期末真题专项训练05 立体几何初步15大考点-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末真题专项训练05 立体几何初步 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 【考点九】线面垂直证明线线垂直 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 【考点十】求线面角 【考点三】斜二测画法中有关量的计算 【考点十一】面面关系有关命题的判断 【考点四】异面直线的判定 【考点十二】判断和证明面面平行 【考点五】求异面直线所成的角 【考点十三】判断面面是否垂直与证明面面垂直 【考点六】线面关系有关命题的判断 【考点十四】求二面角 【考点七】判断和证明线面平行 【考点十五】空间图形的表面积和体积 【考点八】判断线面是否垂直与证明线面垂直 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 1.（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知正方体的棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，将平面，，展开到同一平面，连接，的得到，在中，利用余弦定理，求得的长，即可得到答案. 【详解】由题意，可得，因为，解得， 将平面，，展开到同一平面，如图所示， 由题意，可得， 连接，交于，交于， 则， 在中，，， 由余弦定理得， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据几何图形特征求出,再应用余弦定理求解即可. 【详解】 在中， 在中，因为 由余弦定理得. 在中，因为, 由余弦定理得. 过B作 在中，由余弦定理得 因为所以. 故选：D. 3.（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】BCD 【分析】根据几何体的结构特征逐项判断可得答案. 【详解】对于A， 四棱锥是一个底面，四个侧面共五个面构成的几何体，故错误；     对于B， 五棱锥是一个底面，五个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于C， 四棱柱是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于D， 四棱台是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确； 故选：BCD. 4.（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则_____________，_________.    【答案】 【分析】当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得；当时，确定点P在正方体表面上的轨迹，再计算得． 【详解】当时，点P在正方体表面正方形上动动， 其轨迹是以B为圆心，2为半径的三段弧，； 当时，点P在正方体表面正方形上运动， 记该点为，若其在正方形内时，易得，得， 因此点的轨迹为正方形内以为圆心，2为半径的圆弧，弧长为， 同理在正方形内的轨迹长度都为，所以. 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：确定动点动动所在的平面及轨迹形状，是解题的关键. 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 5.（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误. 故选：C. 6．（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合勾股定理可求得灯光带的最小长度. 【详解】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形， 则的长度即为灯光带的最小长度， 因为，是母线的一个三等分点（靠近点）, 所以圆锥的底面周长也就是侧面展开图的弧长,， 所以扇形的圆心角， 所以. 故最小长度为(m). 故选：B. 7．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面直径为，以为直径的球与圆锥相交的曲线记为（异于圆锥的底面），则曲线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，判断需求曲线是圆，结合给定条件求解半径，再求周长即可. 【详解】 如图，曲线是圆，球与母线分别交于点， 则为圆的直径， ， ， 圆的周长， 故选：A. 8.（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【答案】12 【分析】根据已知几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为圆锥并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程. 【详解】由题意，几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分， 所以，可将几何体补为母线长为12，底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，    所以圆环的一部分，即为圆台的侧面展开图，而， 所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段. 故答案为：12 【考点三】斜二测画法中有关量的计算 9.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后如下： ，，，则. 故选：D 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知水平放置的等边三角形的边长为2，则利用斜二测画法得到的该三角形直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原三角形的面积为，利用斜二测画法得到的该三角形直观图的面积为，则，据此公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】利用斜二测画法得到的该三角形直观图的面积为. 故选：A. 11.（24-25高一下·河南南阳·期末）如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为_________cm2. 【答案】. 【分析】根据斜二测画法的作图规则，得出原图形，进而解得原图形的面积. 【详解】根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，    其中，根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图， 原图形是平行四边形，其中，, 所以原图形的面积.    故答案为：. 12．（24-25高一下·云南丽江·期末）如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ______；图形的面积为______． 【答案】 2 3 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空由直观图求出原图梯形的相关长度，计算可得. 【详解】根据题意，直观图梯形中，，， 还原原图可得： 则原图中，，，，， 则其面积. 故答案为：；. 【考点四】异面直线的判定 13.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 【答案】A 【分析】由异面直线的定义判断即可. 【详解】体对角线与面对角线不在同一个平面内，且不平行， 故体对角线与面对角线的位置关系一定是异面. 故选：A. 14．如图，正方体中与直线成异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为直线与直线不同在任意一个平面，所以直线与直线是异面直线，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 15.（多选）（23-24高一下·浙江金华·期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（    ） A．直线与直线可以相交，不可以平行 B．直线与直线可以异面，不可以平行 C．直线与直线可以垂直，可以相交 D．直线与直线可以异面，可以相交 【答案】BCD 【分析】A可假设直线与直线相交，推出矛盾；B先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行. 【详解】A选项，若直线与直线相交，则四点共面，则直线与共面， 与题目条件直线与异面矛盾，故直线与直线不可以相交，A错误； B选项，当分别和重合时，直线与直线异面， 直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行， 平面，平面，故平面， 但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，B正确； C选项，当均与重合，此时直线与直线相交， 当调整的位置，可能有⊥，且令分别与重合， 此时满足直线与直线垂直， 故直线与直线可以垂直，可以相交，C正确； D选项，当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交， 当时，与平行，当时，与平行，此时与平行， 其他情况，直线与直线异面， 故直线与直线可以异面，可以相交，D正确. 故选：BCD 16.正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有____条. 【答案】4 【分析】根据正方体的图形以及异面直线的定义，观察即可得出答案. 【详解】 由图象可知，与直线垂直且异面的直线有、、、，共4条. 故答案为：. 【考点五】求异面直线所成的角 17.（24-25高一下·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC中点为G，连接EG，FG，可得为异面直线与所成的角或其补角，然后由勾股定理逆定理可得答案. 【详解】取AC中点为G，连接EG，FG，则， 又，则， 则为异面直线与所成的角或其补角， 又，则， 则异面直线与所成的角是. 故选：A 18．（24-25高一下·山东德州·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可证为异面直线与所成角或其补角.再根据余弦定理计算即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 19.（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 【答案】/ 【分析】作出四棱柱，即可求出异面直线AK和LM所成的角的大小. 【详解】由题意，还原正四棱柱的直观图，如图所示，取的中点，中点，中点， 连接相关线段，如下图所示， ∴//. 由几何知识得，四边形是平行四边形，//， ∴， 所以或其补角为异面直线AK和LM所成的角． 由题知，，则有，所以， 即异面直线AK和LM所成的角为． 故答案为： 20．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】/0.625 【分析】过作，交于点，连接，利用比例性质得，则（或其补角）即为与所成角，利用余弦定理得，即可得解. 【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图， ，，又，，则， （或其补角）即为与所成角， 在中，，，， ，与所成角的余弦值为. 故答案为： 【考点六】线面关系有关命题的判断 21.（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 22．（24-25高一下·山东临沂·期末）直线，平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等 C．，都平行于同一个平面 D．，都垂直于同一条直线 【答案】A 【分析】根据空间中的点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若，都垂直于同一个平面，则直线，平行，符合充分条件，故A正确； 对于B，若，与同一个平面所成的角相等，则直线，可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误； 对于C，若，都平行于同一个平面，则直线，可能相交，故C错误； 对于D，若，都垂直于同一条直线，则直线，可能相交，比如正方体同一个顶点的三条棱，两两垂直，故D错误. 故选：A 23.（多选）（24-25高一下·四川广元·期末）已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】由直线与平面的位置关系可得与平面，的位置关系还有其他情况满足题意，所以排除A、C选项，B、D选项可以用直线的方向向量和平面的法向量的角度来说明直线与平面的位置关系. 【详解】若，，与的位置关系可以是平行，相交或在面内，所以A选项错误； 若，则的方向向量是的法向量，因为，的方向向量与相同，故，所以B选项正确； 若，，与的位置关系可以是平行或在面内，所以C选项错误； 若，则的方向向量与的法向量平行，因为，的法向量与的法向量垂直， 所以与的法向量垂直，故或，又因为，则，所以D选项正确. 故选：BD. 24．（多选）（23-24高一下·新疆·期末）在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则（    ） A．边在上的射影长为 B．边在上的射影长为 C．B，C两点在平面的同一侧 D．B，C两点在平面的两侧 【答案】BD 【分析】根据射影概念，分情况讨论当在的同侧，异侧，进行求解即可. 【详解】如图： 设B，C在平面上的射影分别为，， 因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，. 当B，C在的同一侧时，在上的射影， 此时，A，C错误； 当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确. 故选：BD 【考点七】判断和证明线面平行 25.（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误； D.若，，则，故D正确. 故选：D 26．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 27.（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，需证明该线段与平面内的一条线段平行即可，即证明. （2）作出辅助线，确定异面直线所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接、. 因为中点，为中点，故为中位线，得且. 又底面是正方形，为中点，故且. 所以且，所以四边形为平行四边形，故. 又平面平面，故平面. （2）取的中点，连接为的中位线，所以. 故异面直线与所成角等于与所成角，即. 在正方形中，且底面，故为直角三角形， 为中点，得. 由（1）知.为的斜边，， 故，所以. 又，所以. 在中，，由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 28．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需说明是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 【考点八】判断线面是否垂直与证明线面垂直 29.（24-25高一下·江苏无锡·期末）设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若与所成的角相等，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线面、线线位置关系逐个判断即可. 【详解】对于A：若与所成的角相等，则或相交，或异面，错误 对于B，若，，则或，错误， 对于C，若，，则或相交或异面，错误， 对于D，若，则存在直线，使. 又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直， 所以.由于，所以，正确. 故选：D 30．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误. 【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面， 因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知，而直线与直线相交， 所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 31．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当平面时，取得最小值，在直角三角形中求解即可. 【详解】因为为正四面体， 所以， F为BC的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为是的中点， 所以点关于平面对称， 因为点在平面，故， 所以， 故当平面时，取最小值， 因为是边长为2的正四面体， 所以在中， 当平面时，为等边三角形的重心， 此时 在中，， 故的最小值为， 故答案为： 32.（24-25高一下·河北唐山·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； （2）要求四棱锥的体积，根据四棱锥体积公式，（为底面积，为高），需要先求出底面正方形的面积和四棱锥的高. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以, 因为，且平面, 所以平面； （2）因为平面，所以为直线与平面所成的角， 因为是正方形，且， 所以，所以， 因为与平面所成的角为， 所以，解得：， 所以四棱锥的体积为. 【考点九】线面垂直证明线线垂直 33.（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知平面及两条不重合的直线，，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面垂直和线面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当时，若，则或，所以必要性不成立；    若，则，且，则， 因为，，所以，所以，所以充分性成立； 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 34.（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线长为2，得到为等边三角形，为等腰直角三角形，作出辅助线，得到（或其补角）即为与所成角，并由勾股定理和余弦定理求出各边长，利用余弦定理求出，求出，进而得到与所成角大小. 【详解】，故圆锥底面积周长为，设圆锥的母线长为， 圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，设扇形的半径为，则， 则，解得，即， 与所成角为时，所以为等边三角形，， 又为底面圆的直径，所以⊥，又， 由勾股定理得，故为等腰直角三角形， 其中，由勾股定理逆定理得⊥， 取的中点，连接，则，， 取的中点，连接，则， 故（或其补角）即为与所成角， 连接，则⊥平面，取的中点，连接，， 则，故⊥平面，又平面，所以⊥， 其中，，， ，，， 在中，由余弦定理得 ， 故， ， 所以，则与所成角大小为. 故选：D 35.（24-25高一下·湖南怀化·期末）在正方体中，与所在直线所成的异面角的大小为______． 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义及正方体的性质，即可求解. 【详解】如图，因为，则为与所成的角或其补角， 又由正方体的性质知，面，又面，所以，则， 故答案为：. 36.（24-25高一下·广东汕尾·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面AOE； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点G，连接，GF，，先证明四边形为平行四边形，可得，从而得出，从而结论得证. （2）方法一：证明为等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”即得证. 方法二：根据正方形的性质，利用线面垂直的判断和性质可得证 方法三：利用正方形的性质结合是的中点，通过计算证明即得证 【详解】（1）取的中点G，连接，GF， 因为G，F分别为，的中点，所以∥，， 又因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE. （2）（法一）连接EC， 因为为正方体，所以， 故为等腰三角形. 因为O为AC的中点， 所以 （法二）因为为正方体， 故侧棱平面ABCD. 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （法三）设正方体的棱长为1， ∵是的中点，∴， ∴， ∵四边形ABCD为正方形，∴， ∵， ∴， ∴. 【考点十】求线面角 37.（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 38．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 39.（23-24高一下·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】作出与平面所成角，根据即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接，则， 故与平面所成角和与平面所成角相等， 连接交于点，则， 平面，平面，， 因为平面 平面， 为与平面所成角， 设正方体棱长为，则，， ． 故答案为： 40．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 【考点十一】面面关系有关命题的判断 41.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 【答案】A 【分析】利用面面平行的定义判断即可. 【详解】由平面平面，得平面无公共点，而直线，直线， 所以直线无公共点. 故选：A 42．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 43．（24-25高一下·黑龙江·期末）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据各项线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A：由，则或，又，则，对； B：由，则平行或相交（不一定垂直），错； C：由，则，又，则必有，对； D：由，则，又，则，对. 故选：B 44.（多选）（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则与平行或异面，所以A不正确； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若，根据平行于同一平面的两平面平行，可得，所以C正确； 对于D中，若，则与平行或相交，所以D错误. 故选：ABD. 【考点十二】判断和证明面面平行 45.（24-25高一下·重庆·期末）已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 46．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】ABC可举出反例；D选项，先得到线面平行，进而得到面面平行. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，，则或相交，B错误； C选项，若，，则或或与相交，C错误； D选项，若，，在内分别存在相交直线和相交直线， 使得，，且， 因为，所以，同理可得， 因为为相交直线，故，D正确. 故选：D 47.（多选）（24-25高一下·云南·期末）在正方体中，下列位置关系一定正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ABD 【分析】根据异面直线的判断方法判断A的真假，根据线面平行的判定定理判断B的真假，根据异面直线所成的角的大小判断C的真假，根据面面平行的判定方法判断D的真假. 【详解】如图： 对于A，因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，故A选项正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B选项正确； 对于C，因为，所以为与所成角，因为四边形为正方形，所以，即与所成角为，故C选项错误； 对于D，由题意可知平面，平面， 且平面，， 所以平面平面，故D选项正确. 故选：ABD 48.（多选）（24-25高一下·甘肃武威·期末）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】AB 【分析】根据正方形的性质，直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质即可判断选项A和B；分别取棱，的中点，，连接，，，，，根据线线平行、线面平行及面面平行的判定和性质即可判断选项C和D． 【详解】对于选项A，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，故选项A正确； 对于选项B，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，结合选项A有， 因为，平面，且，所以平面，故选项B正确； 分别取棱，的中点，，连接，，，，， 对于选项C，由正方体的性质可知，则不成立，故选项C错误； 对于选项D，因为，分别是棱，的中点，所以，所以， 又平面，则平面， 假设平面， 又，平面，且，则平面平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，且，所以平面平面， 则平面平面，与平面平面矛盾，故假设不成立， 即平面不成立，故选项D错误． 故选：AB． 【考点十三】判断面面是否垂直与证明面面垂直 49.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 50．（24-25高一下·浙江·期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理可判断A错误；根据线面平行判定定理可以判断B错误；根据线面平行判定定理判断C错误；根据两平面所成的角的概念，结合条件即可判断D正确； 【详解】对于A，根据面面平行的判定定理，一个面内两条相交的直线与另一个平面平行，才能得到两平面平行，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，因，即平面相交成直角，又，故平面与平面也成直角，即，故D正确. 故选：D. 51.（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到.结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【详解】（1）取的中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥, 又平面，平面， 平面PAD. （2）∵平面，平面，∴. ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. ∵，∴. ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 52．（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证平面，最后利用面面垂直的判断定理即可得证； （2）过点作交于点，连接，则与平面所成角即为与平面所成角，由平面，即为直线与平面所成角，在中计算即可. 【详解】（1）平面平面，， ，又，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）过点作交于点，连接， 则与平面所成角即为与平面所成角， 平面，为在平面上的射影， 为直线与平面所成角， ，四边形为平行四边形， ， ， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【考点十四】求二面角 53.（23-24高一下·河南开封·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角为θ就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由题意设， 取的中点，过点作交于点，连接，如图所示： 因为，，点是等腰直角三角形斜边上的中点， 所以， 又因为，平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为θ就是， 设，则，，，， 从而，所以， 又， 所以，所以， 所以，. 故选：C． 54.（23-24高一下·贵州黔西南·期末）在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为______． 【答案】 【分析】根据题意结合正方形的结构特征可知平面与平面ABCD所成二面角为，即可得结果. 【详解】因为平面，平面， 可得，可知平面与平面ABCD所成锐二面角为， 又因为为正方形，可得， 所以平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为. 故答案为：. 55．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，， 由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 则， 因为，所以，即二面角的大小为. 故答案为：. 56.（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直证明线线垂直. （2）做出二面角的平面角，解三角形，求二面角的平面角的余弦. 【详解】（1）平面圆，又平面圆，. 是圆的直径，. ，又平面，平面. 平面. 又平面，. （2）如图： 过点作，垂足为，连接， ，，. ，，， 在中，由余弦定理得， . 垂直圆所在的平面，又圆所在的平面， ，，. ，，， ，，且， 二面角的平面角为. 由三角形面积公式可得，. 在中由余弦定理可得 ， ∴二面角的余弦值为. 【考点十五】空间图形的表面积和体积 57.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 58．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水高好充满水杯，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切．    故选：B. 59.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面积公式，求得母线长，进而得圆锥的高，再利用几何关系求出外接球的半径，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，由题有，得到， 如图，，则， 易知圆锥外接球的球心在上，设圆锥外接球的半径为， 则，解得， 所以圆锥外接球的表面积为，    故答案为：. 60.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由比例关系得，即可证明； （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分，由的面积与四边形的面积之比为1:2进行求解. 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分， 分别为三棱锥与四棱锥，很显然两个棱锥的高相等，记为h， 的面积与的面积之比为， 所以的面积与四边形的面积之比为1:2， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练05 立体几何初步 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 【考点九】线面垂直证明线线垂直 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 【考点十】求线面角 【考点三】斜二测画法中有关量的计算 【考点十一】面面关系有关命题的判断 【考点四】异面直线的判定 【考点十二】判断和证明面面平行 【考点五】求异面直线所成的角 【考点十三】判断面面是否垂直与证明面面垂直 【考点六】线面关系有关命题的判断 【考点十四】求二面角 【考点七】判断和证明线面平行 【考点十五】空间图形的表面积和体积 【考点八】判断线面是否垂直与证明线面垂直 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 1.（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知正方体的棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林通化·期末）在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 4.（23-24高一下·重庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在该正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长为，则_____________，_________.    【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 5.（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 6．（23-24高一下·安徽合肥·期末）我县为响应政府号召，大力发展民宿产业.现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）.现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）.若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知圆锥顶点为，底面直径为，以为直径的球与圆锥相交的曲线记为（异于圆锥的底面），则曲线的长为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【考点三】斜二测画法中有关量的计算 9.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（   ） A．1 B． C． D．3 10．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知水平放置的等边三角形的边长为2，则利用斜二测画法得到的该三角形直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高一下·河南南阳·期末）如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为_________cm2. 12．（24-25高一下·云南丽江·期末）如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ______；图形的面积为______． 【考点四】异面直线的判定 13.如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交 14．如图，正方体中与直线成异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 15.（多选）（23-24高一下·浙江金华·期末）已知与分别是异面直线与上的不同点，，，，分别是线段，，，上的点.以下命题正确的是（    ） A．直线与直线可以相交，不可以平行 B．直线与直线可以异面，不可以平行 C．直线与直线可以垂直，可以相交 D．直线与直线可以异面，可以相交 16.正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有____条. 【考点五】求异面直线所成的角 17.