2025-2026学年高一下学期数学期末模拟仿真卷03（人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷03 考试范围：人教A版必修二 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A． 米 B．米 B． C．米 D．米 5．在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（    ） A． B． C． D． 6．设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 7．在学校举办的教师优质课评比比赛中，八位评委打出八个完全不同的分数后，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再用剩余的六个分数计算平均数，作为讲课教师的最后得分．那么剩余的六个分数与最初的八个分数相比较，一定不变的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．极差 D．中位数 8．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 10．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 11．在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，且，则（    ） A．直线与所成角为 B．直线与所成角为 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面夹角的正切值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为________． 13．已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若点在上，平分，，，求的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 16．如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． (1)求证： 平面； (2)求点D到平面的距离． 17．某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 18．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； 19．某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据： 名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、； 名女生的物理成绩分别为、、、、、、、. (1)求这名男生物理成绩的平均分与方差； (2)经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差. 附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷03 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知某数据的平均数为，方差为，现再加入一个数据，则这个数据的方差为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 方差为，则， 即， 所以， 则 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 故选：C. 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的定义和复数的概念可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，其虚部为. 故选：C 3．水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图：    其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B 4．如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米 5．在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄4种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红4种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率计算公式进行计算即可. 【详解】双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有种不同的组合情况， 其中只有双方都选白色或都选黑色或都选红色时不符合要求，共有3种情况， 故不符合要求的概率为，符合要求的概率为． 故选：D. 6．设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 7．在学校举办的教师优质课评比比赛中，八位评委打出八个完全不同的分数后，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再用剩余的六个分数计算平均数，作为讲课教师的最后得分．那么剩余的六个分数与最初的八个分数相比较，一定不变的数字特征是（    ） A．平均数 B．方差 C．极差 D．中位数 【答案】D 【分析】根据中位数，平均数，极差和方差的定义进行判断，并举出反例. 【详解】一共8个数据，从小到大排列后分别为， 则为中位数， 去掉最高分和最低分后为一共有6个数据， 则中位数仍然为，故中位数一定不变； 其余数据可能改变，不妨设8个分数为， 平均数为， 极差为， 方差为， 去掉最高分10和最低分3后， 平均数为， 极差为， 方差为， 所以平均值，极差和方差均发生变化. 故选：D. 8．在中，A，B，C所对的边分别为，已知且，若面积为4，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合三角变换和正弦定理，可求边，再结合三角形的面积公式和余弦定理，可求，再利用二倍角公式，可求. 【详解】因为. 所以 所以 所以. 由正弦定理可得：，又，所以. 因为面积为4，所以① 由余弦定理可得：, 所以：② ①②可得：，即. 所以. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D. 【详解】设， 对于A，，，故选项A正确； 对于B，因为， 则，则或， 所以中至少有一个0，即或，故选项B不正确； 对于C，由复数模的运算性质可知， ， =， 所以，故选项C正确； 对于D，当，则， 可得，解得，即， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 10．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到且和，结合概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，可得， 对于A中，事件，可得，且， 所以，所以事件与不相互独立，所以A错误； 对于B中，由， 所以事件两两相互独立，所以B正确； 对于C中，事件，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 11．在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于底面，且，则（    ） A．直线与所成角为 B．直线与所成角为 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面夹角的正切值为 【答案】AD 【分析】由线面垂直的判定定理、性质定理得可判断A；判断出为正三角形可判断B；直线与平面所成角即，可判断C；由，得平面与平面的夹角为，求出正切值可判断D. 【详解】对于A，如图，连接与交于点， 因为平面平面，所以， 因为且都在面， 所以平面，而平面，所以， 即直线与所成的角为，故A正确； 对于B，设，则， 所以为正三角形，所以直线与所成的角为故B错误； 对于C，由题设，易证面，故直线与平面所成角即， 所以直线与平面所成的角为故C错误； 对于D，设，四边形是正方形，是对角线，是的中点，则. 因为为等边三角形且为线段中点，所以，因为， 且平面平面，所以平面与平面的夹角为. 而，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为________． 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式， 所以系统能正常工作的概率为. 故答案为： 13．已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可. 【详解】依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为. 三棱锥的体积，其中， 是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大. 又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而. 设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为， 由勾股定理： 将代入可得，解得， 因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即. 外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上， 设，外接球半径为，则：. 由平面平面，，得底面，， 且.由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：. 因此， 外接球表面积：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若点在上，平分，，，求的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简条件即可求解角的大小； （2）在中，根据余弦定理解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； （2）在中，根据余弦定理，得， 即，解得或（舍去）， 依题意，，即， 化简得，则， 所以； （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且，则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 16．如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．      (1)求证： 平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面．                            （2）因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 17．某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； (2)求参加挑战赛的学生成绩的分位数； (3)已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【答案】(1)，71.5 (2)88． (3)72；58.4 【分析】（1）利用面积和为1计算可得；由频率分布直方图中平均数的计算可得； （2）由频率分布直方图中百分位数的计算可得； （3）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得. 【详解】（1）由，解得． 平均分的估计值为 ． （2）成绩小于90分的占比为，成绩小于80分的占比为， 所以分位数一定位于区间，而，所以分位数为88． （3）成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 18．如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. （2）找出线面角的平面角，计算线面角的平面角的三角函数值，求出线面角大小. 【详解】（1）    在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）    过作，垂足为，因为平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，得， 又因为，平面，所以平面， 可得为与平面所成角，所以， 因此，所以与平面所成角为. 19．某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩（单位：分），得到如下数据： 名男生的物理成绩分别为、、、、、、、、、、、； 名女生的物理成绩分别为、、、、、、、. (1)求这名男生物理成绩的平均分与方差； (2)经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差. 附：分层随机抽样的方差公式：，表示第层所占的比例. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用平均数和方差公式可求得、的值； （2）利用分层抽样的平均数和方差公式可求得和的值. 【详解】（1）解：这名男生物理成绩的平均分为， 方差为. （2）解：这名学生物理成绩的平均分为， 方差为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $