频） 定义：复数（）的模（或绝对值）记作，表示复平面内对应点到原点O的距离，也等于对应向量的模。 核心公式：。 模的性质（高频应用）： ； ； （）； （与共轭复数性质结合，高频化简）； 三角不等式：（选填高频）。 4. 易错点 复平面与平面直角坐标系混淆：虚轴是y轴，实轴是x轴，原点对应复数0； 复数的模计算错误：忘记开平方，误将写成； 混淆复数与向量的对应关系：复数对应以原点为起点的向量，非任意向量。 四、复数范围内实系数一元二次方程的求解核心必考，大题为主） 1. 实系数一元二次方程的一般形式 一般形式：（其中，且）。 判别式：（与实数范围内一致，但解集扩展到复数集）。 2. 方程的解（分情况讨论，高频大题） 情况1：（有两个实数根，与实数范围内一致）： 情况2：（有两个共轭虚根，实数范围内无解，复数范围内有解）： 令（实数）； 两根为：。 3. 根与系数的关系（韦达定理，高频应用） 无论取值如何，韦达定理均成立： 两根之和：； 两根之积：。 特殊结论：当时，两根为共轭虚数，即。 4. 解题步骤（规范书写，大题得分关键） 1：确定方程系数，计算判别式； 2：分情况讨论的取值： 若，代入实数根公式求解，写出两个实数根； 若，化简，代入虚根公式求解，写出两个共轭虚根； 3：（可选）利用韦达定理验证根的正确性。 5. 易错点 当时，误将根号下负数直接写出，忘记转化为虚数形式； 虚根书写不规范，未写成的标准形式； 韦达定理应用错误，记错两根之和、两根之积的符号； 忽略方程是“实系数”这一条件，误将虚系数方程按此方法求解（仅实系数方程有共轭虚根性质）。 【考点一】复数的引入与复数的四则运算 1．设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（23-24高一下·上海·期末）“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．（24-25高一下·上海·期末）______． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则__________. 6．（24-25高一下·上海·期末）已知实数、使得，则_______． 7．（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 9．（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 10．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 11.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 12．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 13．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知方程有两个根，. (1)若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； (2)若且，求实数的值. 15．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【考点二】复数的实部、虚部与共轭 16．（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 17．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 18．（23-24高一下·上海宝山·期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 19．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 20．（24-25高一下·上海·期末）设复数满足. 若为实数，则________ 21．已知为虚数单位，复数，则_________. 22．已知复数满足，则__________. 23．若，且，则的最大值是_______． 24．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 25．（23-24高一下·上海·期末）若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____. 26．（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 27．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 28．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 29．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 30．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【考点三】复平面与复数的坐标表示 31．在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 33．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．（24-25高一下·上海·期末）设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 35.在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________. 36．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 37．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 39．设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点. (1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积； (2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值. 40．已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数). (1)求实数的值及复数的模； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【考点四】复数的模 41．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 43．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 44．设复数满足，则_________. 45．已知复数，则的模长为__________． 46．（24-25高一下·上海静安·期末）已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 47．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 48．（24-25高一上·上海·期末）已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是_____. 49．（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 50．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【考点五】复数的三角形式 51．设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 52．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 53．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 54．复数的三角形式的辐角主值为___________. 55．若复数为虚数单位），则______． 56．已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________. 57．已知是复数的辐角主值，是向量和向量的夹角，则______. 58．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________. 59．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 60．已知，且，若． (1)求复数的三角形式与； (2)求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义04 复数 【考点一】复数的引入与复数的四则运算 【考点四】复数的模 【考点二】复数的实部、虚部与共轭 【考点五】复数的三角形式 【考点三】复平面与复数的坐标表示 一、数系的扩充与复数的概念（基础必考，选填为主） 1. 虚数单位i的定义与性质（核心基础） 定义：引入虚数单位，规定，可以与实数进行四则运算，且运算律保持不变。 i的幂次周期性（高频考点）： ；；；； 周期性：对于任意整数n，，，，。 2. 复数的定义与代数形式 定义：形如（其中）的数叫做复数，全体复数构成的集合叫做复数集。 代数形式：，其中： 实部：（实数部分）； 虚部：（虚数部分，仅指实数b，不包含i）。 特殊说明：虚部是实数，例如复数的虚部是2，而非。 3. 复数的分类（核心考点） 复数（）的分类： 实数：，此时（与实数集重合）；虚数：， 其中纯虚数：且，此时；非纯虚数：且。 集合关系：（实数集是复数集的真子集）。 4. 复数相等的条件（高频计算） 若两个复数，（），则： 推论： 若（），则且； 两个虚数不能比较大小，但可以判断是否相等。 5. 易错点 混淆虚部的定义：虚部是实数b，而非； 纯虚数的条件遗漏：需同时满足且，缺一不可； 误将虚数与实数比较大小：只有实数才能比较大小，虚数无法比较。 二、复数的四则运算（核心必考，大题+选填） 1. 复数的加减运算（基础） 法则：设，（），则： 加法：； 减法：。 运算律： 交换律：； 结合律：。 2. 复数的乘法运算（高频必考） 法则：设，（），类比多项式乘法展开，再利用化简： 运算律： 交换律：； 结合律：； 分配律：。 特殊乘法： 平方公式：； 共轭复数乘法：若（z的共轭复数），则（结果为实数，高频用途：分母实数化）。 3. 复数的除法运算（高频难点） 法则：实质是分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，再化简： （其中，即） 关键步骤： 找出分母的共轭复数； 分子、分母同乘该共轭复数，分母化为实数； 分子展开并化简，分离实部与虚部。 4. 共轭复数（核心辅助概念） 定义：设复数（），则其共轭复数为（实部不变，虚部互为相反数）。 核心性质（高频应用）： ；；（）；（实数，等于2倍实部）； （纯虚数或0，等于2倍虚部乘i）；（实数，常用作化简、求值）。 5. 易错点 乘法运算中，忘记，导致化简错误； 除法运算中，分母实数化时，分子、分母未同乘同一个共轭复数； 共轭复数性质记错，尤其是的应用遗漏； 复数加减运算中，误将实部与虚部混淆加减（实部加实部，虚部加虚部）。 三、复数的几何意义（基础高频，选填+中档大题） 1. 复数与复平面内点的对应关系 复平面：建立平面直角坐标系，横轴为实轴（x轴），纵轴为虚轴（y轴），该坐标系叫做复平面。 对应关系：复数（）与复平面内的点一一对应。 实数（）对应实轴上的点； 纯虚数（）对应虚轴上的点（除原点，原点对应实数0）； 非纯虚数（）对应复平面内除实轴、虚轴外的点。 2. 复数与复平面内向量的对应关系 对应关系：复数（）与复平面内以原点O为起点、点为终点的向量一一对应。 向量的坐标：向量的坐标为，与复数的实部、虚部一致。 3. 复数的模（核心高频） 定义：复数（）的模（或绝对值）记作，表示复平面内对应点到原点O的距离，也等于对应向量的模。 核心公式：。 模的性质（高频应用）： ； ； （）； （与共轭复数性质结合，高频化简）； 三角不等式：（选填高频）。 4. 易错点 复平面与平面直角坐标系混淆：虚轴是y轴，实轴是x轴，原点对应复数0； 复数的模计算错误：忘记开平方，误将写成； 混淆复数与向量的对应关系：复数对应以原点为起点的向量，非任意向量。 四、复数范围内实系数一元二次方程的求解核心必考，大题为主） 1. 实系数一元二次方程的一般形式 一般形式：（其中，且）。 判别式：（与实数范围内一致，但解集扩展到复数集）。 2. 方程的解（分情况讨论，高频大题） 情况1：（有两个实数根，与实数范围内一致）： 情况2：（有两个共轭虚根，实数范围内无解，复数范围内有解）： 令（实数）； 两根为：。 3. 根与系数的关系（韦达定理，高频应用） 无论取值如何，韦达定理均成立： 两根之和：； 两根之积：。 特殊结论：当时，两根为共轭虚数，即。 4. 解题步骤（规范书写，大题得分关键） 1：确定方程系数，计算判别式； 2：分情况讨论的取值： 若，代入实数根公式求解，写出两个实数根； 若，化简，代入虚根公式求解，写出两个共轭虚根； 3：（可选）利用韦达定理验证根的正确性。 5. 易错点 当时，误将根号下负数直接写出，忘记转化为虚数形式； 虚根书写不规范，未写成的标准形式； 韦达定理应用错误，记错两根之和、两根之积的符号； 忽略方程是“实系数”这一条件，误将虚系数方程按此方法求解（仅实系数方程有共轭虚根性质）。 【考点一】复数的引入与复数的四则运算 1．设是虚数单位，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0. 【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以， 故选:B. 2．（23-24高一下·上海·期末）“”是“实系数一元二次方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】C 【分析】由和根的判别式得到充分性，再得到必要性，得到答案. 【详解】充分性，时，，故， 故， 故有虚根，充分性成立， 反之，有虚根，则，故， ，必要性成立， “”是“实系数一元二次方程有虚根”的充分必要条件. 故选：C 3．（24-25高一下·上海·期末）______． 【答案】i 【分析】利用复数单位的整数次幂运算法则计算得解. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期末）已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期末）已知实数、使得，则_______． 【答案】4 【分析】根据复数的运算公式，即可化简求值. 【详解】， 则，得. 故答案为：4 7．（24-25高一下·上海·期末）已知a是实数，并且是实数，则______． 【答案】 【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解. 【详解】依题意，， 由是实数，得，所以. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是_________． 【答案】/ 【分析】根据相反向量及复数运算求解. 【详解】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量， 所以向量所对应的复数是. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期末）设，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，满足：，求实数，的值． 【答案】 【分析】设，，代入，根据复数相等计算得，再利用韦达定理计算即可. 