（24-25高一下·福建南平·期末）已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·山东德州·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 19.（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正四棱柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱中，异面直线和所成的角的大小为________． 20．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______. 【考点六】线面关系有关命题的判断 21.（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 22．（24-25高一下·山东临沂·期末）直线，平行的一个充分条件是（    ） A．，都垂直于同一个平面 B．，与同一个平面所成的角相等 C．，都平行于同一个平面 D．，都垂直于同一条直线 23.（多选）（24-25高一下·四川广元·期末）已知直线，和平面，，则下列命题中真命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 24．（多选）（23-24高一下·新疆·期末）在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则（    ） A．边在上的射影长为 B．边在上的射影长为 C．B，C两点在平面的同一侧 D．B，C两点在平面的两侧 【考点七】判断和证明线面平行 25.（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27.（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 28．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【考点八】判断线面是否垂直与证明线面垂直 29.（24-25高一下·江苏无锡·期末）设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若与所成的角相等，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 30．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 31．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 32.（24-25高一下·河北唐山·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【考点九】线面垂直证明线线垂直 33.（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知平面及两条不重合的直线，，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34.（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）如图，为圆锥底面直径，点C是底面圆O上异于A，B的动点，已知，圆锥侧面展开图是圆心角为的扇形，当与所成角为时，与所成角为（   ） A． B． C． D． 35.（24-25高一下·湖南怀化·期末）在正方体中，与所在直线所成的异面角的大小为______． 36.（24-25高一下·广东汕尾·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面AOE； (2)证明：. 【考点十】求线面角 37.（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 39.（23-24高一下·宁夏银川·期末）在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______． 40．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【考点十一】面面关系有关命题的判断 41.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（   ） A．无公共点 B．平行 C．异面 D．相交 42．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 43．（24-25高一下·黑龙江·期末）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 44.（多选）（24-25高一下·青海海南·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点十二】判断和证明面面平行 45.（24-25高一下·重庆·期末）已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 47.（多选）（24-25高一下·云南·期末）在正方体中，下列位置关系一定正确的是（   ） A．与是异面直线 B．平面 C． D．平面平面 48.（多选）（24-25高一下·甘肃武威·期末）在正方体中，是棱的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【考点十三】判断面面是否垂直与证明面面垂直 49.（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·浙江·期末）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 51.（24-25高一下·辽宁·期末）如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 52．（24-25高一下·福建三明·期末）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【考点十四】求二面角 53.（23-24高一下·河南开封·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（    ） A． B． C． D． 54.（23-24高一下·贵州黔西南·期末）在正方体中，平面与平面ABCD所成锐二面角的大小为______． 55．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为_______． 56.（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，已知是圆的直径，是圆上的一动点，垂直圆所在平面. (1)求证：； (2)是圆上点，且，，，求平面和平面夹角的余弦值. 【考点十五】空间图形的表面积和体积 57.（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水高好充满水杯，则（   ） A． B． C． D． 59.（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______. 60.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 1 学科网（北京）股份有限公司 $