2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册期末模拟仿真卷01

**基本信息** 融合秦九韶公式、拿破仑定理等数学文化与计步数据、三角板拼图等生活实践，梯度覆盖复数、立体几何、向量、统计等核心知识，注重直观想象与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、线面位置关系、投影向量、百分位数|第8题以三角板拼图为情境，考查向量坐标运算，体现几何直观| |填空题|3/15|复数方程、正八边形向量最值、线面角|第13题结合文物印章几何图形，考查向量数量积，渗透文化传承| |解答题|5/77|概率应用、四棱锥证明与距离、解三角形、统计直方图|第17题以拿破仑定理为背景，综合正弦定理与面积公式，考查数学思维；第19题通过直角梯形四棱锥，融合线面垂直、线面角及点面距离，体现空间观念|

2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由复数周期性和复数除法运算求出复数z，再由复数模长公式即可计算得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：D 2．设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（    ）． A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定 【答案】D 【分析】由正方体模型即线面平行的性质易判断a、b的位置关系. 【详解】由正方体的模型可得若且， 则a、b的位置关系可能平行，也可能相交，也可能异面， 故a、b的位置关系不能确定. 故选：D. 3．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由题意得，， 则在上的投影向量是， 即在上的投影向量的坐标为，故B项正确. 故选:B. 4．（2024·河北保定·二模）某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 【答案】C 【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得. 【详解】由，得样本的第75百分位数为第23个数据， 据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426. 故选：C 5．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图，    由，，所以， 所以，则， 即原平面图形的面积是． 故选：D 6．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 7．从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字中随机抽取2个数字，则这2个数字之和正好是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先算出所有情况，再用列举法算出符合条件的情况，最后由古典概率求解即可. 【详解】从8个数字中随机抽取2个数字一共有（种）情况， 其中2个数字之和正好是3的倍数的有： ，，，，，，，，，， 共10种情况，故所求概率为， 故选：C． 8．三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量基本定理，利用坐标运算求解即可. 【详解】如图，以A为原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，    设，则，故，， 作,交的延长线于点，由题意可知， 又，则，所以，所以， 因为，所以，则. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（      ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．（是z的共轭复数） D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】化简复数，由复数的几何意义可判断A；由复数的乘法运算可判断B；由共轭复数的定义和复数模的几何意义可判断C；由复数模的几何意义可判断D. 【详解】因为， 对于A，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，，则点表示以为圆心，为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 10．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 【答案】BCD 【分析】根据为零向量，不合题意判断A；对两边平方，得，判断B；根据重心性质判断C；对两边平方，求出向量夹角判断D. 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，，则，即，所以，故B正确； 对于C，若，如图，取中点为， ，，， 即，，，所以则为的重心，故C正确； 对于D，两个非零向量，，若，， 设，夹角为，则，即，可得，即与共线且反向，故D正确， 故选：BCD. 11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用正弦函数性质求解最值. 【详解】对于A，由，得， 设， 由余弦定理，，又，所以， 则，故A正确； 对于B，由，解得， 所以，则其周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 又当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．关于的方程有实根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】设为方程的实根，代入方程中化简，然后利用复数相等的条件可求出实数的值 【详解】设为方程的实根，则， 的以， 所以， 所以，得， 所以， 故答案为： 13．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据多边形内角和公式求，取AC中点，根据向量运算法则化简可得，求，再求的最大值，可得结论. 【详解】正八边形内角和为， 则，取AC中点， 则， 所以， 又， 所以 由对称性可得，所以， 过点分别作，垂足为， 则都为等腰直角三角形，且， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果. 【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，， 所以在正三棱柱中，，平面平面， 平面平面，面，所以平面； 又是的中点，所以，所以平面， 故即是与平面所成的角； 设，则， ，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．某学校要从艺术节活动所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某世博会的志愿服务工作． (1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件A； (2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”试用集合表示事件B. 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意利用列举法求样本空间，进而逐项分析求解. 【详解】（1）设4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4， 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. 从6名同学中任选两名的所有可能结果如下： ， ，共15样本点， 满足要求的样本点共有8个：， 故用集合表示. （2）满足要求的样本点共有6个：， 故用集合表示． 16．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得解； （2）只需证明平面，在结合面面垂直的判定定理即可得解； （3）首先证明面，由等体积法即可列方程求解. 【详解】（1）设，连结， ∵E为中点，O为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）连结，∵，O为中点，∴， 又∵底面为菱形，∴，∵且两直线在平面内，∴平面， 又∵平面，∴平面平面； （3）由（2）得：，由，同理可得：， 而平面， ∴面可求：，，， ∴， 而中，，可求：，， 可求：， 而，则， 则即为所求点C到平面的距离． 17．法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．    (1)求； (2)若外接圆半径为1，求的边长； (3)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)60° (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解角度即可. （2）作出符合题意的图形，利用正弦定理求解即可. （3）依题意可得，，再利用面积公式得到，在和中分别利用余弦定理，即可得到，，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得，由余弦定理得， 因为，所以. （2）如图，连接，，由题意得，    若外接圆半径为1，则由正弦定理得. （3）因为，分别是以为边向外作的等边三角形的外心， 所以， 因为正面积为，所以， 解得，而，因此， 所以在中，由余弦定理得 即，因此． 又因为中，， 所以由余弦定理得，即， 因此，， 因此的周长为． 18．某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1) (2)（或）， (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用中位数和平均数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）； （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 考试范围：人教A版必修二 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（    ）． A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定 3．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 5．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ）    A． B． C．6 D． 6．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字中随机抽取2个数字，则这2个数字之和正好是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（      ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．（是z的共轭复数） D．若，则的最小值为 10．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．关于的方程有实根，则实数的值为__________． 13．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______. 14． 在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某学校要从艺术节活动所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某世博会的志愿服务工作． (1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件A； (2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”试用集合表示事件B. 16．（15分） 如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求点C到平面的距离． 17．（15分） 法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为． (1)求； (2)若外接圆半径为1，求的边长； (3)若，的面积为，求的周长． 18．（17分） 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 高一数学期末模拟仿真卷01（全国适用) 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 02 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 频率/组距 0.040 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一数学期末模拟仿真卷01（全国适用） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C D B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1) (2) 【详解】（1）设4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4， 2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. 从6名同学中任选两名的所有可能结果如下： ， ，共15样本点， 满足要求的样本点共有8个：， 故用集合表示. （2）满足要求的样本点共有6个：， 故用集合表示． 16．（15分） 【详解】（1）设，连结， ∵E为中点，O为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）连结，∵，O为中点，∴， 又∵底面为菱形，∴，∵且两直线在平面内，∴平面， 又∵平面，∴平面平面； （3）由（2）得：，由，同理可得：， 而平面， ∴面可求：，，， ∴， 而中，，可求：，， 可求：， 而，则， 则即为所求点C到平面的距离． 17．（15分） 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得，由余弦定理得， 因为，所以. （2）如图，连接，，由题意得，    若外接圆半径为1，则由正弦定理得. （3）因为，分别是以为边向外作的等边三角形的外心， 所以， 因为正面积为，所以， 解得，而，因此， 所以在中，由余弦定理得 即，因此． 又因为中，， 所以由余弦定理得，即， 因此，， 因此的周长为． 18．（17分） 【详解】（1）； （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 19．（17分） (1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学期末模拟仿真卷01 考试范围：人教A版必修二 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（    ）． A．相交 B．平行 C．异面 D．不能确定 3．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 5．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ）    A． B． C．6 D． 6．在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字中随机抽取2个数字，则这2个数字之和正好是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（      ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C．（是z的共轭复数） D．若，则的最小值为 10．下列说法中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．在中，若点满足，则为的重心 D．两个非零向量，，若，则与共线且反向 11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．关于的方程有实根，则实数的值为__________． 13．我国历史悠久，各地出土文物众多.甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印.图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图.如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______. 14． 在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．某学校要从艺术节活动所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某世博会的志愿服务工作． (1)设事件A表示“选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学”，试用集合表示事件A； (2)设事件B表示“选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学”试用集合表示事件B. 16．如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，E为中点，与交点为O． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求点C到平面的距离． 17．法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为． (1)求； (2)若外接圆半径为1，求的边长； (3)若，的面积为，求的周长． 18．某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $