期末真题专项训练01 三角8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期末真题专项训练01 三角 【考点一】弧长公式、扇形面积公式 【考点五】二倍角公式 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】三角变换的应用 【考点三】诱导公式 【考点七】正弦定理 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点八】余弦定理 【考点一】弧长公式、扇形面积公式 1.（25-26高一上·上海·期末）扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为______． 【答案】6 【分析】利用弧长公式直接计算可得. 【详解】由弧长公式可知，解得. 故答案为：6 2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式求圆心角. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则. 所以扇形的圆心角为. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 【答案】/ 【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为弧度， 所以该扇形的面积为. 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知扇形半径为4cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_____________. 【答案】16 【分析】由题设结合扇形面积公式可得答案. 【详解】由题可得扇形半径为，弧所对的圆心角为. 则该扇形的面积为：. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 【答案】6或 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 6．（25-26高一上·上海金山·期末）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 【答案】/ 【分析】设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    【答案】 【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，则大圆弧的半径为， 所以解得， 所以扇环的面积为. 8.（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【答案】(1)， (2)，栅栏长度的最小值为40米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得 所以， （2）依题意可得弧长，弧长，所以栅栏的长度 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米． 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 9.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系计算，结合充分条件、必要条件的概念即可下结论. 【详解】由，得， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 10．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得. 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 11.（25-26高一上·上海杨浦·期末）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义可得. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，_____. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将代数式转化为正切的表达式，再带入计算即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 13．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 【答案】/ 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 15．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 【答案】答案见解析 【分析】根据三角函数的定义，求得角的正弦、余弦和正切值及余切值. 【详解】根据三角函数的定义可知，， 若时，，， ，， 同理若时，，，， 16.（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用根与系数间的关系，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，可得，进而可判断出，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又方程的两个实数根是，， 所以，得到，. （2）由题知，又， 所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 17．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角公式的商数关系化简计算即可求解； （2）根据与的关系求出，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 【考点三】诱导公式 18.（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则_____. 【答案】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】由，得，所以. 故答案为： 19.（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，则_______. 【答案】 【分析】根据诱导公式，将化为正弦求解. 【详解】根据诱导公式得，而， 所以. 故答案为： 20．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】由三角函数同角关系结合的范围，确定的值，再使用诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以，， 则 21．（25-26高一上·上海·期末）已知为锐角，且，则______． 【答案】 【详解】因为，， 所以，而为锐角，可得， 则，结合诱导公式可得. 22．（25-26高一上·上海·期末）若，则_____________. 【答案】 【详解】. 因为，所以. 23.（25-26高一上·上海闵行·期末）已知角的终边过点，则___________． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】角的终边过点， ， ， . 故答案为：. 24．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知角的终边过点，则______________． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的关系将原式化简为，再根据三角函数的定义求出的值即可得解. 【详解】因为， ， ， ，，. 所以 . 因为角的终边过点，所以， 所以. 所以原式. 故答案为： 25．（24-25高一上·上海·期末）角的终边在第二象限，，则_____． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系可求出的值，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【详解】因为，又角的终边在第二象限， 所以， 所以， 故答案为：. 26.（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且 (1)求实数m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据三角函数的定义， 以及点所在的象限进行计算， （2）根据三角函数的诱导公式进行计算， 【详解】（1）因为在第三象限， ，或， （2）由（1）可知，，故， ， 故原式分母不为，故原式结果为， 27．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义，即可得到答案； （2）根据题意得到，利用三角函数的定义和诱导公式，即可得出答案. （3）利用诱导公式，准确化简，即可得出答案. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. （3）因为，， ，， 所以. 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 28.（25-26高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【分析】若，则，取特值使正切值无意义可证明充分性不成立；利用两角和的正切公式证明必要性成立. 【详解】若，则，， 令，，则和均无意义，充分性不成立； 若，则，必要性成立. 故答案为：必要不充分条件. 29．（25-26高一上·上海·期末）已知，则______． 【答案】/ 【分析】利用和角的正切公式求出的值，再化弦为切，代值计算即可. 【详解】因，则， 则， 故答案为：. 30．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则_________． 【答案】/ 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 31．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知锐角满足，钝角满足，则______． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系得，，再结合余弦差角公式求解即可. 【详解】因为为锐角，为钝角，所以， 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 32．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 【答案】 【分析】利用角的范围和同角三角函数关系式计算得到，利用两角差的正弦公式计算得到答案； 【详解】，即， 因为，所以 ， ， 故答案为：. 33．（25-26高一上·上海·期末）已知锐角的顶点在原点、始边为轴正半轴，将的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据单位圆的性质，角的变换及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为是锐角，所以的终边绕原点逆时针转过后，终边应落在第二象限，所以. 又单位圆上的满足，所以，解得或（舍去）. 设，则，. 所以. 故答案为：. 34.（25-26高一上·上海·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)是第几象限的角. 【答案】(1) (2) (3)第三象限 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，，所以， 所以； （2）； （3）因为，， 所以是第三象限的角. 35．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知是角终边上一点，且． (1)求实数的值； (2)若．求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义列式求解即可. （2）先根据任意角三角函数的定义求解，然后利用两角和差公式化简，代入正切值求解即可. 【详解】（1）依题意，化简得且， 解得． （2）由（1）可知，所以， 所以 . 【考点五】二倍角公式 36.（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，则______． 【答案】/0.5 【分析】利用同角的正余弦的平方和为1，可求得，切化弦，进而利用诱导公式与二倍角的正余弦公式即中求解. 【详解】因为，，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 37．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 【答案】 【分析】利用诱导公式以及余弦的倍角公式可得答案. 【详解】由 ，得 。 利用倍角公式 得： 故答案为 ： 38．（25-26高一上·上海杨浦·期末）请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 【答案】 【分析】利用三倍角的余弦公式和诱导公式求解化简即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 39．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 ，且 是方程 的两个根，则 __________. 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系，再利用二倍角公式可求得答案. 【详解】是方程 的两个根, 根据韦达定理，得，， 又，且， ，， 则，，故， 设，则，由二倍角公式，得， 即，解得， 又，. 故答案为：. 40．（24-25高一上·上海·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由两角差的正切公式即可计算求解； （2）由倍角公式和两角和的余弦公式结合商数关系即可计算求解. 【详解】（1）； （2） . 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【详解】（1）由，且， 可得； 由二倍角公式可得； ； 所以； （2）由（1）可得， 所以 42．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知角满足． (1)请判断角属于第几象限； (2)求的所有可能取值构成的集合． 【答案】(1)是第一或第三象限角 (2) 【分析】（1）由二倍角的正弦公式可知同号，即可得出所在象限； （2）由二倍角的正弦公式展开后，弦化切可得关于的方程，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由正余弦符号相同可知，是第一或第三象限角. （2）由， 即， 解得或， 故的所有可能取值构成的集合为. 43．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，，，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据平方关系和角的范围可得答案； （2）根据和角公式和倍角公式可求答案. 【详解】（1）因为，，所以，； 因为，，所以，； 所以，， （2） ； 由可得或（舍）， 故. 【考点六】三角变换的应用 44.（25-26高一上·上海·期末）化简：_____________.（化成的形式） 【答案】 【详解】. 45．（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为______． 【答案】 【分析】根据辅助角公式进行化简，得到，再解三角方程即可． 【详解】， 即， 或， 解得或， ，或， 故答案为：． 46．（24-25高一上·上海·期末）当，_____． 【答案】或， 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 47．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知，则正实数的值为____________. 【答案】 【分析】考查转化与化归思想，利用三角恒等变换求解. 【详解】设， 则, , 解得, 由, 即,解得或（舍去）， 故答案为： 48．已知. (1)求：的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式可得结果. （2）由差角公式、完全平方公式可得结果. 【详解】（1） ∴的值为. （2）∵ ∴ 又∵ ∴ 49．（24-25高一上·上海·期末）（1）已知，化简并求值； （2）已知，当求满足条件的角的集合. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）借助诱导公式与同角三角函数基本关系将切化弦后计算即可得； （2）借助辅助角公式化简后计算即可得. 【详解】（1）； （2），则， 令，则， 若，则或. 【考点七】正弦定理 50.在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合的取值范围可得出，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为、，则，故，则，故. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 51.（24-25高一下·上海嘉定·期末）写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则_____.(结果精确到) 【答案】 【分析】设，,在，中，由正弦定理可得，，运算求得答案. 【详解】设， 由题意，，则， 在中，由正弦定理，得，则. 在中，由正弦定理，得，则， 所以，化简整理得， 可得. 故答案为：. 52．（25-26高一上·上海静安·期末）中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和两角和的正弦公式解三角形，再根据正弦定理求出三角形外接圆半径的表达式，进而求出结果. 【详解】已知，，所以，， 则， 对于，根据正弦定理可得，则； 对于，根据正弦定理可得，则； 则. 故答案为：. 53．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为_____. 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数的知识可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得， 则，解得， 在直角中，， 则. 故答案为：. 【考点八】余弦定理 54.在中，，则角的余弦值是___________. 【答案】/ 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，， 则. 故答案为：. 55．（24-25高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 【答案】 【分析】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据正弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 56．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 57．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 58．（25-26高一上·上海·期末）公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； （2）设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． 59．（24-25高一下·上海嘉定·期末）某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值. 【答案】(1)定值，百米，理由见解析 (2)元. 【分析】（1）设百米，则，在中，由正弦定理，求得，同理求得，进而求得的值，得到答案. （2）根据余弦定理，求得，结合二次函数的性质，求得的最小值为百米，进而求得花费的最小值. 【详解】（1）解：由题意知，和为相似三角形，所以， 设百米，则， 在中，因为，，所以， 由正弦定理，可得， 同理可得：， 所以， 所以观光步道的总长度为定值米. （2）解：由（1），根据余弦定理，可得 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为百米， 所以建设步道花费最小值为元. 60．（24-25高一上·上海·期末）如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）由三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后结合正弦的和差角公式代入计算，再由余弦定理即可得到的长度. 【详解】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练01 三角 【考点一】弧长公式、扇形面积公式 【考点五】二倍角公式 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】三角变换的应用 【考点三】诱导公式 【考点七】正弦定理 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点八】余弦定理 【考点一】弧长公式、扇形面积公式 1.（25-26高一上·上海·期末）扇形圆心角为2弧度，弧长为12，则扇形的半径为______． 2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 3．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的半径为1，圆心角为弧度，则该扇形的面积为______． 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知扇形半径为4cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_____________. 5．（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度__________. 6．（25-26高一上·上海金山·期末）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 7．（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    8.（24-25高一上·河北邯郸·期末）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小?并求出最小值． 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 9.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．（24-25高一下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 11.（25-26高一上·上海杨浦·期末）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______. 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，_____. 13．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 14．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则______. 15．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 16.（24-25高一上·上海·期末）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． (1)若，，分别求和的值 (2)若，，分别求和的值． 17．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【考点三】诱导公式 18.（24-25高一下·上海宝山·期末）已知，则_____. 19.（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，则_______. 20．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知，，则______． 21．（25-26高一上·上海·期末）已知为锐角，且，则______． 22．（25-26高一上·上海·期末）若，则_____________. 23.（25-26高一上·上海闵行·期末）已知角的终边过点，则___________． 24．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知角的终边过点，则______________． 25．（24-25高一上·上海·期末）角的终边在第二象限，，则_____． 26.（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且 (1)求实数m的值； (2)求的值． 27．（25-26高一上·上海·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 28.（25-26高一上·上海徐汇·期末）“”是“”的______条件． 29．（25-26高一上·上海·期末）已知，则______． 30．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则_________． 31．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知锐角满足，钝角满足，则______． 32．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 33．（25-26高一上·上海·期末）已知锐角的顶点在原点、始边为轴正半轴，将的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于，则的值为_________． 34.（25-26高一上·上海·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)是第几象限的角. 35．（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知是角终边上一点，且． (1)求实数的值； (2)若．求． 【考点五】二倍角公式 36.（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，则______． 37．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知，则___________． 38．（25-26高一上·上海杨浦·期末）请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 39．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 ，且 是方程 的两个根，则 __________. 40．（24-25高一上·上海·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值 41．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 42．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知角满足． (1)请判断角属于第几象限； (2)求的所有可能取值构成的集合． 43．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知，，，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【考点六】三角变换的应用 44.（25-26高一上·上海·期末）化简：_____________.（化成的形式） 45．（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为______． 46．（24-25高一上·上海·期末）当，_____． 47．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知，则正实数的值为____________. 48．已知. (1)求：的值； (2)求的值. 49．（24-25高一上·上海·期末）（1）已知，化简并求值； （2）已知，当求满足条件的角的集合. 【考点七】正弦定理 50.在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 51.（24-25高一下·上海嘉定·期末）写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮，如图在的正东方向，在的正北方向.到的距离相等，且按逆时针排列，在直线两侧，若，，则_____.(结果精确到) 52．（25-26高一上·上海静安·期末）中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 53．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为_____. 【考点八】余弦定理 54.在中，，则角的余弦值是___________. 55．（24-25高一下·上海·期末）如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为______________.（以角度制表示，精确到） 56．（24-25高一下·上海·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 57．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 58．（25-26高一上·上海·期末）公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 59．（24-25高一下·上海嘉定·期末）某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值. 60．（24-25高一上·上海·期末）如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 1 学科网（北京）股份有限公司 $