【详解】因为，是实系数一元二次方程的两个虚根， 故设，， 因为，满足：， 所以， 化简得， 所以 所以，， 所以，. 10．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【详解】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 11.（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若一根为，求，的值； (2)设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出，的值； （2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可. 【详解】（1）依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理，，解得，. （2）若，则方程的根为，， 若，则，，则，，， 所以； 若，则，，则，，， 所以； 故. 12．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 13．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知方程有两个根，. (1)若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入方程，由复数相等列出等式求解即可； （2）由韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为是方程的一个虚根， 所以， ， 所以， 解得. （2）方程两个根为， 因为， 所以， ，进而， 所以， 解得：或. 15．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 【考点二】复数的实部、虚部与共轭 16．（24-25高一下·上海·期末）已知为虚数单位，复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法运算及复数的概念可得. 【详解】，所以的虚部为1. 故选：A. 17．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据特例及复数的相关性质即可求解. 【详解】对于AD，若， 此时，则，，故AD错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为得， 题目未限定，使用无法推出，故C错误. 故选：B. 18．（23-24高一下·上海宝山·期末）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】借助复数的运算法则结合“共胚复数”的定义计算即可得. 【详解】， 则有，则. 故选：D. 19．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，为虚数单位，则的实部为________． 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出复数的实部. 【详解】因为，则，故复数的实部为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·上海·期末）设复数满足. 若为实数，则________ 【答案】2或 【分析】先设，再根据为实数求出的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以可设， 所以， 因为为实数，所以，所以或. 若，则；若，则. 故答案为： 21．已知为虚数单位，复数，则_________. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法运算求出，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 则. 故答案为：. 22．已知复数满足，则__________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解. 【详解】将看作是关于的一元二次方程的根，则 ， 所以， 故答案为： 23．若，且，则的最大值是_______． 【答案】/ 【分析】由复数模的几何意义求解． 【详解】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离， ∵，所以=的最大值为． 故答案为：． 24．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 25．（23-24高一下·上海·期末）若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则_____. 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数和的关系，可以求出结果. 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两实部为1的共轭虚根， 所以方程的判别式小于零，即， 即， 解得：或 由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知： 由根与系数的关系可得：，解得. 舍去，满足题意. 故答案为：. 26．（24-25高一下·上海·期末）已知复数是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【分析】将复数代入到方程中，得到复数等式，结合复数的模求解即可. 【详解】将复数代入到方程中,所以 化简整理得： 所以 解得： 所以 故答案为：. 27．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足． (1)求的共轭复数； (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解； （2）将代入一元二次方程中，即可求解． 【详解】（1）． 则， , . （2）由（1）得， 是关于的方程的一个根， 则，， ，解得. 28．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是实系数一元二次方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解； （2）根据题意得方程的一个实数根为，代入得，进而求解. 【详解】（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； （2）由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 29．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1），， 解得， 经检验，满足要求； （2） ， 当时，取得最小值，最小值为， 故最小值为，此时. 30．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 【考点三】复平面与复数的坐标表示 31．在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，该复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 32．复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数． 故选：D． 33．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 34．（24-25高一下·上海·期末）设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简复数，再根据复数在复平面上对应的点位于第四象限，即可得出结论. 【详解】由题意， ∵， ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限， ∴，解得， 故选：A. 35.在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________. 【答案】 【分析】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简. 【详解】复数对应点的坐标为，∴， . 故答案为： 36．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第_____象限． 【答案】二 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 37．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 【答案】1 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 39．设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点. (1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积； (2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值. 【答案】(1)复数集上的解集为四点围成的面积； (2)或. 【分析】（1）代入，解方程求根，然后写出复数的坐标表示，根据图像求出面积. （2）先通过四个点构成正方形得到点的坐标，再通过韦达定理求解. 【详解】（1）当时，方程为， 解得 其在复平面对应的点的坐标分别为：，如图 四点围成的图形为等腰梯形 面积为 （2）若对应的四个点构成正方形， 由（1）的解为， 则的解为或 则或， 解得或. 40．已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数). (1)求实数的值及复数的模； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案； （2）对进行运算化简，然后可得答案. 【详解】（1）由题意得为纯虚数， 所以，所以； （2）， 因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以， 所以. 【考点四】复数的模 41．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 42．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】B 【分析】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论. 【详解】设， 由，得， 整理得， 所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆. 故选：B 43．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 44．设复数满足，则_________. 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 45．已知复数，则的模长为__________． 【答案】5 【分析】根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为：. 46．（24-25高一下·上海静安·期末）已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 【答案】 【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 47．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 48．（24-25高一上·上海·期末）已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据虚根特点及模的几何意义，分两种情况分别求出参数范围即可. 【详解】若方程有两个虚数根，设（且）， 所以，，，两个根、满足，， 复数分别对应的点在以为圆心2为半径的圆上以及圆的内部， 易知且，且点关于轴对称，所以且， 故. 若方程有两个实数根，由可得，， 同理可得，，所以， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 49．（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，（是虚数单位），求的最小值． 【答案】 【分析】设，根据共轭复数的概念及复数乘法得，再求复数的模长，确定其最小值. 【详解】设，则，解得， ， 当，即时，的最小值为. 50．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【详解】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 【考点五】复数的三角形式 51．设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【详解】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D 52．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 53．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 54．复数的三角形式的辐角主值为___________. 【答案】/ 【分析】直接由辐角主值的概念求解即可. 【详解】由辐角主值的概念知，的辐角主值为. 故答案为：. 55．若复数为虚数单位），则______． 【答案】 【分析】将复数化为三角形式即可得辐角. 【详解】设复数的辐角为， 由 所以 故答案为： 56．已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为___________. 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再化为三角形式，即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以复数z的辐角主值为. 故答案为：. 57．已知是复数的辐角主值，是向量和向量的夹角，则______. 【答案】 【分析】根据复数的三角形式求出的值，根据向量的数量积求出，然后根据来求解. 【详解】复数，可写成 即，其中称为的辐角，在间的辐角称为辐角主值.又 则，则. 又因为是向量和向量的夹角,则 ,又因为，所以. 则 故答案为： 58．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________. 【答案】 【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【详解】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 59．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 60．已知，且，若． (1)求复数的三角形式与； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出复数的模和辐角主值后，可得复数的三角形式； （2）根据，以及求出，将和代入可求出结果. 【详解】（1）因为，所以其模，设其辐角为， 则，， 因为复数对应的点在第四象限，所以， 所以复数的三角形式为. （2）因为，所以， 因为，所以, 所以，所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $